正项级数是一类常见的级数，判断它们的敛散性常用到审敛法。先说一个基本定理：正项级数 \sum_{n=1}^{\infty}{u_{n}} 收敛的充要条件是其部分和数列{ {S_{n}}
}有界。第一种：比较审敛法。设级数 \sum_{n=1}^{\infty}{u_{n}}
和 \sum_{n=1}^{\infty}{v_{n}} 都是正项级数，（1）若 u_n\leq v_n(n=1,2,3……),且\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}收敛，则\sum_{n=1}^{\infty}u_n也收敛。 （2）若 u_n\geq v_n(n=1,2,3……),且\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}发散，则\sum_{n=1}^{\infty}u_n也发散。 推论①：设级数 \sum_{n=1}^{\infty}{u_{n}} 和 \sum_{n=1}^{\infty}{v_{n}}
都是正项级数，(1)若从某项起（如从第N项起）有 u_n \leq kv_n(n \geq N,k \gt0),且\sum_{n=1}^{\infty}v_n收敛，则\sum_{n=1}^{\infty}也收敛。 (1)若从某项起（如从第N项起）有 u_n \geq kv_n(n \geq N,k \gt0),且\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散，则\sum_{n=1}^{\infty}也发散。 推论②：设级数 \sum_{n=1}^{\infty}{u_{n}} 是正项级数，如果有p>1,使 u_n \le \frac{1}{n^p}(n可以从某个N开始），则级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛； 如果u_n \geq \frac{1}{n^p}(n可以从某个N开始），则级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n发散。第二种：比较审敛法的极限形式。设级数 \sum_{n=1}^{\infty}{u_{n}}
和 \sum_{n=1}^{\infty}{v_{n}} 都是正项级数，且 \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=l.则 （1）当 0<l<+\infty时，级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n和\sum_{n=1}^{\infty}v_nv有相同的敛散性； （2）当 l=0时，若级数 \sum_{n=1}^{\infty}v_n收敛，则\sum_{n=1}^{\infty}也收敛；（3）当 l=+\infty时，\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散，则\sum_{n=1}^{\infty}也发散。 第三种：根值审敛法（柯西判别法）。设 \sum_{n=1}^{\infty}u_n为正项级数，如果\lim_{n \rightarrow +\infty}{\sqrt[n]{u_n}}=\rho,则 （1）当 0\le \rho<1时，级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛； （2）当 1< \rho \le +\infty时，级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_n发散； (3) rho=1时，级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_n可能收敛也可能发散。 第四种:比值审敛法（达朗贝尔判别法）。}