首先，其实可以证明连续函数列一致收敛的极限函数一定是连续的，你估计还没学到。换言之，如果极限函数不连续，那么一定不可能一致收敛。其次，如果要用定义来说明非一致收敛的话，就要找到一串破坏了一致收敛性的点。先看一致收敛的定义。\forall \varepsilon,\exists N,\forall n>N,|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon(\forall x\in E) 我尝试用比较通俗但是十分啰嗦的话来解释如何否定这件事。一致收敛：任意的 \varepsilon ，只要 n 足够大，该不等式就对所有的x成立。不一致收敛：存在一个 \varepsilon_{0} ， 在 n变大的过程中，会不断遇到使该不等式不成立的 n 和 x ，注意这里的 x 未必是固定的，它可以和 n 有关。比如说， n=k_{1} 时我们找到了一个 x_{1} （只要找到一个点就可以让这个不等式失效了）使
f_{k_{1}}(x_{1})-f(x_{1})|\geq\varepsilon_{0}. 但我们不甘心，会不会让 n 再大一点就全部成立了呢？于是我们继续让 n 变大，结果又遇到了 n=k_{2} ，此时这个不等式又在 x_{2} 处失灵了（这个点当然可以和之前的点不一样）……不断下去，我们发现总是存在使这个不等式失效的 n 和 x ，于是我们终于意识到这玩意儿不是一致收敛的。总是可以找到，意味着这个不等式会在无数个 n 上失效，也就是说，我们只要找到一串趋于无穷的 k_{n} 和相对应的破坏点 x_{n} ，使
f_{k_{n}}(x_{n})-f(x_{n})|\geq\varepsilon_{0}. 我们取 k_{n}=n,x_{n}=1-\frac{1}{n}. f_{n}(x_{n})=(1-\frac{1}{n})^{n}\to e^{-1}.f(x_{n})=0. 由于 \lim_{n\to\infty}|f_{{n}}(x_{n})-f(x_{n})|=e^{-1}\neq 0. 所以一定存在某个 \varepsilon_{0} 使
f_{k_{n}}(x_{n})-f(x_{n})|\geq\varepsilon_{0} 在 n 充分大的时候成立，因此就不一致收敛了。}

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