这个话题有点长，我会分几次说完，下面正文开始。一、阿基米德的恐惧阿基米德又解决了一个难题，就是如何求圆的面积，这可是几何之父欧几里得都没有解决的问题，可是他并没有开心，反而感到了一阵恐惧，因为他在解题过程中用到了无限。我们先来看一下阿基米德是如何求圆的面积的。古希腊人早就知道了如何求长方形的面积，就是长×宽，这个很好理解，对于多边形来说呢，只要把多边形划分成多个长方形和三角形就可以了，这些图形有一个共同的特点，就是它们的边都是直线，而圆却是曲线。为了解决这个问题，阿基米德想到了把圆拆开再拼接的方法。把圆分成四等分的话，再拼接起来奇怪的图形的边还是曲线，那么继续分，8等分16等分32等分，这个时候就会发现曲线的边越来越直了，那要是分成无数份呢？是不是就会成为一条直线了呢？就像这样。这样的话，就成了一个长方形，长方形的宽当然就是圆的半径r，长呢自然就是周长的一半C/2，而圆的周长是知道的，就是C=2πr，这样的话就得到了圆的面积。解决了这么大一个难题，可是阿基米德却高兴不起来，因为他用到了无限，按理说，不管圆分成多少份，只会越来越接近直线，怎么到了无数份就突然变成了直线呢。无限在古希腊可是一个碰不得的话题，阿喀琉斯永远追不上芝诺的乌龟还有飞矢不动都是用到了无限，结果推导出来了不可能的情况，这就是悖论。欧几里得也是不愿意使用无限，在他的《几何原本》中第五公设就用到了无限的概念，结果他自己也不愿意使用，好像也有点担心。欧几里得的担心是正常的，因为他是数学家，数学家本来就是上帝的代言人，他们的所有理论都必须要建立在严密的逻辑基础上，要是基础不牢固，那么大厦就是建立在流沙之上，那可是随时都可能崩塌的。欧几里得的几何大厦就是由于这一点不严密造成了基础不牢，带来了后来的非欧几何风暴。阿基米德同样感到了害怕。可是阿基米德和欧几里得不一样，他不但是数学家，他还是物理学家还是工程师，作为数学家务求严谨，对于物理学家和工程师就没有必要了，我们都知道他的浮力定律和杠杆原理，他还造出来过巨大的起重机，可以把罗马的战舰吊在半空。。作为物理学家和工程师的阿基米德沿着这条路走了下去，他还用这种方法推导出来了抛物线下面图形的面积。虽然推导有点不严谨，阿基米德还是希望自己这种方法流传下去，希望未来的数学家用这种方法来“找到我们尚未掌握的其它定理”。二、业余数学家的贡献这个未来有点长，都差不多有两千年了，才由一个天文学家接过了阿基米德的接力棒、这个天文学家就是被称为“天空立法者”的开普勒。1609年，开普勒找到了行星运行三大规律中的前两条，分别是椭圆定律和面积定律。椭圆定律是说行星的运行轨道是一个椭圆，太阳就处于椭圆的一个焦点上，这一点对于天文学非常重要，这打破了以往人们认为天体运行轨道都是完美的圆的臆想，这个以往的人们包括亚里士多德托勒密还有哥白尼。面积定律是说行星和太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，刚才说了，行星的轨道是椭圆，这就意味着开普勒必须要知道椭圆的面积怎么计算，要想计算椭圆的面积，这又要回到阿基米德的老路上去了，又要涉及到无限小了。不过开普勒不在乎，虽然他数学才能出众，他也不是纯粹的数学家，在这条路上他越走越远，还写出了一本《测量酒桶的新立体几何》，在书中他引入了无穷大和无穷小的概念，随后给出了酒桶、球等物体体积的新测量方法。开普勒的发现为自己挣得了无上的荣誉，可也砸了自己的饭碗，他本来是占星家，要论对天上星星的了解除了老师第谷之外还真没有超过它，靠这门手艺可以给达官贵人们卜一卜吉凶算一算命运，可是现在他说行星的运行都是有规律的，莫非达官贵人的命运是靠开普勒计算出来的，虽然“计算”比“算”只多了一个字，可再也没有人相信他的占星术了。不过，为了科学为了真理，自己受点委屈也算不了什么，可是有一个人的行为却让他有点不服。这个人就是伽利略。1608年，荷兰人发明了望远镜，在没有见到实物的情况下，伽利略也组装了一台望远镜，并把目光投向了星空。伽利略看到了月球的环形山还看到了木星的四颗卫星，这一系列的发现震动了欧洲，伽利略就此成为了著名的天文学家，名声甚至超过了开普勒。开普勒知道伽利略的所有发现都依赖于望远镜，于是打算向伽利略借望远镜用一下，伽利略说不借，那么借镜片也行呀，伽利略说没有多余的。这当然是伽利略不对，按理说，伽利略走上天文学家的道路还依赖于开普勒，当年开普勒还没有成名时，曾经把自己的著作《宇宙的奥秘》寄给过伽利略，虽然书的内容不怎么样，可就是这本书让伽利略对天文学有了兴趣。伽利略的这种行为为微积分的发展开了一个坏头，从此后在微积分的发展过程中就充满了明争暗斗。不过他们当时的争斗还算不上什么，毕竟俩人搞的是不一样的领域。伽利略的最著名的研究当然是在力学上，伽利略“科学之父”的名声就是靠力学得来的，伽利略发现了运动中的曲线，他已经证明了抛体运动的轨迹就是曲线，不但运动的轨迹是曲线，就连速度变化规律也要用曲线来表示，伽利略连瞬时速度都感受到了，那么什么是瞬时速度？瞬时速度自然就是运动轨迹的切线了。