我们此前已经知道导数的存在意义，那么求不定积分作为求导的逆运算，我们将研究从中得到的新的意义。黎曼可积我们考虑一个常见的物理问题，做功。我们都知道在力恒定的情况下，做功等于力乘以物体沿力方向的位移距离，但如果力是在中途按照某个函数变化的呢？我们考虑将这个函数无限切割，用分割求和的极限来代表最终的结果：\displaystyle\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_{i+1}-x_i),x_1=a,x_{i+1}=b,\xi_i \in(x_i,x_{i+1}) 如果这个式子的极限存在，我们称函数在a到b这一段上黎曼可积，我们使用积分符号表示：\displaystyle\int_a^b f(x)dx 之所以使用和不定积分类似的符号，是因为我们通过微分中值定理的简单应用就能将两者联系起来：\displaystyle F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n(F(x_{i+1})-F(x_i))=\sum_{i=1}^nF'(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_{i+1}-x_i) 所以求黎曼积分也就转化为了求原函数再作差，记作：\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(x)\bigg|_a^b=F(b)-f(a) 这被称为牛顿莱布尼茨公式，将会是我们计算黎曼积分的主要手段。练习：计算 \displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}((1+\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})\cdots(1+\frac{n}{n}))^{1/n} 。可积函数的性质首先可积函数必须是有界的，否则始终会有某一段分割上的函数值可以取到无穷大，积分区间通常也应该是有界的。探索：对于可积函数无界或是积分区间无界的情况，能否寻找一种方法拓展黎曼积分？其次一个函数的积分具有可加性，即：\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx 而为了保持可加性，我们有：\displaystyle\int_a^af(x)dx=0,\int_b^af(x)dx=-\int_a^bf(x)dx 由可加性我们可以证明，对于连续非负且非恒等于0的函数，其积分为正。练习：证明该结论。与微分中值定理类似，我们有积分平均值定理，即连续函数的分割求和可以等于某一点作为平均值的结果：\displaystyle\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a) 我们直接设其最小值m与最大值M，有：m(b-a)\leq \displaystyle\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a) 再根据连续函数介值定理可知：\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx 探索：积分平均值定理能否再更进一步推广？后记在掌握最基础的黎曼积分之后，我们还有许多问题可以研究，接下来我们将探讨积分上下限变动的影响。}

令 t=\sqrt{1+e^x} ，那么 x=\ln (t^2-1) ， \mathrm dx = \frac{2t}{t^2-1}\mathrm dt 得\begin{split} \int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1+e^x}}&=2\int\frac{\mathrm dt}{t^2-1}\cr &=\int\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\mathrm dt\cr &=\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C\cr &=\ln \left|\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right|+C\cr \end{split} }

