[版权声明] 本站所有资料由用户提供并上传，若内容存在侵权，请联系邮箱。资料中的图片、字体、音乐等需版权方额外授权，请谨慎使用。网站中党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽)仅限个人学习分享使用，禁止广告使用和商用。

《第七章 工具变量、2SLS、GMM》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章 工具变量、2SLS、GMM（60页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第七章 工具变量、2SLS、GMMOLSOLS估计成为一致估计量的前提是解释变量与扰动项不相关（即前定变量假设），否则，无论样本容量多大，估计量也不会收敛到参数真值，这将难以接受。解决方法之一是本章介绍的工具变量法pp复习第三章 34 38t01tttttttttttt0tt11CYYCIXGDPYCIX1YIX11违背前定变量假设可以出现在联立方程中，比如，、 、分别表示、 消费、投资、净出口。将第一个方程代入第二个方程，经整理可得 ttt01ttYCYOLS可见与 相关，因此当单独对进行估计时会碰到解释变量与扰动项相关的情况GDP违背解释变量外生性假定也可以出现在滞后被解释变量作为模型解释

2、变量的情况。例如，消费不仅受收入的影响，还要受到前期消费水平的影响；投资不仅受的影响，也要受前期投资水平的影响。当存在扰动项序列相关时，就会造成解释变量与扰动项相关的情况Instrumental VariableIV一、工具变量法（ ，）ttttttwCov wp0pCov w0可以引入工具变量来解决内生变量问题。一个有效的工具变量应满足以下两个条件：（1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即， 为内生解释变量（2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即，二、工具变量法作为一种矩估计Method of MomentsMM1、矩估计（ ，） 222222xNE xE xVar xE x首先以一个例

3、子来说明矩估计方法：假设随机变量，其中 ，为待估参数。因为有两个待估参数，故需要使用以下两个总体矩条件：一阶中心矩：二阶中心矩：用对应的样本矩来替代总体矩条件可得以下联立方程组，求解后即得到期望与方差的矩估计：nii=1n22n222ii=1ii=1nii=1nn222iii=1i=11xxn1xx1xnn1xxnxxxnx其中， 为样本均值，上面推导中用到： xf xE f xOLS任何随机向量 的函数的期望都被称为总体矩。事实上，也是一种矩估计。利用解释变量与扰动项的正交性，可以得到以下总体矩条件iiiiiiiii1iiiiiiE x0E xyx0E x yE x xE x xE x yE

xx假设有一个有效工具变量 满足，（相关性），以及，（外生性）。由于， ，不是内生变量，故可以把自己作为自己的工具变量（因为满足工具变量的两个条件）ii1ik-1ikiiiii1ik-1iki1ik-1ixxx x yxzz

z以样本矩代替上式中的总体矩，即可得到工具变量估计量：其中， 即下面是工具变量法的大样本性质：iiiiIVIVr E z xkE z x定理：若秩条件 成立（方阵满秩），则在一定的正则条件下，是 的一致估计且服从渐近正态分

xS E z xE z x 进一步，工具变量估计量渐近服从正态分布，即，其中渐近方差矩阵用到为对称矩阵iiiir E z xkwx秩条件 意味着工具变量与内生解释变量 相关，若不相关，则秩条件无法满足。证略 iz

7、k123阶条件： 中至少包含 个变量根据是否满足阶条件可分为三种情况：不可识别：工具变量个数少于内生解释变量个数恰好识别：工具变量个数等于内生解释变量个数过度识别：工具变量个数多于内生解释变量个数1IVZ XZ X以上介绍的工具变量法仅适用于恰好识别的情况。在过度识别的情况下，不是方阵，不存在无法得到工具变量估计量。若扔掉多余的工具变量将会浪费有用的信息，有效的方法是二阶段最小二乘法三、二阶段最小二乘法kSLS显然，多个工具变量的线性组合仍然是工具变量因为仍满足工具变量的两个条件（相关性与外生性）如果生成工具变量的 个线性组合，则又回到恰好识别的情形。那么什么样的线性组合才是最有效率的呢？可以