速度自然是数，切线当然是形，数和形怎么样才能搞到一块去呢？这就是解析几何。下面该笛卡尔出场了。说起笛卡尔，是不是第一个就会想起那个凄美的爱情故事和那条著名的心形曲线。传说年迈的笛卡尔遇到了美丽的瑞典公主克里斯汀，爱情的火花就在睿智的老人和青春的少女之间产生了，可是国王反对这门亲事，不让笛卡尔和公主继续见面，笛卡尔就给公主写了一封信，内容自然不能是谈情说爱，要是那样的话，国王就把信扣下了，信上只有一个函数r=a(1-sinθ)，可是聪明的公主却明白了笛卡尔的深情，这个函数画出来就是著名的心形曲线。这个故事一看就是假的。首先极坐标是牛顿首先使用的，而牛顿使用极坐标的时候笛卡尔已经去世多年了，算了，不提极坐标的事情了，也可以用平面坐标表示心形呀，可就算这样，故事照样是假的。笛卡尔确实是克里斯汀的数学老师，不过他们俩相遇的时候公主已经即位成为女王，而且国事繁重，自然没有和笛卡尔来一段忘年恋。笛卡尔确实死在了瑞典，不过不是因为爱情，而是他的生活习惯。笛卡尔从小体弱多病，为了照顾他，家里允许他在床上看书，他就养成了一个坏毛病，每天中午才起床，这要是穷人家孩子也不可能有这个毛病，可他出身富裕，这个习惯可以让他有足够的时间看书，可这个习惯也要了他的命。给女王当老师的时候，女王每天五点就要起床，作为老师总不能赖到中午才上课，又不能在床上给女王上课，再加上瑞典天气寒冷，结果就死在了瑞典，年仅54岁。虽然笛卡尔没有和公主走到一起，可是他把代数和几何拉到了一起，这就是解析几何，这是第一次人们可以用函数来表示形状，这个形状就包含了曲线，就像心形曲线一样。笛卡尔不但用函数表示了曲线，他还求出了曲线的切线，曲线的切线就是只和曲线有一个交点的直线，说到底这就是一个求极值的问题。为了这个问题，笛卡尔可谓费尽了心思，以致于都开始埋怨古人。笛卡尔曾经感叹道“（古希腊人）掌握了一种数学知识，它与我们这个时代通用的数学知识截然不同，但我的看法是……那时的卑鄙和令人愤慨的作者隐瞒了这种知识”，笛卡尔绝对是冤枉阿基米德了。阿基米德的手稿都湮灭在了战火之中，我们都知道阿基米德临死前还在演算数学题的故事，故事可能是传说，但他确实死在了刀兵之中，后来达芬奇、伽利略还有牛顿都研究过阿基米德的著作，可是都没有见到他的推导过程，他的手稿直到1998年才重现于世，而此时那些天才们也都已经去世了。遥远的东方也曾出现过微积分的萌芽，那就是刘徽的割圆术，祖冲之就是用割圆术把圆周率算到了七位，不过东方太遥远了，笛卡尔也看不到，既然见不到，那就自己创造出来吧。于是笛卡尔就成了野心家，他要重建人类的知识，他的狂妄从那一句“我思故我在”就可以看出来。如果不是一个人出现，笛卡尔就可以成功了，这个人就是费马。提起费马，肯定是先想到那个书的空白太少的故事，好像费马就是一个喜欢奇思妙想的骗子一样，这可是冤枉了他，除了那一堆猜想外，他还在笛卡尔之前创立了解析几何，只是他并没有公布，因为他是一个业余数学家。费马几乎是笛卡尔的反面，白天从事法律工作，晚上照顾好孩子后，他才有几个小时的时间来研究数学，和狂妄的笛卡尔比起来，费马是腼腆随和的，他并没有笛卡尔的伟大理想，数学只是他打发时间的一个爱好，费马和数学界的联系主要是通过书信，他甚至都没有见过和他通信的数学家朋友们。可是就是这样，与世无争的费马还是得罪了笛卡尔，这要归功于费马的数学家朋友了。对于笛卡尔的狂妄，大家都有点不爽，可是谁也没有办法，他们只好抬出了他们的朋友费马。笛卡尔听说有一个无名小卒居然在他之前提出了解析几何，立刻勃然大怒，他开始挖空心思地诋毁费马，并阻止费马的著作出版，可是他这万钧之力却打错了地方，因为费马一直以业余数学家自居，数学只是他的一个消遣，至于是不是出版著作更是不在意，他的著作在去世后才出版。笛卡尔看起来是取得了胜利，至少我们现在都在学习笛卡尔坐标系，虽然费马更早地提了出来，不过笛卡尔失去的更多，要是他能和费马携手并进，那对数学的推动就是一件大好事。从伽利略开的头到了笛卡尔终于有了结果，不过这还没有发展到巅峰。费马还求解出了曲线y=x^n下方的面积，就像这样。还记得阿基米德是如何求得抛物线下方的面积吗？阿基米德把抛物线下的面积划分成了无数个三角形，费马的思路和他大同小异，大同是俩人都把一大块面积划分成了无数个小块，小异是费马划分成了矩形。还是来看看费马是怎么求解的吧。费马把曲线下的大块划分成了不相等的无数个小矩形，虽然不相等，可也有规律，这个规律就是小矩形的宽度呈等比数列，比值r小于1，如图所示。只有了宽还不行，要想计算面积还需要长，长就简单了，只要取曲线上对应点的坐标就可以了。下面就要把这些小矩形的面积加起来了，就得到了这样一个式子。既然是等比数列，那么就用等比数列的求和公设计算一下吧，就变成了这样。化简一下，就成了这样。等一下呀，现在得出来的是一堆矩形的面积，可不是曲线下的面积，每个小矩形还有一点在曲线上头呢，要想解决这个问题怎么办，当然是分得越多越好，当分到无数个小矩形的时候，那点多出来的就微不足道了，就可以舍去了，这是不是又回到阿基米德的老路上去了，这岂不是又成了追不上乌龟的阿喀琉斯了吗？