本文始发于个人公众号：TechFlow，原创不易，求个关注今天是高等数学专题的第8篇文章，今天的内容是不定积分。我之前的高数老师曾经说过，高等数学就是大半本的微积分加上一些数列和极限的知识。而微积分当中，积分相关又占据了大半江山。微积分之所以重要并不是因为它的比重大、容量多，而是因为它常用。几乎所有理工科的课本上都有微积分的公式，原因也很简单，当年这些科学家在研究未知事物或者是进行计算的时候，大量使用了微积分作为工具。这也是我们必须学它的原因。原函数我一直都觉得微积分这个名字起得很好，微积分是微分和积分的合称。微分是通过宏观研究微观，而积分恰恰相反则是通过微观获取宏观。因此从某种意义上来说，我们可以将积分看成是微分的反面。微分对应的是极限，在函数当中，我们通过让\Delta x趋近于0研究函数的变化情况。当\Delta x趋向于0时，我们获得的函数变化率就是函数的导数，这也是导数公式的由来：\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\我们从微分的角度来看积分，也就是说我们来逆向思考这个过程。如果说我们获得的导数是f'(x)，那么求导之前的函数f(x)会是什么呢？在这个问题当中，求导之前的函数称为原函数，我们写成F(x)，如果F(x)是f(x)的原函数，那么它应该满足对于任意的x \in I，都有F'(x) = f(x)。比如说因为f(x) = x^2的导数是2x，所以x^2是2x的一个原函数。函数和原函数的关系我们清楚，但是为了严谨，我们还需要思考一个问题，原函数一定存在吗？这个问题看起来很绕，其实很容易想通，如果函数连续，那么原函数一定存在。高数书上说这个是原函数存在定理，但是连一句话证明也没有，可想而知它基本上已经被当成是公理了。我们来简单分析一下，如函数f(x)连续，也就是说原函数的导数存在并且连续。我们知道连续不一定可导，但可导一定连续。现在导函数存在并且连续了，那么说明原函数一定连续。如果函数不存在怎么连续呢？所以当前函数f(x)连续，说明它的原函数F(x)一定存在。不定积分我们搞明白了原函数之后，就可以开始不定积分的内容了。其实不定积分没什么计算内容，我倒觉得更像是映射。将当前函数映射成原函数。也就是说，我们通过当前函数f(x)去寻找一个原函数F(x)，使得：F'(x) = f(x)，我们把这个过程倒过来写，即：F(x) = \int f(x)dx \\这个式子其实就是求导的逆运算，完全没有技术含量，应该都能看明白。这个时候，我们来问一个问题，对于一个确定的函数f(x)而言，它的原函数是确定的吗？比如我们刚刚那个例子f(x) = 2x，那么它的原函数只有F(x) = x^2吗？答案是明显的，不是。我们随便就可以举出另一个原函数来：F(x) = x^2 + 3，同样，我们把后面的常数换成其他的值一样是合法的原函数。所以我们可以知道，原函数是无穷的，差别只在于最后跟的常数不同。也就是说原函数因为这个常数的存在是不确定的，这也是不定积分当中”不定“两个字的由来。简单性质根据不定积分的定义，我们可以推导出一些简单的性质。我们先来看第一个性质，也是最简单的性质：\int k f(x)dx = k\int f(x)dx \\这个证明非常简单，我们直接对原式求导即可：[\int k f(x)dx]' = k\cdot f(x) = [k\int f(x)dx]' \\同样简单的还有另一个性质：\int [f(x)dx + g(x)dx] = \int f(x)dx + \int g(x)dx \\证明方法和刚才一样，直接求导即可。好了，以上就是不定积分的全部性质了。你可能会问为什么性质里面没有乘法和除法的性质？我也曾经好奇过这个问题，因为在我查过得所有资料当中都没有相关的公式。我自己也试着推导过，但是没有什么结果。这当然不是数学家们偷懒或者是算不出来，估计可能是太过复杂，所以不太实用吧。基本积分表最后，我们来看一下不定积分的基本积分表，方便我们计算的时候查询。\begin{aligned} \int kdx &= kx+C \\ \int x^{\mu}dx &= \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C \\ \int \frac{dx}{x} &= \ln|x
+ C \\ \int \frac{dx}{1+x^2} &= \arctan x + C\\ \int \frac{dx}{1-x^2} &= \arcsin x + C\\ \int \cos x dx &= \sin x + C\\ \int \sin x dx &= -\cos x + C\\ \int \frac{dx}{\cos^2x}&=\int \sec^2x dx = \tan x + C \\ \int \frac{dx}{\sin^2 x} &= \int \csc^2 x dx = -\cot x + C\\ \int \sec x \tan x dx &= \sec x + C\\ \int \csc x \cot x dx &= -\csc x + C\\ \int e^xdx &= e^x + C\\ \int a^x dx &= \frac{a^x}{\ln a} + C \end{aligned} \\不定积分本身的内容就是这么多，理解起来并不困难。不过在实际解决问题的过程当中，还存在一些解题的技巧，由于篇幅问题，我们放到下一篇文章当中和大家一起分享。今天的文章就是这些，如果觉得有所收获，请顺手点个在看或者转发吧，你们的举手之劳对我来说很重要。}