8、证明在球形扰动项的假设下，由二阶段最小二乘法（2）所提供的工具变量线性组合是所有线性组合中最渐近有效的。这个结论类似于小样本理论中的高斯马尔可夫定理。1k1Li1inin 1ii1122kki1xxLzzOLSxxxi1kixxxPxxPxxPxxZyXyPyyXPZ Z ZZZ第一阶段：将每个解释变量 ， ，分别对所有 个工具变量， ，作回归，其中， ， ， （注意，不同于第二章对第 个观测数据 的定义）。相当于将 视作被解释变量。得到拟合值 ， ，即 到 上的投影（相当于 对 求回归拟合值 ，即 到 上的投影）其中，为 的投影矩阵。写成矩阵形12k12k1 Xx x xP x xxPX Z

9、Z ZZ X式 1L11IV2IVXzzXkXyX X XX yX XX y X XPXPXX P PXX P XPXXX XPPPPPyX 第二阶段：由于 是， ，的线性组合（参见第一阶段回归），故 恰好包含 个工具变量。使用为工具变量对原模型 进行工具变量法估计： 后一个等号能成立是由于，其中，投影矩阵 为对称幂等矩阵即 ， 。因此，可以将视为把 对 进行OLS回归而得到，故名“二阶段最小二乘法”22SLS2SLSeyXeyX注意，第二阶段回归所得到的残差为而原方程的残差却是（这是正确的）IVIV122IVOLSe e VarsX Xsn-k由于的表达式在形式上完全类似于估计量故在条件同方

四、有关工具变量的检验在使用工具变量法时，必须对工具变量的有效性进行检验。如果工具变量非有效，则可能导致估计不一致，或估计量的方差过大。1、检验工具变量与解释变量的相关性ii1iiIV11iiiizxE z xzxE z xAVarE z xS E z xzx如果工具变量 与内生解释变

11、量 完全不相关，则无法使用工具变量法，因为不可逆。如果与 仅仅微弱相关，则可认为很大，导致工具变量法估计量的渐近方差非常之大。直观上看，由于 中仅包含很少与 有关的信息，利用这部分信息进行的工具变量法估计就不准确，即使样本容量很大也很难收敛到真实的参数值。这种工具变量IV称为弱工具变量，将使的小样本性质变得很差，且基于大样本理论的统计推断失效判断弱工具变量的方法主要有两种。OLSRyxxxxx zz2SLSxxzRxzxx 方法之一为使用“偏”。假设回归模型为 ，其中只有为内生解释变量，为外生解释变量向量。记工具变量为，其中为方程外的工具变量。在的第一阶段回

12、归中， ，其包含了内生变量与工具变量 相关性的信息，但也可能由于与 的相关性造成。2212pxRpartial RR为此，应该使用滤去 影响的“偏”（ ）记为222221OLS21x21OLS2121z21OLSxz2p2xxxxexxzxzxezxeeRz 具体操作步骤如下：首先作对 回归，记其残差为，代表中不能由 解释的部分；其次，作对 回归，记其残差为，代表 中不能由 解释的部分；最后对两个残差进行回归，即，所得的判定系数即，若其较小即可认为 是弱工具变量21 12202xxzerrorH0判断弱工具变量的另一个方法是，在第一阶段回归中， ，检验原假设 ： F10F一个经验规则是，如果此

13、检验的 统计量大于，则可拒绝“存在弱工具变量”的原假设，从而不必担心弱工具变量问题。在多个内生解释变量的情况下，将有多个如此的第一阶段回归和 统计量解决弱工具变量问题的方法是寻找更强的工具变量或若有较多工具变量，可舍弃弱工具变量2、检验工具变量的外生性在恰好识别的情况下，目前公认无法检验工具变量是否与扰动项相关。在这种情况下，只能进行定性讨论或参考专家的意见。0H在过度识别的情况下，则可进行过度识别检验，即检验原假设“：所有工具变量都是外生的”。如果拒绝该原假设，则认为至少某个工具变量不是外生的，与扰动项相关。1k-rk-r1k1mk-rxxrxxmzzmr假设前个解释变量，