人家阿基米德是物理学家还是工程师，这么做还有情可原，可费马你是数学家呀，即便是业余的，也要有数学家的严谨呀。算了，好歹有阿基米德的先例，而且阿基米德也对了，没准这种方法还真对呢，可是就算这样，费马的方法还是不能计算，因为r还没有消除呢，人家阿基米德可是没有带着这么多零碎。不过这难不倒费马，因为还没有到无数个小矩形呢，那什么时候才是无数个呢，当然是r=1的时候，要是r=1，公式就成了这样。A=a^(n+1)/(n+1)再等一下，刚才化简的时候明明说了r≠1，要是r=1的话，那么前面又是怎么消除的r-1呀，0不能做被除数，这是常识呀，虽然说业余数学家，也不能这么业余呀，又来了个自相矛盾，真是一波未平一波又起，费马并没有解决这个问题.这还真怪不着他，因为这就是微积分的原罪，就算牛顿和莱布尼茨也解决不了。三、天神下凡现在我们看一看微积分有什么用。已知一条曲线，求这条曲线各处的斜率；已知一条曲线的各处斜率，求这条曲线；已知一条曲线，求曲线下方的面积。再来看看微积分发展到什么程度了。阿基米德求出了圆的面积还有抛物线下的面积，开普勒解决了椭圆面积，笛卡尔玩出了坐标系，费马说出了切线的求法，他还解决了y=x^n曲线下的面积问题，注意了啊，虽然大家都做了这么多了，但是还没有解决任意曲线下的面积，这个问题怎么解决呢？由谁来解决呢？当然是科学上的神——艾萨克.牛顿。这一切还要从那一年的大瘟疫说起，1665年，英国伦敦爆发了一场大瘟疫，那一场瘟疫伦敦每天都要有7000人死亡，其恐怖程度远远超过了今天的新冠，伦敦顿时变成了人间地狱，英国政府那一年采取的方法和现在一样还是放任自流，达官贵人们纷纷逃离伦敦，只留下了他们的人民在地狱中哀嚎。剑桥大学的一个青年学生为了躲避瘟疫也回到了乡下老家，在这段时间里，他整理了一下自己的各种想法，这段乡下岁月只有二百多年后爱因斯坦的奇迹年可以相比，这个人就是艾萨克.牛顿，那一年，他才22岁。1666年，牛顿写了一本小册子《流数简论》，在这本小册子里他写出了如何求“简单曲线的面积”，这是牛顿的原话，其实应该叫做“一般曲线的面积”，就是这本小册子拉开了微积分的帷幕，后世数学家认为这本小册子“也许是牛顿所有数学著作中最值得称赞的”。牛顿在《流数简论》中列出了三条原则。法则1：简单曲线的面积：如果y=ax^(m/n)是曲线AD的函数，其中a是常数，m和n是正整数，那么区域ABD的面积为（an/m+n）x^((m+n)/n。还是用现代语言翻译一下吧。函数y=ax^(m/n)的图像通过坐标原点A，B的坐标为（x，0），那么来看看牛顿是怎么证明的吧。以下证明过程节选自《微积分的历程：从牛顿到勒伯格》。首先，牛顿令β是横坐标轴上同B相隔一小段距离o的点。因此线段Aβ的长度为[插图]。他令z为面积ABD，不过为强调函数关系，我们用z=z（t）表示。因此，z（x+o）是曲线下的面积Aβδ。下一步，他引进高为v＝BK＝βH的矩形BβHK，他限定其面积恰好等于曲线下面的区域BβδD的面积。换句话说，BβδD的面积等于ov。此时，牛顿指定z（x）=an/(m+n)x^((m+n)/n)并继续求z的瞬时变化率。为此，他考察了x变小时x的变化对z的变化的影响。为书写方便，他暂时令c=an/(m+n)和p=m+n，于是z(x)=cx^(p/n)，那么简化后就有现在，z（x+o）就是面积Aβδ。这个面积可以分解成面积ABD和BβδD，后者是矩形ov的面积，所以，牛顿断定z（x+o）=z(x)+ov。代入上面的式子，得到将等式左边的二项式和右边的二项式展开，得到消去两边最左边的项，并除以o，牛顿得到到这一步，他写道：“如果我们假定Bβ为无限减小并消失的量，或者o为零，那么，v和y在这种情况下相等，并且那些乘以o的项将消失”。他断言，当o变成零时，上式中所有包含o的项也变成零。与此同时，v同y相等，这就是说，图中矩形的高BK将等于原曲线的纵坐标BD。通过这种方式，就变换成他的推导仍然继续进行。在式（9）中，他代换了z（x），c和p并且解出是不是觉得少年牛顿的证明是不是特别别扭呀，确实是，当时可能他也有点概念混乱吧估计他自己看着也头疼，所以干脆就直接引用了，如果觉得太头疼就别看了，咱们还是先挑牛顿的毛病吧。看到他那个变来变去的o了吗？明明刚说了o不等于零，下一步忽然又等于零了，要是等于零的话，那么上一步就不能消除了，这一会儿等于一会儿不等于的谁受得了呀。就算你是神也不能这样，不过，牛顿有意无意地忽略了这一点，就这么得出了结论。不过这也没有给出一般曲线的证明呀，不要着急，还有下面两条法则呢。法则2 由简单曲线构成的复杂曲线的面积：若y的值由若干项构成，那么它的面积等于其中每一项的面积之和。法则3 所有其他曲线的面积：如果y的值或者它的任何项比上述曲线更复杂，那么必须把它分解成更简单的项……，然后应用前面两条法则，就可以获得欲求曲线的面积。有了这两条法则，是不是就有了一般曲线的证明了。其实说了半天，少年牛顿的这一大堆说白了就是再来看看微积分在牛顿力学中的作用吧。