曹才翰先生在《曹才翰数学教育文选》中指出：“应把有理数一章的基础知识的教学、基本技能的价值提高到代数教学的首要地位。”结合苏科版教材七年级有理数一章的教学现状，笔者认为这句话有非常现实的指导意义。

一、有理数教学基本内容

1.有理数的基本概念。

在数的概念发展史上，学生往往对新数系有个适应和接纳的过程。虽然学生可以掌握个别概念，但对于概念间的内在联系却不易明确。比如，教材上引入有理数的概念，通过生活情境让学生知道引入负数的必要性，然后将所学过的一些数（如正整数、自然数、分数、负数、小数）罗列出来，最后划分为整数和分数，并将其统称为有理数。不少教师顺势将有理数进行分类板书，让学生记录、整理课堂笔记，然后跟进一些有理数的归类识别，学生似乎也能较好地掌握（识别数的类型，解题不出错）。然而，作为教师，理解还不能止于这样的认识程度，在相关习题练习、课后反思和有理数单元回顾时，教师有必要向学生讲授有理数更本质的定义，即“形如[ba]（其中b为整数，a为正整数）的数称为有理数”。这样是基于旧概念（学生已有整数概念）来定义新概念（定义有理数，即“可比数”），数系就是这样不断扩充而来的。

数轴是数形结合的重要工具，是学生进入初中后引入的第一个重要工具。紧随有理数概念之后就介绍数轴，主要是为了“数形结合”，让学生形象直观地学习和定义相反数，并比较有理数的大小。教师对于数轴的理解不能止步于“一个定义、三个要素、大量练习”的层次，可以在例题教学时，介绍数轴在数形结合上的作用。数轴是一个具有发展前途的数学工具，比如两根数轴垂直相交，且原点重合时，便“升级”得到了平面直角坐标系，而平面直角坐标系则可以用来研究函数图像。

教材上相反数的概念非常好懂，然而这个概念并没有深刻揭示相反数的本质。在相反数的复习阶段，教师可以向学生介绍相反数的另一种定义方式，即若数a、b的和为零，则称a、b互为相反数。相应地，倒数也可以这样定义，若a、b的积为1，则称a、b互为倒数。这样的定义方式可以在有理数范围内得到体现，比如，在后续学习和探究有理数运算法则时，就可借助相反数的定义进行推理，包括有些解题依据，也可提示学生回到相反数的定义去理解。

二、有理数运算法则的教学研究

1.有理数加、减法运算法则的教学研究。

笔者认为，有理数加法法则的教学研究要重视加法法则从何而来，两个有理数相加的情况也要分类研究。小学阶段的运算类型可“一带而过”;初中阶段引入负数之后的运算类型，则需借助相反数的性质（互为相反数的两个数相加为0）进行推理、归纳运算法则。最后，教师进行加法法则的小结梳理，借此过程让学生知道新知从何而来，又示以学生运算思维，让学生知道面对新的运算情况，可以通过一些变形、转化实现运算。

有理数减法法则，则可借助加、减运算互为逆运算进行转化，将有理数减法转化为“减去一个数，等于加上这个数的相反数”实现加、减的统一运算。

2.有理数乘、除运算法则的教学研究。

有理数乘法运算法则的教学引入主要难点在于“负负得正”。这个教学难点在很多教材上的引入方式都不一样，也有很多数学教育学者给出了各自的教学理解。笔者认为，不管哪种教学方式的引入，都是向学生传递“负负得正”这种运算规则与其他运算法则、运算通性之间的一致性。此外，通过推理、归纳的方式，学生知道数学教材上的“基本事实”“规定”都是前辈数学家们集体智慧的产物，并不是随意而定的，他们向学生展示追求数学逻辑严谨的学科精神。

基于学生对加、减互逆运算的经验，有理数除法法则也可以从乘法逆运算的角度直接得出。除法运算时，教师要提醒学生以下几点，比如：0不能作为除数;1除某数仍等于1;1除以一个数等于该数的倒数;没有除法的交换律、结合律、分配律;除法转化为乘法时要注意不能漏掉符号等。

