各种特殊函数多项式都可以用同一个概念解释，就是在某个测度空间中，由幂函数施密特正交化得到的 L^2 空间的一组基。

n\geq0 都可积，那么1,x,x^2,... 构成希尔伯特空间的一组非正交归一的基，但我们可以将它们施密特正交化，就得到一系列正交多项式（可以有些系数差别，即正交不一定归一）了。

比较同次幂即得到 由此得到 例 19.2.4 (p354-355) 19.3 勒让德多项式的生成函数（母函数） 19.3.1勒让德多项式的生成函数的定义 如图19.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为 的正电荷，则在球内任一点 （其球坐标记作 ）的静电势为 　　　　（19.3.1） 静电势 遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴， 因此， 应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解(19.2.14)的形式， 即 　 （19.3.2） 首先不妨研究单位球内的静电势分布．在球心 ，电势应该是有限的，故必须取 （19.3.3） 为确定系数 ，在上式中令 ，并注意到 则得到 　　　　　　　　　　（19.3.4） 将上式左边在 的邻领域上展为泰勒级数 　　　　　　（19.3.5） 比较（19.3.4）和（19.3.5）即知 于是（19.3.3）成为 (19.3.6) 若考虑单位球内、球外的静电势分布，则有 　 　　　　（19.3.7） 于（19.3.6）中代入 ，即为 （19.3.8） 因此 或 叫作勒让德多项式的生成函数（或母函数） 19.3.2 勒让德多项式的递推公式 根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式． 先把（19.3.6）写成 　　　　　　　　（19.3.9） 对 求导 对上式两边同乘以 ，得 （19.3.10） * 电子科技大学物理电子学院 * 电子科技大学物理电子学院 * 电子科技大学物理电子学院 第三篇 特殊函数 本篇主要内容： 勒让德多项式及球函数；贝塞尔函数和柱函数. 本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数. 本篇特点：加强了思维能力的训练, 以及计算机仿真绘图在特殊函数中的应用. 第十九章 勒让德多项式 球函数 19.1 勒让德方程及其解的表示 19.1.1 勒让德方程 勒让德多项式 在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程 （19.1.1） 在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程 和球谐函数方程 （19.１.2） (19.1.2)式的解 与半径 无关，故称为球谐函数 ，或简称为球函数． 球谐函数方程进一步分离变量，令 得到关于 的常微分方程 　　　　（19.1.3） 称为 阶连带勒让德方程. 令 和 把自变数从 换为 ，则方程（19.1.3）可以化为下列 阶连带勒让德方程 形式的 　　　　（19.1.4） 若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与 无关，则 ，即有 （19.1.5） 称为 阶勒让德（legendre）方程． 同样若记 ， ，则上述方程也可写为下列形式的 阶勒让德方程 (19.1.6) 19．1．2 勒让德多项式的表示 1. 勒让德多项式的级数表示 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 为 （19.1.7） 式中 上式具有多项式的形式，故称 为 阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数． 式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 , 故可方便地得出前几个勒让德多项式: 勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到 计算 ，这应当等于多项式 的常数项． 如 为 （即为奇数）时， 则 只含奇 数次幂，不含常数项，所以 　　　　　　　　　（19.１.8） （即为偶数）时， 则 含有常数项，即 （19.１.7）中 的那一项，所以 （19.１.9）　 式中记号 而 因此， ． 2 勒让德多项式的微分表示 　　　　　　　　　　　（19.1.10） 上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式． 下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的． 【证明】　用二项式定理把 展开 把上式对x求导 次．凡是幂次 的项在 次求导过程中成为零，所以只需保留幂次 的项，即 的项，应取 ，并且注意到 因此有 3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有 容易证明微分表示（19.1.10）也可表示为环路积分形式 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　（19.1.11） 为 平面上围绕 并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 点的任一闭合回路， 式（19.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分． (19.1.12) 【证明】 取 为圆周，圆心在 ，半径为 ．在 上有： 并注意到