14、而后 个解释变量， ，为内生解释变量。假设共有 个方程外的工具变量， ，其中i,IV1i1k-ri,k-r1 i1mimiexxzzerror把工具变量法的残差对所有外生变量（即所有外生解释变量与工具变量）进行以下辅助回归：i,IV1m01m2d22ezzHRSargan nRm-r 将工具变量法的残差视为对扰动项的估计，则“扰动项 与工具变量， ，无关”的原假设可以写为“： 0”。记此辅助回归的可决系数为，则统计量为 2m-r00显然，若恰好识别，则 ，无定义，故无法使用此检验3、对解释变量内生性的检验使用工具变量法的前提是存在内生解释变量，这也需要检验。如果找到有效的工具变量，则可以借助工

15、具变量来检验解释变量的内生性OLSOLSBLUE假设存在方程外的工具变量。若所有解释变量都是外生变量，则比工具变量法更有效，因为此时如果满足球型扰动项的假定，则是OLS在这种情况下使用工具变量法，虽然估计量仍然是一致的，但反而会增大估计量的方差。反之，若存在内生解释变量，则是不一致的，而工具变量法是一致的。00IVOLSIVOLS0IVOLSHHOLSvector of contrastHOLS0解释变量内生性的检验使用的是“豪斯曼检验”其原假设为“：所有解释变量均为外生变量”如果成立，则与工具变量法都是一致的即在大样本下与均收敛于真实的参数值因此，（“对比向量” ）依概率收敛于0。反之，如果

16、不成立，则工具变量法一致而不一致，故不会收敛于。豪斯曼检验正是基于这一思想进行的IVOLS如果很大，则倾向于拒绝原假设 d2IVOLSIVOLSIVOLS1DrDVarDDDDDD DDD DDDDDD DDDDDDr 根据沃尔德检验原理，以二次型来度量此距离可得 其中，而是 的广义逆矩阵（注： 的广义逆矩阵需要满足四个条件： ，为对称矩阵，为对称矩阵）。因为

17、HCovVarVarVarVarDVarVarVar容易证明： ，在成立的情况下，可以证明 ， 故于是 OLS如果拒绝原假设，则认为存在内生解释变量，应该使用工具变量法；反之，如果接受原假设，则认为不存在内生解释变量，应该使用注意，传统的豪斯曼检验不适用于异方差的情况解决方法是使用“杜宾吴豪斯曼检验”，该检验在异方差的情况下也适用，更为稳健。yxxxxzx zz首先考虑只有一个内生解释变量的情况。假设回归模型为， ，其中为唯一的内生解释变量， 为外生解释变量向量。记工具变量向量为，其中 为方程外的工具变量。22022SLSxzvzE xEzvE zE vE vxE x0E v

18、0 考虑2的第一阶段回归，即 。由于工具变量 与 不相关，故故有“为内生变量” “” “”1122vvvv yxxv故只需要检验第一阶段回归的扰动项 是否与原模型的扰动项 相关即可。因此，考虑以下回归模型 ，其中 为 对 的回归系数（没有常数项，因为扰动项的期望值为0）。如果 与 不相关，则 0。将上式代入原模型可得112200vvv yxxverrorHtHt由于 不可观测，故使用第一阶段回归的残差 来代替 ，进行以下辅助回归然后对原假设 ： 0 进行 检验。如果拒绝： 0，则认为存在内生解释变量；否则认为所有解释变量均为外生。考虑到可能存在异方差则需要在作 检验时使用稳健标准差112212