3.有理数乘方运算法则的教学研究。

有理数乘方运算是相同因数相乘的简化表达，被称为有理数的第五种运算。教师引出有理数乘方运算时，可类比有理数乘法源于加法的简化表达，让学生理解数学乘方运算出现的必要性。在进一步探究有理数乘方运算法则时，可结合有理数乘法运算来归类探究，比如底数为正数或负数时，分类讨论指数的奇、偶性，从而确定幂的符号。可见，对于底数为负的乘方运算，仍然要确立“符号优先”的运算意识。通过几组必要的练习巩固后，学生还可进一步梳理、总结更多的乘方运算经验。比如，互为相反数的两个数，它们的偶次幂相等，奇次幂互为相反数;1的任何次幂还是1等。这些经验不仅有利于学生深刻理解乘方运算，而且对今后学习开方运算也会有很大的帮助。

三、帮助学生筑牢运算基础

学生进入初中之后要过的第一关就是“运算关”，而运算的真正难点是混合运算。因为有理数的混合运算在本质上是综合题，学生要兼顾的点很多，运算能力不强的学生常常是顾此失彼。有些学生出现错误，如果教师不加以点拨，直接让学生订正，他们即使订正多次，也还是反复出错;甚至有时订正后，学生也不知道真正的错因何在，这时简单归因到“运算不细心”是不行的。根据教学经验，在有理数混合运算开始前，教师要告诉学生不要急于下手运算，而要培养审题的习惯，即认真审读、观察算式的结构特点，有哪几种运算，括号位置如何，看清辨明运算类型、运算顺序后，再构思从哪些“局部算式”逐个突破，這样才能达到较好的运算效果。此外，教师还要特别重视针对学生的个别情况开展纠错与究错，对那些混合运算能力较差的学生，要安排他们利用“数学写作”的方式整理错题，剖析错因，把每一种运算的错误原因查找出来，进行错因备注，这样可以防止下次再出现类似的运算错误。

（作者单位：江苏省海安市城南实验中学）

摘要：分析历史可以发现，无理数本质上是不能用整数之比来表示的数，它是相对于有理数提出来的客观存在的数概念。由此，可以提出对教材中无理数概念编排的总体设想：把有理数和无理数分别称为“可比数”和“不可比数”，以突出本质;把有理数和无理数一起放在数轴之前教学，以强调关联。具体而言，教材的编排要突出三部分内容：给出可比数的概念;在实验操作的基础上展开数学思考，引进不可比数的概念;在数轴上画出表示不可比数的点。

关键词：初中数学教材;数学史;无理数;数轴

有理数和无理数是初中数学“数与代数”领域的重要概念。根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的“課程内容”要求，当下的初中数学教材基本上都把有理数概念与数轴、相反数、绝对值、有理数的运算等内容安排在《有理数》一章，把无理数概念与平方根、立方根等内容安排在《实数》一章。从时段上看，《有理数》一章通常安排在七年级上册，《实数》一章通常安排在七年级下册（如人教版教材）或八年级上册（如苏科版教材）。

只在有理数概念的基础上教学数轴概念，导致教师不能理直气壮地说“数轴是一条……的直线”，因为数轴上存在着大量的不能用有理数表示的“孔隙”点，只用有理数表征数轴是不完备、不连续、不严密的。此外，教材通常延续20世纪50年代以来的传统，将整数和分数统称为有理数，指出有理数都可以写成有限小数或无限循环小数，反之亦然;而有些数是无限不循环小数，从而将无理数定义为无限不循环小数。

笔者认为，这样的编排方式虽然在一定程度上考虑了学生的学习基础和认知水平（比如，学生理解2是无理数的证明有些困难），但是不能很好地彰显科学性原则，没有体现出课程内容的数学实质和逻辑关系。