我们先来看一个匀速直线运动。匀速直线运动的距离怎么算？当然是s=vt，放到函数图像上呢，就是直线x=v下面的面积。明白没有？还没有明白吗？那在来看一下匀加速运动，匀加速运动的距离怎么算？当然是s=1/2at^2，放到函数图像上看呢，就是斜线y=at下面的面积。现在知道了吧，所谓距离就是速度曲线下面的面积，当然了，我们现在用到的都是直线，不过直线只是一种特殊的曲线，而且真正的速度也不可能是直线呀，而是各种各样的曲线，所以说只要知道了如何求解曲线下面的面积，那么运动学的问题就迎刃而解了。伽利略已经基本知道了各种力学概念了，连瞬时速度他都说出来了，可他为什么差了这临门一脚呢？没有微积分呀，他早早就知道了抛体运动的轨迹是曲线，抛物线就是这么来的，可是怎么算距离他就不清楚了，可对于牛顿来说这就有点太简单了。这是积分，再看看微分。牛顿第二定律大家都知道，就是F=ma，可这不是牛顿原始写法，这是后来马赫改写的，牛顿是这么写的：F=dp/dt，p=mv就是动量，那么再来看第二定律，这就是F=d(mv)/dt，当时认为m不会随着速度的变化而变化，那么就是F=mdv/dt，dv/dt就是加速度，于是就成了F=ma。这是马赫说的，要是按照微分展开呢，那就是F= mdv/dt+vdm/dt，这是什么呀，这就是狭义相对论，当然没有相对论的想法，不过第二定律里已经包含了相对论。这是牛顿的手稿。从手稿里可以看出来，牛顿对于求导已经是轻车熟路了。四、莱布尼茨的幻想可是莱布尼茨又是什么鬼？牛顿独创的公式怎么又加上了他。这确实是牛顿首创的，他也写了小册子，可是他没有公开发表呀，仅仅有几个同事看到了，很显然，莱布尼茨并没有看到他的小册子，后来他又重新推导了一遍。至于牛顿为什么没有公开，或许是他觉得微不足道或许是他的兴趣并不在这上面也或许是他天生腼腆，不管怎么着吧，反正他是没有公开。牛顿这点有意无意的疏忽就给了莱布尼茨莫大的幻想。莱布尼茨自称也是有爵位的，而且是家传的，注意是自称啊，不过可信度不大，他是一个官三代，不过官不大，有爵位的可能性很小，不过也无所谓，爵位这种东西信则有不信则无，那个时代又没有互联网，就算弄个假的也没有什么大不了。基督山伯爵的爵位是假的，不是也没人查他家谱嘛，只要自己心中认定有爵位，那就是有，只要不要象方鸿渐一样，买个文凭还觉得丢人，舍不得拿出来，堂堂的克莱登大学博士混的凄凄惨惨。只要有钱就没人敢说话，基督山伯爵有钱就没有人质疑，要是没钱呢？那就有才啊，偏偏莱布尼茨就是个天才。莱布尼茨大学读的是法律，看来在哪个时代都一样，人们青睐的都是法律金融之类的专业，但是他这么拉风的男人，就象暗夜中的萤火虫一样那么鲜明那么出众，在法国担任外交官期间，他精通了数学，而且意识到了微积分。莱布尼茨久慕牛顿的大名，他通过别人联系和牛顿通了信，并且在信中阐述了自己的想法。牛顿看到信之后，顿时觉得"天下英雄，唯使君与……"，不对，牛顿认为天下英雄，唯我一人耳。牛顿在回信中展开了他的神奇操作，他先在信中写了一段密码，这是当时的流行做法，就好比江湖人士见面都得对两句黑话一样，不过这密码和黑话不同，黑话是通用的，密码是自己编的，都是高智商人士，总不能弄得和跑江湖的一样吧。牛顿密码的大意就是已知流量求流数，已知流数求流量，说白了，就是这活我已经解决了，你就别费劲了，到这里画风还比较正常，关键是牛顿在信中还说了一句，这个问题目前还无解，这句话可是用明文写的，这句话就埋下了后来纷争的祸根。这封信就是后来所称的前函。牛顿的骚操作一如既往地令人费解，一方面告诉人家我已经解决了，一方面嘱托人家要继续努力啊，而且是关键词还是用密码写的，真以为天底下都是如同他老人家一样的天才啊，就算人家是天才，人家也没必要猜你的密码啊。莱布尼茨果然没有猜密码，受到鼓励以后，这算鼓励吗？不算吧，算是个态度吧，莱布尼茨立刻回信，说了自己研究的细节，这人还真实在，这封回信就是后来所称的后函，对于后函牛顿没有搭理他。莱布尼茨没有琢磨爵爷的态度，开始深入研究，果然就重新发明了微积分。1684年，莱布尼茨发表了关于微分的论文，1686年，发表了关于积分的论文，他也证明了微积分的基本定理，也就是牛顿莱布尼茨公式，关于莱布尼茨的证明过程就不写了，那比牛顿的还繁琐，不管这么多了，反正莱布尼茨是重新发明了微积分。虽然牛顿发明的早，可是有一点他是比不上莱布尼茨的，就是莱布尼茨会写符号，微分符号dxdy、积分符号∫都是莱布尼茨写出来的，这一点非常重要，韦达就是靠把代数方程符号化才被称为“代数之父”的。不但会写符号，莱布尼茨还会起名，微积分这个名字就是他起的，可是他也太会起名了，微积分这个名字简直就是诅咒。英语中微积分就是calculus，这个词的词根来自于计算，可是calculus还有一个含义是结石，词根来源于词根calx，意思就是石头，为什么石头会和计算连在一块，因为古代就是用石头计算的呀，他们俩各自独立地发现了微积分，也各自独立地死于结石讽刺的是，不同的是俩人结石的部位不同，牛顿患有膀胱结石，莱布尼茨患有肾结石。