19、yxxxx如果存在多个内生解释变量，即 其中 、均为向量21122xvyxxverror v则在第一阶段回归中可以得到与内生解释变量向量相对应的多个残差 ，进行以下辅助回归 其中 、 为向量0HF然后对原假设 ： 0 进行 检验即可。同样地如果担心存在异方差，则可在检验时使用稳健标准差GMM五、的假定SLSGeneralized Method ofMomentsGMM在球型扰动项的假定下，2是最有效的。但如果扰动项存在异方差或自相关，则存在更有效的方法即“广义矩估计”（ ，）GMMSLSGLSOLS在某种意义上，之于2，正如之于GMMOLS首先引入以下关于的假定（类似于第三章大样本的系列假定）

20、iiiii1i2ikyxi1nxx x xi假定7.1：线性假定 ， ，其中，为第 个观测数据iiiiiii7.2Lzxwyxzw假定： 渐近独立的平稳过程记 维工具变量为（可能与 有重叠部分），由， ，中不重复的变量构成，随机过程为渐近独立的平稳过程iiiiiiiizLgzgE gE z0假定7.3：工具变量的正交性所有工具变量 均为前定，即与同期扰动项正交。定义

21、ikijEx zijk假定7.6： 四阶矩存在且有限， ， ，GMM六、的推导 iiinniiii=1E gE z01gzyx0n与总体矩条件 相对应的样本矩条件为： iIVkLzLk如果，为过度识别，则 无解。（通过举例来理解这三者的关系：过一个点可有无穷条直线，过两个点决定一条直线；过三个点或很多点既不能确定一条直线又可以确定一条直线） nnng0ggweighting matrixW此时传统的矩估计法行不通。可用统计归纳法即类似于最小二乘法的思想去寻找 ，使得向量尽可能地接近 ，比如，使二次型最小。更一般地，可以用一个权重矩阵（ ）来构成二次型 nnnGMMWL LplimWWWWmin

22、JWn gW gnGMMWargminJW假设一个依赖于样本数据的随机矩阵是一个阶对称正定矩阵，而且，其中为非随机的对称正定矩阵。的确定在下一节介绍。定义最小化的目标函数为 ，其中，因子 只是为了统计量计算方便而加上的，不影响最小化。定义“估计量”为此二次型最小化问题的解：， arg 之意是返回一个使方框内的函数最小化的 的值GMMiGMMGMMWWgGMMGLS显然估计量取决于权重矩阵，可以通过最优地选择使得最有效。可以让方差较小的 获得较大的权重而使的方差最小。因此，在某种意义上，与有相通之处。 niingz ezegJWOLS由的定义可知，它实际上是的样本平均数。由定义可知是 的一次函数

SS0SWSSWSWSWSSWS由于对二次型求导的结果是个列向量，而是列向量，将是个矩阵，故上式应为 ii1ZXZXr E z xkWSWS秩条件 及为正定矩阵保证了在大样本下的存在。ZX1111GMMZXZXZXZ

27、g gEz z定理：在假定、 与假定下，对于 的任何一致估计量 ，定义残差，则是的一致估计，而且是的一致估计GMM1AVaroptimal weighting matrixWS定理：使最小化的最优权重矩阵（ ）为1GMMS这意味着，使用任何其他权重矩阵进行估计其估计量的渐近方差矩阵都将大于或等于使用为权重的渐近方差矩阵，即前者与后者之差为半正定矩阵1SGMMGMMGMM定义：使用为权重矩阵的估计量被称为“效率”或“最优”1n2iiii=1SS2SLS2SLS1Se z znGMM为了使用最优权重矩阵，首先必须估计 。由于也是一致的，故用的残差来计算也是一致的。因此可以进行以下“两步最优估计”n

28、2iiii=111GMM12SLSSe z znJSS第一步：使用，得到残差，计算第二步：最小化，得到1GMMiterative GMMSS在实际操作中，常使用迭代法（ ）直至估计值收敛，即用第二步所获的残差再来计算

