1 分块矩阵的加法定理 1　设矩阵
与 其中
与 证明　设矩阵 ，，令 ，则对任意 ，都有 。设因为
和
采用相同的分块法，所以对任意 ，都有
在
中所在的分块
与
在
中所在的分块
的位置相同。于是根据 ，则有 。所以
与 2 数与分块矩阵相乘定理 2　设 ，证明　设矩阵 ，令 ，则对于任意 ，都有 。设对于任意 ，不妨设
在
中所在的分块为 ，根据 ，则有 。所以
与 3 分块矩阵与分块矩阵相乘定理 3　设
为
矩阵， 为 其中
的列数分别等于 其中证明　设矩阵 ，，令 ，显然
为
矩阵，则对任意 ，都有设要证明定理 3，只需要证明
等价于 。（a） 是有意义的；即对任意 ， 都是有意义的，且互为同型矩阵，其行数为
共同的行数，列数为所有 因为
的列数分别等于
的行数，所以对任意 ，其对应的 因为对任意 ， 均来自分块矩阵的第
行，所以
的行数是固定的，不妨设为 ；同理对任意 ， 的列数是固定的，不妨设为 。因此，对于任意 ， 均为
型矩阵，互为同型矩阵，其行数为所有
共同的行数，列数为所有 （b） 可以构成矩阵；即对任意 ， 的列数相同；对任意 ，根据（a）可知， 为
型矩阵，其中
是
共同的行数， 是
共同的列数。因此，当
为定值时， 也为定值，于是
的行数也是定值；当
为定值时， 也是定值，于是 （c） 与 根据（b）可知， 的行数为
的行数之和。根据（a）可知，因为
为
型矩阵，其中
是
共同的行数，所以
的行数之和即
的行数之和。因为
来自分块矩阵 ，所以
的行数之和等于
分块前的行数 。同理可证
的列数等于
分块前的列数 。综上所述， 与
均为 （d）对于任意 ，均有 。不妨设
在
中所在的分块为 ，其中 ；不妨设
在分块
中为第
行的第
个元素。于是有根据（a）可知，对于任意 ，均有
为
矩阵， 为
矩阵。于是，上式
可以写成其中
表示分块
的
元， 表示分块
的
元。因为
和
均为分块矩阵，所以分块
的
元为
分块前的第
行，分块
的
元为
分块前的第 又因为
和
均为分块矩阵，所以有 ；且当
取不同值时，无论
取任何值，不同分块
的
元均不可能取到
中的相同元素，不同分块
的
元也不可能取到 于是式
可以写成综上所述， 等价于 ，得证。4 分块矩阵的转置定理 4　设 ，则 。证明　设矩阵 ，令 ，则对于任意 ，都有 。设对于任意 。不妨设： 在
中所在的分块为 ，其中 ；该分块中第
行第
列的元素为
中的第
行的第
列，其中 ，该分块有
行和
列；不妨设
在分块
中为第
行的第
个元素。其中有：根据式
可知，。因为
和
都是分块矩阵，所以
的第
行第
列的元素为
中的第
行的第
列。因为
在分块
中为第
行的第
个元素，所以
在分块
中为第
行的第
列。于是有：所以
与 }