人家都公开发表论文了，牛顿这边却没有动静，他这时候在干什么呢？他正在和胡克明争暗斗呢。胡克和牛顿的争斗可以算得上科学史上的一段传奇，不过当时莱布尼茨并不知道，不过他很快就要知道了，接下来他和牛顿争斗的级别要远远超过胡克和牛顿的大战。1687年，随着《自然哲学的数学原理》的出版，牛顿取得了对胡克压倒式的胜利，在书中，牛顿表现出来了对微积分的熟练掌握程度，可是看看时间，他已经比莱布尼茨发表微积分的论文晚了。在《原理》前言中，牛顿写道"十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼茨的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外"。这基本上也是事实。可是莱布尼茨觉得自己受了愚弄，明明在前函中说这个问题还没有解决，而且在后函中自己也写了自己的研究，那么怎么就成了他先发现的了。在牛顿看来，自己已经说了问题解决了，就是那段密码，你自己看不明白，怨我啊，而且莱布尼茨的论文含混不清，好多问题都没有得到彻底解决，你这明显就是粗制滥造啊，而我已经用微积分熟练解决了力学问题，自然是我先发现的。到这里呢，还是一个发明权之争，而且两人都颇有风范，牛顿对莱布尼茨说"我非常珍重和您的友谊"，莱布尼茨则说"在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半"。这个时候还都是君子之争，武器也都是数学，可是这个事情还是出现了变化。五、狮子的利爪这个事情是由莱布尼茨的学生约翰.伯努利引起的。要说数学史上哪个家族最牛，当然是伯努利家族，小李飞刀家才是“一门七进士”，伯努利家族却是一门八杰，出了八个数学家，可要说数学史上谁最惨呢，当然是伯努利家族的老二约翰.伯努利。约翰当然很牛，可他哥哥雅各布更牛，而且哥哥从来就没有就没有把他当做过弟弟，一直认为他不过是哥哥的学生，要想改变哥哥的看法，当然是扬名立万，可约翰也着实的惨，好容易发现了一个微积分定理，还因为穷卖给了洛必达侯爵，那就是著名洛必达法则。机会总是给有准备的人的，这机会还真让他找着了，因为他解决了最速降线问题。这已经是一个老问题了，当年是由伟大的伽利略提出的，大意是：一个可以看做质点的小球，仅靠重力作用，不考虑摩擦力，从一点到达不在这一点正下方的一点，那么沿着什么曲线滑下需要的时间最短。伽利略给出的答案是圆弧线，这是错误的。后来，这个问题困扰了世界近70年，约翰·伯努利解决了这个问题，自然是非常高兴，高兴之余，他也打算考一考他的同行们。约翰·伯努利在《教师学报》上向全欧洲的数学家发出了挑战书，在截止时间来临之际，只收到了他的老师莱布尼茨的答案，这使得约翰·伯努利更加狂妄，他声称“即使是那些对自己的方法自视甚高的数学家也解决不了这个问题”。这毫无疑问是在挑战牛顿呀，牛顿你站出来解啊，你不是能吗？是不是怂了，要是解不出来，以后就不要瞎逼逼了，不过莱布尼茨还是建议他把期限推迟，以使得数学家们有时间思考，就是输也得让人家输的心服口服呀。最后，约翰·伯努利收到了五份答案，有两份自然是他自己和莱布尼茨的，还有一份来自他的哥哥雅各布·伯努利，还有洛必达侯爵的答案，最后一份则盖着英国的邮戳，看到来自英国的答案，约翰·伯努利感到一阵莫名的恐慌。这份答案并没有署名，但是约翰·伯努利却"从他的利爪认出了这头狮子"。约翰·伯努利没有认错，这份答案就来自于科学上的神——艾萨克.牛顿。不过当时约翰·伯努利并不清楚牛顿解题的过程，如果他知道的话，他会更加敬畏这头老狮子。当时牛顿已经就任英国皇家铸币厂厂长，每天繁重的工作让这位老人精疲力尽，这是在他结束一天工作之后，利用几个小时解出来的。最速降线当然是以牛顿大获全胜告终，不过输得最惨的还是约翰.伯努利。因为约翰.伯努利在解题过程中使用了费马原理，费马原理前面已经说过，就是一个求极值的问题，说的是光在折射过程中会沿着最短路径穿行，可关键是这并不是一条已经经过证明的定理，但凡叫原理的都是可能正确也可能不正确，这就是说约翰的证明的基础并不牢固，要是费马错了的话，约翰也就错了，当然了费马原理是正确的，但这样的话约翰也是取巧了。第二个胜利者是哥哥雅各布，雅各布在求解过程中使用了新的方法，这就是变分法的萌芽，后来由欧拉创立了变分法。都说“打了孩子娘出来”，学生都输成这样了，莱布尼茨总得出来说两句话吧。六、发明权之争1700年，莱布尼茨说服德国皇帝腓特烈三世成立了柏林科学院，并担任院长，门下学生一群，而1703年胡克去世，牛顿接任皇家学会会长，手下粉丝一堆。这样一来，两个人的争斗就成了两个门派的争斗，伽利略当年种下的苦果终于长成了参天大树。牛顿这边首先发难，说莱布尼茨抄袭，证据就是前函后函，这个问题虽然说不清，但是还可以解释，最关键的是莱布尼茨的论文粗制滥造啊，谁看起来都象是在抢发明权，楞说他没有了解牛顿的工作这还真没人信，你要是真不了解，抢什么发明权啊，莱布尼茨也不服，这明明是牛顿抄袭啊，证据还是前函后函，你什么也没说，我可是什么都说了，这明明是你抄袭我啊，再说了，我以前是人单势孤，现在我也也是院长了，走到哪我都不怕。