证明“通解公式”需解微分方程： y'+f(x)y=g(x) (f(x)和g(x)已知)两边同乘待定函数 h(x) 得： h(x)y'+f(x)h(x)y=g(x)h(x) 考虑将左边凑成导数乘法法则 (uv)'=u'v+uv' 右边的形式，则令 f(x)h(x)=h'(x) (1)化为 [yh(x)]'=g(x)h(x) 两边积分得： yh(x)=\int g(x)h(x) \mathrm{d}x 即通解为： y=\frac{1}{h(x)} \int g(x)h(x) \mathrm{d}x （2）下面还需求出待定的函数h(x)，那就再解(1)式中的微分方程： f(x)h(x)=h'(x) 分离变量得： f(x) \mathrm{d}x=\frac{1}{h(x)}d[h(x)]
两边积分得: \int f(x) \mathrm{d}x=\ln \left
h(x) \right
即 h(x)=\pm e^{\int f(x) \mathrm{d}x} (对于这里取h(x)一个特解即可)代入（2）即得则原方程通解为： y=\frac{1}{\pm e^{\int f(x) \mathrm{d}x}} \int [g(x)\pm e^{\int f(x) \mathrm{d}x}]\mathrm{d}x 另外，这题可以用“常系数非齐次线性微分方程解=齐次通解+非齐次特解”求解给你按推导写一遍构造过程吧通过换元将非齐次换元化为齐次：令 v=u+g(t) 代入原式得： u'+g'(t)+\frac{k_2}{m}[u+g(t)] =\frac{k_1}{m}t
即 u'+g'(t)+\frac{k_2}{m}u+\frac{k_2}{m}g(t) =\frac{k_1}{m}t 令 g'(t)+\frac{k_2}{m}g(t) =\frac{k_1}{m}t 得： u'+\frac{k_2}{m}u =0 后面这个就是关于u的齐次微分方程了，通解为： u=C_1e^{-\frac{k_1}{m}t }
将 u 换回 v 得： v=C_1e^{-\frac{k_1}{m}t } +g(t) 我们只需要求出其中一个满足 g'(t)+\frac{k_2}{m}g(t) =\frac{k_1}{m}t 的g(t)即可(观察形式可知g(t)即原微分方程的一个特解)考虑设 g(t)=at+b (右边是多项式函数则考虑设("猜")特解为多项式函数)，代入上式得：a+\frac{k_2}{m}(at+b) =\frac{k_1}{m}t ，展开待定系数得： \left\{\begin{matrix}
a+\frac{k_2}{m}b=0 \\ \frac{k_2}{m}a=\frac{k_1}{m}
\end{matrix}\right. 解出a,b即得特解g(t)从而求出v-t关系，最后代入初始条件算出 C_1 即可ps:"常系数非齐次线性微分方程解=齐次通解+非齐次特解"这个结论就是按上述换元流程得证的，相信不难理解。对于常系数非齐次的，难度主要集中在求特解(求齐次通解套特征根的公式就行)，一般有这几种：（1）右边为指数函数 e^{ax} ，则特解设为 be^{ax} (b为待定系数)（2）右边为三角函数 A\sin (\omega x+\varphi) ，则特解设为 b\sin (\omega x+\varphi)+c\cos (\omega x+\varphi) (b,c为待定系数)（3）右边为n次多项式函数，则特解设为与该多项式函数次数相同的n次多项式函数(则从n次到常数项共有n+1个待定系数，考试n一般不会超过2次的)}

一阶微分方程的求解变量可分离型形如 y'=f(x)g(y) 的方程称为变量可分离型方程俗话说“物以类聚，人以群分”我们可以把与 x 有关的放在等式的一边，把 y 有关的放在等式的另一边则其解法为\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx 两边同时积分\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx 得其通解例：求 ysin\frac{x}{2}dx-cos\frac{x}{2}dy=0 的通解解：分离变量得\frac{dy}{y}=\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}dx 两边同时积分得\int\frac{dy}{y}=\int\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}dx \Rightarrow ln|y|=-lncos^2\frac{x}{2}+lnC_1 \Rightarrow y=\frac{C}{1+cosx} 可化为变量可分离型形如 \frac{dy}{dx}=f(ax+by+c) 的方程，其解法为令 u=ax+by+c 则 \frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx} 代入原方程可得 \frac{du}{dx}=a+bf(u) 于是便化为了变量可分离型例：求 dy=sin(x+y+100)dx 的通解解：令 u=x+y+100 则 \frac{du}{dx}=1+\frac{dy}{dx} 代入原方程可得 \frac{du}{dx}=1+sinu 分离变量得 \frac{du}{1+sinu}=dx 两边同时积分得 \int\frac{du}{1+sinu}=\int dx \Rightarrow tanu-secu=x+C 将 u=x+y+100 代入可得通解tan(x+y+100)-sec(x+y+100)=x+C 形如 \frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x}) 的方程，称为齐次方程，其解法为令 u=\frac{y}{x} \Rightarrow y=ux 则 \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u 代入原方程可得 \frac{du}{dx}x+u=\varphi(u) 于是便化为了变量可分离型例：求 (x\frac{dy}{dx}-y)arctan\frac{y}{x}=x 的通解解：方程两边同除 x 得(\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x})arctan\frac{y}{x}=1 令 u=\frac{y}{x} 则 \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}x+u 代入原方程得 (\frac{du}{dx}x+u-u)arctanu=1 分离变量得 arctanu