目前，新的义务教育数学课程标准即将颁布，相关教材的修订工作也将随之展开。在此背景下，追溯无理数概念的诞生史，谈一谈无理数概念的编排问题很有必要。

一、无理数概念的诞生史

人类对数的认识是一个不断深化、发展的过程，无理数的引入在数学上具有特别重要的意义。

公元前500年左右，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras）创立了一个学派。这个学派的基本观点是“万物皆数”。在他们看来，数只有正整数，“一切量都可以用整数或者整数的比来表示”。这个观点在当时被视为绝对真理。

据说，毕达哥拉斯的学生希帕索斯（Hippasus）第一个发现了正方形的边和对角线长度之比不能用整数之比来表示。这就是说，生活中“实实在在”地存在着不能用整数之比表示的数，即2。这个发现简直“大逆不道”，直接挑战“万物皆数”的观点，使毕达哥拉斯学派的很多人大为惶恐和恼怒。于是，他们便把希帕索斯抛入海中淹死了。

发现了现实中确实存在2后，如何证明2不能用整数之比来表示，即不是有理数呢？基本的思路就是反证法：先假设2是有理数，再从这个假设出发，推出矛盾，说明假设错了，即2不是有理数。这个证明方法曾经出现在古希腊几何学家欧几里得（Euclid，公元前300年左右）所写的《几何原本》一书中。这说明，早在两千多年前，人们已经知道2不是有理数，并且能用反证法证明。

证明了2不是有理数后，就可以利用2造出无穷多个不是有理数的数，如1+2、2+2、3+2、4+2……

中国古代数学家很早就接触到了无理数的问题，但是，没有深入研究这种数的性质，而是致力于探究如何求它的近似值。魏晋时期的数学家刘徽（约225—约295）基于完全平方公式，用a2+r≈a+r2a和a2+r≈a+r2a+1两种方法求不尽根。这体现了中国数学文化和西方数学文化不同的价值取向。

意大利数学家邦贝利（Rafael Bombelli，1526—1572）首先用连分数表示2（如图1所示）。这种表示体现了无理数的极限本质，能让学生体验到数学的结构之美、奇异之美，从而对数学产生浓厚的兴趣。

发现了2不是有理数后，又经过两千多年的数学实践，经过大量数学家反复的探索与争论，直到16世纪，无理数才开始被人们逐渐接受和使用。最早接受无理数的是英国代数学者哈里奥特（Thomas Harriot，1560—1621）。他认为，能参与运算就是数，不管它是否能用十进小数确定下来。

直到18世纪，人们也没有完全认清无理数的性质，无法抽象出一个合理的无理数表述方式。无理数逻辑结构真正解决是在19世纪。1886年，德国数学家施图尔兹（Qtto Stolz，1842—1905）得出，“每一个无理数均可表示成不循环小数”的结论。

二、对教材中无理数概念编排的总体设想

分析历史可以发现，无理数本质上是不能用整数之比来表示的数（无限不循环小数只是其表象），它是相对于有理数（能用整数之比来表示的数）提出来的客观存在的数概念。由此，可以提出对教材中无理数概念编排的总体设想。

（一）突出本质：把有理数和无理数分别称为“可比数”和“不可比数”

从概念本质上看，“有理数”和“无理数”这样的名称是不恰当的。而这样的不恰当，是翻译的错误造成的。

number应该分别翻译为“可比数”和“不可比数”。但是，19世纪，日本学者翻译西方数学书时，把这两个词分别翻译成了“有理数”和“无理数”。后来，中国又从日本引进了“有理数”和“无理数”这样的名称，并一直使用到现在。

因此，笔者认为，编写教材时，我们不能“将错就错”，而应回到英文原意，将有理数和无理数分别称为“可比数”和“不可比数”（同时利用是否“可比”定义有理数和无理数），从而突出这两个概念的本质，帮助学生澄清一些模糊的认识（如227究竟是有理数还是无理数）。