问题就出在走到哪都不怕上，这时候牛顿都获得了爵位了，莱布尼茨爵位的真假还不好说呢，牛顿的爵位可是货真价实的，他更不怕了。莱布尼茨居然向英国皇家协会起诉了，指责牛顿抄袭。这就有点失策了，按理说双方隔着英吉利海峡空中互怼多好，谁也拿谁没办法，这下送上门去了，不是找死吗？顺便再插一句吧，在政治上，莱布尼茨确实不成熟，他曾运作使得汉诺威公爵继任英国国王，可是国王并不信任他，也没有把他带往伦敦。这下莱布尼茨落到了牛顿手中，牛顿组织了一个仲裁委员会来裁定此事，成员自然都是爵爷的粉丝，1712年4月24日，仲裁委员会得出结论“我们认为牛顿先生是微积分的第一创立人”。1716年2月26日，牛顿致信莱布尼茨，强调皇家学会“仲裁委员会”的审理报告是公正的，他“不打算收回哪怕是其中的一个字”。1726年《原理》第三版发行，牛顿删去了前两版中关于莱布尼茨的论述。客观来说，应该是两人分别独立发明了微积分，这个事情爵爷应该清楚，否则凭他的尿性，还不折腾死莱布尼茨啊，可是在这场纷争中，莱布尼茨的行为也谈不上多么光彩，你跑人家家门口说人家老大抄袭，这是要置牛顿于死地，也怪不得牛顿出手狠辣，爵爷本来就不是什么良善之辈，看看他后来怎么对胡克的吧，不过爵爷还有基本的操守，那就是人不犯我，我不犯人，人若犯我，你就去死。这场争斗看起来是爵爷赢了，其实却是输了。由于爵爷大获全胜，整个英伦三岛都兴奋不已，他们都以爵爷为荣，放弃了莱布尼茨简便的微分积分符号，而爵爷又不擅长这些，这严重地影响了英国数学的发展，以至于落后于欧洲。另外就是莱布尼茨会教学生呀，学生还会教学生呀，约翰的学生莱布尼茨的徒孙就是欧拉，如果说牛顿是十七世纪最伟大的数学家的话，欧拉就是十八世纪最伟大的数学家，而微积分就是在欧拉手上才成为了一门应用广泛的科学。欧拉不但在师大爷雅各布的启发下创造了变分法，他还开启了微分几何的先河，他的《微分学原理》《积分学原理》被认为是微积分集大成之作，应该说微积分在欧拉手上才完善了起来。欧拉还把微积分推向了更广泛的应用，他和小师弟丹尼尔.伯努利（就是约翰.伯努利的儿子）一起创立了弹性力学，还在牛顿力学的基础上，建立了流体力学的欧拉方程。他还有一个更牛的地方就是继承了师爷莱布尼茨取名的能力，我们数值的圆周率π、复数i、自然底数e、还有正弦余弦正切符号也都是他创造的，微积分中的△x、f（x）也是出于他手。还有洛必达侯爵，第一本关于微积分的教科书《阐明曲线的无穷小于分析》就是他写的，他也算是莱布尼茨的旁支吧。可以说确实是牛顿首先发明了微积分，可微积分的推广与完善都是莱布尼茨和徒子徒孙们完成的，爵爷就是再牛，也不能一人对抗三代吧。七、幽灵初现但是即便是欧拉，也没有解决微积分的原罪，就是那个幽灵般的无穷小。在阿基米德的时代，就对无穷小很头疼，不管怎么说无穷小虽然小，可是也存在呀，那怎么就舍去了呢？到了费马牛顿莱布尼茨，玩得更大了，需要的时候无穷小还是个数，不需要的时候就干脆说无穷小是零，那到底是不是零呀？这个问题要是不解决的话，微积分就建立在流沙之上，大厦是会随时崩塌的。对于这个问题，大家都在装糊涂，都有意无意地装做没看见，可是有人看见了，并且提出了质疑，这个人又是谁呢？六、第二次数学危机这个人就是贝克莱大主教。看到大主教，是不是觉得有些奇怪，作为主教，好好地宣扬上帝福音不就行了，掺和什么数学呀。这就错了呀。历史上推动科学发展的有很多都是宗教人士。伟大的哥白尼就是教士，伽利略和教皇关系非常好，至于爵爷牛顿，他本来就是神学家，数学了物理了都是他的业余爱好，还有第一个对牛顿力学提出质疑的本利特也是一位神父，当然了这不是说宗教对科学有促进作用，而是不相信宗教的话根本就没有机会获得良好的教育，连接受教育的机会都没有还谈什么科学突破呀。贝克莱大主教也是一样，他不但是主教还是英国著名的哲学家，“存在就是被感知”这句话就是他说的。1734年，大主教写出了《分析学家》一文，锋芒指向了牛顿。“这些流数到底是什么？逐渐消失的增量速度有多么大？这些相同的逐渐消失的增量是什么？它们既不是有限的量，也不是无穷小的量，更不是零。难道我们不能把他们称为消失的量的鬼魂吗？”这简直就是对牛顿的拷问呀。主教也没有放过莱布尼茨，他认为承认一个无穷小量的概念超出了“我的能力”，接受像dx这样无穷小量的无穷小部分“对任何人来说都是无限困难的”。主教并没有否认微积分结果的正确性，他反对的是微积分背后的逻辑性，他说“错误也许能产生真理，但是并不会产生科学”。主教说这番话的时候，牛顿和莱布尼茨都已经去世，不过即便是他们在世也未必能反驳得了贝克莱。按照爵爷的一贯尿性，搞不明白的东西就直接推给上帝，当初他就是对付本利特神父的，可大主教一句也没有提到上帝，人家一直在说科学，就算牛顿亲临也会哑口无言。至于莱布尼茨，他连牛顿都对付不了，他要是能回答主教的疑问的话，早就把爵爷按在地上摩擦了，就算他还活着的话，也只能三缄其口。还是来看看大主教的证明过程。贝克莱用牛顿莱布尼茨的方法求了一下y=x^n的dy/dx。