du =\frac{dx}{x} 两边积分后可求其通解u\cdot arctanu=ln(C\cdot
x|\sqrt{1+u^2}) 把 u=\frac{y}{x} 代入得通解\frac{y}{x}arctan\frac{y}{x}=ln(C\cdot\sqrt{x^2+y^2}) 一阶线性微分方程形如 y'+p(x)y=q(x) 的方程，其通解求法为方程两边同时乘以 e^{\int p(x)dx} 得e^{\int p(x)dx} y'+e^{\int p(x)dx}p(x)y=e^{\int p(x)dx}q(x) \Rightarrow [e^{\int p(x)dx}y]'=e^{\int p(x)dx} q(x) 两边积分得e^{\int p(x)dx} y=\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C \Rightarrow y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C] 此式即为一阶线性微分方程通解公式例：求 y'+1=e^{-y}sinx 的通解解：两边同乘 e^y 得(e^y)'+e^y=sinx 这是关于 e^y 的一阶线性微分方程利用通解公式得e^y=e^{-\int dx}[\int e^{\int dx }sinxdx+C] =e^{-x}[\frac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C] 伯努利方程形如 y'+p(x)y=q(x)y^n 的方程可以看到，此方程仅仅只是比一阶线性微分方程多了一个 y^n ，那么，我们可以将其化为一阶线性微分方程形式，再用一阶线性微分方程通解公式求此方程通解其通解求法为两边同除以 y^n 得y^{-n}y'+p(x)y^{1-n}=q(x) 令 z=y^{1-n} \Rightarrow \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} 代入原方程得\frac{1}{1-n}\cdot \frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x) 两边同乘以 1-n 得z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x) 于是便化为了一阶线性微分方程例：求 ydx=(1+xlny)xdy 的通解解：方程变形为 \frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}x=\frac{lny}{y}x^2 这是关于 x 的伯努利方程两边同除以 x^2 得x^{-2}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}x^{-1}=\frac{lny}{y} 令 z=x^{-1}\Rightarrow \frac{dz}{dx}=-1\cdot x^{-2}\frac{dx}{dy} 代入原方程得z'+\frac{1}{y}z=-\frac{lny}{y} 利用通解公式得z=e^{-\int \frac{1}{y}dy}[\int e^{\int \frac{1}{y}dy}\cdot\ \frac{lny}{y}dy+C] =1-lny+\frac{C}{y} 所以通解为\frac{1}{x}=1-lny+\frac{C}{y} 二阶可降阶微分方程的求解 y''=f(x,y')型我们设 y'=p ，则 y''=p'=\frac{dp}{dx} 那么方程就变成了p'=f(x,p) 这是关于变量 x,p 的一阶微分方程若解得其通解为p=\varphi(x,C_1) 而 p=\frac{dy}{dx} ，所以又可以得到一个一阶微分方程\frac{dy}{dx}=\varphi(x,C_1) 分离变量，两边积分得y=\int \varphi(x,C_1)dx+C_2 即为原方程通解例：求 (1+x^2)y''-2xy'=0 的通解解：令 y'=p ，原方程可化为(1+x^2)\frac{dp}{dx}-2xp=0 分离变量得\frac{dp}{p}=\frac{2x}{1+x^2}dx 两边积分得 \int\frac{dp}{p}=\int\frac{2x}{1+x^2}dx \Rightarrow p=C_1(1+x^2) \Rightarrow \frac{dy}{dx}=C_1(1+x^2) \Rightarrow y=C_1(x+\frac{1}{3}x^3)+C_2 即为原方程通解y''=f(y,y')型我们仍设 y'=p ，因为不含有 x ，所以我们把 y'' 化为对 y 的导数y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}p 于是方程就变成了\frac{dp}{dy}p=f(y,p) 这是一个关于 y,p 的一阶微分方程若得其通解p=\varphi(y,C_1) 而 p=\frac{dy}{dx} ，所以又可以得到一个一阶微分方程\frac{dy}{dx}=\varphi(y,C_1) 分离变量，两边积分得\int\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2 即为原方程通解例：求 yy''-y'^2=0 满足初值条件 y|_{x=0}=1,y'|_{x=0}=\frac{1}{2} 的特解解：令 y'=p ，则 y''=\frac{dp}{dy}p ，原方程可化为yp\frac{dp}{dy}-p^2=0 两边同除以 p( y'|_{x=0}=\frac{1}{2} \Rightarrow p\ne0) 得y\frac{dp}{dy}-p=0 分离变量，两边积分得p=C_1y \Rightarrow \frac{dy}{dx}=C_1y \Rightarrow y=e^{C_1x+C_2} 将 y|_{x=0}=1,y'|_{x=0}=\frac{1}{2} 代入得 C_1=\frac{1}{2},C_2=0 所以原方程特解为