30、条件同方差下，可以直接令。因此有时也被称为“一步”1GMMGMMNeweyWestGMMS在存在异方差的情况下，依然是稳健与最优的。在时间序列数据中，即使存在自相关，也仍然可以使用，只要采用异方差稳健的标准差（标准差）来进行统计推断即可。此时估计量依然满足一致性、渐近正态性、渐近有效性，只是最优权重矩阵的表达式不同。八、如何获得工具变量使用工具变量法的前提是存在有效的工具变量。但是工具变量的两个要求（相关性与外生性）常常自相矛盾，即与内生解释变量相关的变量往往与被解释变量的扰动项也相关。故在实践中，寻找合适的工具变量通常比较困难，需要一定的创造性与想象力。 1x2寻找工具变量的步骤大致可以分为

31、两步：列出与内生解释变量 相关的尽可能多的变量清单从这一清单中剔除与扰动项相关的变量（这一步较难）zyzyzxzzyxzzyxzyx如何判断候选工具变量 是否与不可观测的扰动项相关呢？由于扰动项是被解释变量 的扰动项，故可以从该候选变量与被解释变量的相关性着手。显然 与 相关，因为 与内生解释变量 相关。若 与不相关，则 对 的影响仅仅通过 来起作用，因为如果 与 相关，则 对 的影响必然还有除 以外的渠道。可以通过定性讨论来确定 对 的影响是否仅仅通过来起作用。下面举一些工具变量法的实例 1 滞后变量。对于时间序列或面板数据，常常使用内生解释变量的滞后变量作为工具变量。显然，内生解释变量与其

32、滞后变量相关。另一方面，由于滞后变量已经发生，故为“前定”（从当前角度看，其取值已经给定），可能与当期的扰动项不相关。比如，在对动态面板的估计中，大量地使用滞后变量作为工具变量 2yxx警察人数与犯罪率。一般认为，警察人数越多，执法力度越大，则犯罪率应该越低。然而，如果直接将犯罪率对警察人数进行回归，以此度量警察人数对犯罪率的作用，就会出现内生变量偏差。这是因为警察人数其实是内生变量，比如，某城市的犯罪率很高，则市政府通常会增加警察人数（，故 与 相关）。为此，必须找到与警察人数相关，但对犯罪率没有其他影响渠道的工具变量。Levitt创造性地使用“市长选举的政治周期”作为工具变量。通常，在任市

33、长在竞选连任时，为了拉选票，会增加警察人数，故满足相关性。另一方面，选举周期一般除了对警察人数有影响外，不会单独地对犯罪率起作用，故满足外生性。Frankel andRomer例：国际贸易与经济增长。要实证地研究国际贸易对经济增长的促进作用却面临着内生解释变量的问题，因为经济增长也可以反作用于国际贸易，即随着经济增长，国际贸易也跟着增加了。 使用地理因素作为工具变量。首先，国际贸易受地理因素的影响（比如，距离较近的国家之间贸易量较大）故满足相关性。其次，地理因素对经济增长的影响可能仅仅通过国际贸易这个渠道来实现。或者说，经济增长是不会反作用于地理因素的Acemoglu et al 例：制度对经

34、济增长的影响。好的制度能促进经济增长，但制度变迁常常也依赖于经济增长。因此，制度本身是内生变量。 使用“殖民者死亡率”作为制度的工具变量。当近代欧洲的殖民者在全世界进行殖民时，由于各地的气候及疾病环境不同，欧洲殖民者的死亡率十分不同。在死亡率高的地方（比如非洲），殖民者难以定居，故在当地建立掠夺性制度。而在死亡率低的地方（比如北美），则建立有利于经济增长的制度（比如，较好的产权保护）。这种初始制度上的差异一直延续到今天。因此，殖民者死亡率与今天的制度相关，满足相关性。另一方面，殖民者死亡率除了对制度有影响外，不再对当前的经济增长有任何直接影响，故满足外生性。例：制度对中国经济增长的影响。有学者使用城市数据来考察近代以来制度对中国经济增长的作用。使用“1919年基督教小学注册人数占人口比率”作为制度的工具变量，以此代表西方对中国的影响。