很显然，这应该做微商，对x增加一个微小的非零增量o，那么就可以表示为：这时候，分子分母都除以o，这意味着o不等于0，一切都还正常，可以下一步画风突变，就变成了这样。这时候o突然就等于0 了，那么o等不等于0呢，要是等于0，那么第一步就不能分子分母都除以o，要是不等于0呢，那么第二步就不会出现舍去后面的所有项。在贝克莱看来，要是不解决这个问题的话，即便用微积分得出了正确的结果，那么微积分也是一文不值。这就是第二次数学危机。而此时“天下英雄皆归隐”，不过“江山代有才人出”。七、群雄逐鹿达朗贝尔就试图解决这个问题。达朗贝尔是一名弃婴。他的父亲是一名英俊潇洒的军官，母亲则是著名沙龙的女主人，俩人一时情热生下了达朗贝尔，可是他的母亲担心达朗贝尔的出生会影响她的声誉，就把刚出生的达朗贝尔扔到了教堂的台阶上，恰巧被一位善良的士兵捡到了，他的亲生父亲听说了，把他寄样在了一个工匠夫妇家中，由于他是在让.勒隆教堂门口捡的，就取名叫让.勒隆，长大后他给取了个姓就是达朗贝尔。看看达朗贝尔的故事，是不是有点像萧大王呀，确实呀，这还仅仅是开始，达朗贝尔一生简直就是萧大王的翻版。萧大王一生未娶，那是由于他有“千秋万代，四海列国，只有一个阿朱”的红颜知己，达朗贝尔也是一生未婚，他也有一个红颜知己，就是著名沙龙女主人勒皮纳斯，两人一生爱恋，却没有走到一起。萧大王最后“教单于折箭，六军辟易”，达朗贝尔由于反对宗教，死后连葬礼也没有。都是让人不胜唏嘘的英雄好汉，好了，咱们还是来看看达朗贝尔的降龙十八掌吧。对于主教的质疑，达朗贝尔认为是有道理的，他宣称“一个量要么有，要么没有，要是有，那就没有消失，要是没有，那就确实消失了”。达朗贝尔绝对是德云社出来，你看着贯口背的，这就有点像萧大王说降龙二十八掌有点多余了，那么怎么办，当然是重新建立基础。达朗贝尔提出了建立在极限基础上的微积分。他把dx/dy看做是有限项的商的极限，注意“有限项”和“极限”这两个词，他可以没有用“无限小”这个“幽灵”，他把这个商表示为z/u，他认为微商就是“假定z和u是实数且不断减小时，比值z/u越来越接近的量。”达朗贝尔的突破在于没有使用无限小这个概念，可是他也没有决定性的突破，因为他没有解释清楚什么是极限，毕竟萧大王去世的太早了，萧大王把武功教给了挂逼兄弟虚竹，那么达朗贝尔没有完成的工作也要教给一个挂逼了。这个挂逼就是拉格朗日。要说起牛逼来，有十四岁上大学的，比如开尔文勋爵，就是他说的两朵乌云，有高中毕业读博士的，比如泡利，就连爱因斯坦见了他也要打哆嗦，可这都比不上拉格朗日，这货18岁上就当上了教授。不管开尔文还是泡利都或多或少的有点家庭背景，可拉格朗日纯粹靠自己，18岁上他发表了一篇论文，给变分法提供了理论基础，变分法可是雅各布.伯努利和欧拉两个神人才发展出来的呀。在力学上，他开创了分析力学，爵爷的牛顿力学是以力的中心的，他的分析力学以能量为中心，这么说吧，要不是晚生了100多年了，估计他也整出牛顿力学来。天文学上，他最牛的是整出了三体问题的五个特殊解，三体文明就是缺一个拉格朗日呀，要是有一个拉格朗日也不用过得那么苦逼了。当然这一切的基础都是微积分，这就跟小和尚虚竹的武功离不开北冥真气一样，既然对微积分这么精通，对于微积分的基础他当然要研究一下了，这一研究就有了一种“排除无穷小量、逐渐消失的量、极限以及流数所有因素”在内的微积分。拉格朗日的研究方法与诸位前辈不同，他是从无穷级数开始的。他把f（x+i）表示成了i的无穷级数。P、q、r都是从函数f（x）导出的与i无关的新函数，p（x）就是f(x)的一阶导数。咱们用一个例子f（x）=1/x^3来说吧。按照上面的式子展开，就是进行一个简单变换就成了这样再变一下现在令i=0，那么左边就只剩下了p（x），右边呢也没有了i，就是这样了。P(x)=-3x^2/x^6=-3/x^4。这就是函数f(x)的一阶导数。在拉格朗日的证明过程中并没有出现幽灵般的无穷小，那么问题解决了吗？看来是解决了，其实还没有，因为拉格朗日证明的只是一种特殊的形式，并不是每一个函数都可以这样展开，比如柯西就写出了一个这样的函数上面这一部分的导数就是零，下面这一部分同样是零，这就是说用拉格朗日的级数写法，两个不同的函数就有一个共同的函数，这肯定是不合适的。这就好像是小和尚虚竹还是被一把匕首击败了，击败他的就是鸠摩智。柯西也恰恰是很符合鸠摩智的人设的。鸠摩智这一辈子求的是什么？是天下第一的虚名，本来火焰刀也可以争雄的，可他偏偏还觊觎六脉神剑七十二绝技之类，柯西也是如此。我们知道数学王子高斯就像扫地僧一样，平时不显山不漏水的，关键时候才扶大厦于将倾挽狂澜于既倒，没有十足的把握高斯绝对不出手，所以他的笔记就是一个宝藏，埋藏了一大堆他认为还不成熟的想法，其实只是他自己认为不成熟，随便拿一个出来都是震惊世界的。而柯西就不同了，他有一点想法就迫不及待的公之于众，就这还觉得不过瘾，他干脆自己办了一份刊物，随时随地发布他的想法，这是不是有点像大轮明王？当然，柯西和鸠摩智最像的地方还是他们都是绝顶高手，就是柯西解决了微积分的幽灵。