y=e^{\frac{x}{2}} 高阶线性微分方程的求解二阶常系数齐次线性微分方程的通解对于 y''+py'+qy=0 ，其对应的特征方程为 \lambda''+p\lambda'+q\lambda=0 ，解其特征根（1）若 \lambda_1\ne\lambda_2 ，可得通解y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} （2）若 \lambda_1=\lambda_2=\lambda ，可得通解y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x} （3）若 \lambda=\alpha \pm\beta i ，可得通解y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x) 二阶常系数非齐次微分方程的特解 对于 y''+py'+qy=f(x) ，设 P_m(x)，P_n(x) 分别为 x 的 m，n 次多项式（1）当自由项 f(x)=P_m(x)e^{\alpha x} 时，特解要设成 y^*=e^{\alpha x}Q_m(x)x^k 其中 \begin{cases} e^{\alpha x} \\[2ex]
Q_m(x)为x的m次多项式\\[2ex]
k=\begin{cases}
0，\alpha 不是单特征根\\[2ex]
1，\alpha 是单特征根 \\[2ex]
2，\alpha 是二重特征根 \\[2ex]
\end{cases}
\\[2ex]
\end{cases}
（2）当自由项 f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)cos\beta x+P_n(x)sin\beta x] 时，特解要设成y^*=e^{\alpha x}[Q^{(1)}_l(x)cos\beta x+Q^{(2)}_l(x)sin\beta x]x^k 其中 \begin{cases} e^{\alpha x} \\[2ex]
l=max \{m，n\}，Q^{(1)}_l(x)，Q^{(2)}_l(x)分别为x的两个不同的l次多项式 \\[2ex]
k=
\begin{cases}
0，\alpha \pm\beta i不是特征根 \\
1，\alpha\pm\beta i 是特征根&
\end{cases} \\[2ex]
\end{cases} 解的结构（1）若 y_1(x)，y_2(x) 是 y''+p(x)y'+q(x)=0 的两个解，且 \frac{y_1(x)}{y_2(x)}\ne C ，则称 y_1(x)，y_2(x) 是该方程的两个线性无关的解，且 y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) 是方程 y''+p(x)y'+q(x)=0 的通解（2）若 y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) 是 y''+p(x)y'+q(x)=0 的通解， y^*(x) 是 y''+p(x)y'+q(x)=f(x) 的特解，则 y(x)+y^*(x) 是方程 y''+p(x)y'+q(x)=f(x) 的通解（3）若 y^*_1(x) 是 y''+p(x)y'+q(x)=f_1(x) 的解， y^*_2(x) 是 y''+p(x)y'+q(x)=f_2(x) 的解，则 y^*_1(x)+y^*_2(x) 是 y''+p(x)y'+q(x)=f_1(x)+f_2(x) 的解例：已知 y_1=xe^x+e^{-x} 是某二阶非齐次线性微分方程的特解， y_2=(x+1)e^x 是相应二阶齐次线性微分方程的特解，求此非齐次线性微分方程解：由 y_2=(x+1)e^x 是二阶齐次线性微分方程特解得\lambda=1 是二重特征根其特征方程为 (\lambda-1)^2=0\Rightarrow\lambda^2-2\lambda+1=0 则齐次方程为 y''-2y'+y=0 非齐次方程设为 y''-2y'+y=f(x) 将 y_1=xe^x+e^{-x} 代入得 f(x)=4e^{-x} 所以此非齐次线性微分方程为 y''-2y'+y=4e^{-x} 参考：《高等数学》同济七版张宇《基础三十讲》}

这个表述不恰当，或者说是一句偶尔有用的废话。以一阶常微分方程为例，F(x,y,y')=0 ，求解该微分方程，除了很少的情况下（y’的系数为h（x,y）），能够通过简单的变换，得到 f(y,x)dy+g(x,y)dx=0 ，根据积分因子的存在性，存在函数 G(x,y)=c 与 f(y,x)dy+g(x,y)dx=0 等价，因此 G(x,y)=c 相当于微分方程F(x,y,y')=0的积分解。需要注意的是，能够这样求解的微分方程很少，理论上只有一阶常微分方程（y’的系数为h（x,y））能够这样做，偏微分方程就无法这样求解。而且在求积分的过程中会非常麻烦，从 f(y,x)dy+g(x,y)dx=0 ，乘以积分因子，过渡到 G(x,y)=c 仅存在理论可能，实际操作非常麻烦。所以积分是求解微分方程的非常特殊的一种解法，大部分情况下，微分方程的求解无法通过积分获得，微分方程一般只研究解的存在性、唯一性和稳定性，毕竟能够求得解析解的微分方程太少了。}