（二）强调关联：把有理数和无理数一起放在数轴之前教学

因为无理数是相对于有理数提出来的数概念，所以无理数应该与有理数放在一起（如一节课中），紧跟在有理数之后教学（注意：这里只出现无理数概念，不出现实数概念;只突出不可比的特征，不引入平方根概念），从而强调知识的关联（自然生长）。而且，这样的话，无理数教学就会被安排在数轴教学之前，从而使数轴教学有充分的逻辑基础，有助于学生理解数轴是一条完整无“瑕”的直线。

这里值得一提的是，把无理数教学安排在数轴教学之前，也尊重了数学史。从上述“无理数概念的诞生史”可以看出，无理数约产生于公元前500年左右。而数轴则是由法国数学家笛卡儿（René Descartes，1596—1650）在创立解析几何学时发明的，本质上是一维解析几何的坐标系。可见，无理数的发现远早于数轴的发明。也就是说，在数轴发明时，人类对数的认识已经扩充到实数了。或者说，在数轴产生时，其上已经不存在“空隙”点了。

三、对教材中无理数概念编排的具体建议

把可比数和不可比数一起放在数轴之前教学，教材的编排要突出以下三部分内容：

（一）给出可比数的概念

可比数概念是不可比数概念的基础。学生在小学学习过整数和分数，由此很容易得到可比数的概念。

教材可以列举几个整数和分数，把整数写成分母是1的分数，然后直接给出可比数的定义：能够写成分数形式mn（m、n是整數，n≠0）的数。

通过分数与小数的互化，让学生认识到：可比数都可以写成有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也都是可比数。

（二）引进不可比数的概念

不可比数是教学的重点和难点，这部分内容需要引导学生经历“实验操作→得到新数（扩充数系的必要性）→探索新数特点（扩充数系的合理性）→给出不可比数定义→扩大数学知识结构”的过程。

学生凭借以往经验，往往会觉得不存在“不可比”的数。为了让学生意识到不可比数是确实存在的，教材可以引导学生在实验操作的基础上展开数学思考：

剪两个边长为1的小正方形硬纸片，并把两个小正方形硬纸片沿对折线剪开（如图2）;把得到的四个三角形硬纸片拼成一个大的正方形（如图3）。

1.大正方形的面积是多少？

2.如果设大正方形的边长为a，则关于a有什么数量关系？

3.a是整数吗？它会在哪两个整数之间？

4.a是有限小数吗？它会在哪两个有限小数之间？

5.a是无限循环小数吗？

7.a可能是一个怎样的数？

在实验操作的基础上，问题1和问题2引导学生发现a2=2，a是确实存在的数。问题3和问题4可以引导学生用夹逼的方法不断地求a的近似值，却得不到a的准确值，从而感觉到a是无限小数。问题5引导学生关注循环特征，感觉到a是无限不循环小数。问题6引导学生关注本质，思考a是不是分数（可比数）。对此，既可以让学生从之前探索得到的表象（无限不循环小数）出发，感觉到a不是分数;也可以引导学生从本质出发，用反证法证明a不是分数。问题7追问a到底是什么数，使得不可比数的概念“呼之欲出”。

教师可以抓住这个时机给出不可比数的定义：不能写成mn（m、n是整数，n≠0）形式的数。同时，通过上述分数与小数的关系，让学生认识到：不可比数都可以写成无限不循环小数，反之，无限不循环小数也都是不可比数。

（三）在数轴上画出表示不可比数的点

在学生学习了数轴概念，并且能在数轴上画出表示可比数的点后，提出以下探索问题：如何在数轴上画出表示不可比数的点？对此，可以引导学生把图2中正方形的对角线放到数轴上（如图4），得到画图方法：过点1作垂直于数轴且长为1的线段，连接原点和所作线段的另一端点，以原点为圆心，上述连线的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，该点（A点）表示的数就是一个不可比数（2）。

然后，可以引导学生将该点向左（右）移动任意（整数）个长度单位，得到更多表示不可比数的点——这时，其实不难引导学生用反证法证明这些点表示的数是不可比数。由此，学生能意识到数轴上存在大量表示不可比数的点。而且，基于可比数和不可比数这样的二分法分类，学生能感悟到可比数和不可比数充满了整个数轴，从而能更好地认识数轴。

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