为了解决这个幽灵，柯西又翻出了极限这个概念，在达朗贝尔手中，极限还略显粗糙，到了柯西手里，极限就要锋芒毕露了。“当属于一个变量的相继的值无限地趋近于某个固定值时，如果最终同固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就是称为所有这些值的极限。”这就是柯西的极限定义，听起来有些复杂，来解释一下吧。用刘徽的割圆术来打个比方吧。刘徽的割圆术实际上就是在制定圆内做内接正多边形，刘徽做到了3072边形，在刘徽看来，不管多少边形其面积都不会等于圆面积，那个差值就是贝克莱认为的“幽灵”，这个幽灵在牛顿和莱布尼茨那里就忽略了，然而在柯西看来，根本就没有“幽灵”，当多边形趋于无限时，其面积就等于圆面积。在消除了微分的幽灵之后，柯西又把火焰刀对准了积分。在莱布尼茨最初的定义中，积分就是求和，可后来者一定义被大家放弃了，一般认为积分就是微分的逆运算，比如欧拉就认为“积分学是从给定微分的变量寻找自身变量的方法，产生这种变量的运算称为积分”。而柯西并不同意这种说法，他认为积分是独立存在的，并且应该有相应的定义。此时的柯西就像被段誉吸干了内力的鸠摩智一样，已经大彻大悟称为大德高僧，他要从最根本的角度去思考问题。他把连续函数f(x)在区间[x0，X]分成了无数的小单元，比如x1-x0，x2-x1，x3-x2，……，X-x（n-1），那么很明显到了这里，柯西指出“如果在增加单元的数量时，我们无限地减小这些单元的值，那么S的值讲趋近于某个确定的极限，次极限仅依赖于函数f（x）的表达式和变量x所能取的极端值x0和X，这个极限就是我们所说的定积分”。从柯西的定义可以看出，他认为积分就是求和，而且积分也是一种极限且和反微分无关，至此，柯西已经对微积分正本清源，他也有了三分扫地僧风采。不过鸠摩智是被迫证道，难免还留有些许羁绊，既然已经证道又何必再回吐蕃，天下何处不是乐土，柯西一样，虽然他有了突破性的贡献，但是他毕竟还是踩在了巨人的肩膀上，难免也带点巨人的尾巴。再来看一眼柯西对极限的定义。不管是微分还是积分，都有一个“趋近于”，这是什么鬼？是谁在趋近于？用什么方式趋近于？这是不是还得考虑时空关系呀，好好的聊数学，你说什么物理呀？所以说还需要一个更准确的极限定义。这个工作就由魏尔斯特拉斯完成了。比起诸位大师来，魏尔斯特拉斯的生活就有点艰难了，他从小天资聪颖，父亲对他寄予厚望，希望他成为一名公务员光宗耀祖，于是送他去读法律，可是他对法律没有兴趣，连研究生都没有考上，气得父亲骂他是个“从灵魂到躯壳都有病的人”。没奈何，他只好去考了教师资格证，这次他通过了，担任了“太阳底下最光辉的职业”，不过学校不咋地，都是偏僻的中学，就这样他度过了数学家的最黄金的时间。看起来，魏尔斯特拉斯是不是像极了我们自己，确实呀，要是我们普罗大众的电话，估计也就在乡下中学混一辈子，可是他不是，因为他就像柯镇恶柯大侠。要说武侠小说中谁最牛？当然是柯大侠。杖打西毒、痰唾东邪、掌掴北侠、怒斥西狂，也就是中神通王重阳死的早南帝一灯大师住得远，新老五绝被他收拾了一个遍，就算是达摩在世张三丰重生也不敢这么狂吧。可柯大侠敢，为什么？因为柯大侠侠气冲天呀，魏尔斯特拉斯就是这样的人，他是最理解科学精神的人。在辛苦生活之余，魏尔斯特拉斯还是没有忘记数学，这是不是有点业余数学家费马的味道呀，还不一样呀，费马研究数学纯粹是爱好，从来没有想过发表论文，有点世外高人的意思，可魏尔斯特拉斯却要发表，要是不发表就没法造福世界了不是。可是他的发表渠道有点堪忧，一般都发表在当时中学发行的一本不定期刊物《教学简介》上，你能想象一大堆数学大师去看《中学生数理化》吗？肯定不会吧，所以就根本就没有人注意到他。这个时候克雷尔帮助了他，说到克雷尔，不能不为他点个赞，这位简直就是数学界的伯乐，克雷尔自己办了一份刊物《纯粹与数学应用杂志》，这本杂志专门为有创造力的青年数学家开放，想当年少年天才阿贝尔遭遇高斯和柯西二连坑后就是克雷尔发表了阿贝尔的论文，阿贝尔才一举成名，在数学史留下了灿烂的光辉。虽然魏尔斯特拉斯已经不年轻了，克雷尔还是接受了他的论文，他也因此名声大噪，在担任十五年中学教师后成为了大学教授。魏尔斯特拉斯提出了新的极限定义。柯大侠没有名师没有秘笈，单凭自己的一股侠气就屹立于天地之间，魏尔斯特拉斯也是一样，他穷且益坚，在艰苦环境下提出了新的极限定义。在魏尔斯特拉斯的定义中，去除了时间和几何，是一个完全静态的代数的定义，堪称完美。至此，微积分终于不再建立于流沙之上，而是成为了真正的大厦。假如没有微积分，我们不会知道圆的面积如何计算，自然也不会知道圆周率，那么我们还处于蒙昧之中，假如没有微积分，也不会有开普勒定律，我们还认为地球是宇宙中心，假如没有微积分，自然也不会有牛顿力学，那么也不会有工业革命，要是没有微积分，还不会有麦克斯韦方程，自然就不会有电视电报，更不会有手机，我们将永远走不进信息时代的大门。可以说，我们的世界就是微积分统治的世界，微积分就是我们今天生活的基础。让我们永远缅怀这些伟大卓越的数学家！}