【写在前面】这篇笔记算是一篇积压稿了...大概我是在高一上学期就开始用向量写立体几何，拯救我弱弱的空间想象能力（因为这个我都快放弃有机化竞了= =），当时写了这篇笔记，现在发出来和各位同学们交流下~本文提到的方法都将以下面这个模型作为例子：（为了说明方法，这个模型是自己编的）注：向量用粗体表示。例题：求二面角 A-DE-C 的余弦值。1、内积求法由题容易看出，面 CDE 是垂直 xOy 平面的，法向量比较好写，所以我们先讨论复杂的，即面 ABED 。设面 ABED的法向量为n，AB =(2,0,-2)，AD=(0,3,-1)，则 \left\{ \begin{aligned} {\bold n}\bullet{\bold {AB}} & = & 0\\ {\bold n}\bullet{\bold {AD}} & = & 0\\ \end{aligned} \right. →解方程，解得一个n=(x,y,z)（懒得算了）。【小结】这种方法容易理解，但是计算量大，有时候数据复杂，赋值困难。2、外积求法还是写好要求的向量AB =(2,0,-2)，AD=(0,3,-1)，运用向量的外积，用简单的算法解决计算问题：【小结】个人认为，外积计算法向量比内积好用得多。尤其是懂了上述算法原理之后，写好坐标基本可以口算。【注】关于外积的拓展，知乎上面有很多文章，感兴趣的同学可以自己去找找看。关于这里法向量的算法，我认为这样做是最简单的。其他各类关于外积计算法向量的方法大多都是用原始定义讲解，高中学生难以理解。3、特殊情况：平面截距式方程（这名字是我自己起的0.0）主要适用于下面这种情况：例题：求平面 ABC 的法向量。即：平面上三个点都在坐标轴上。此时我们类比直线的截距式方程，直接写出平面方程：\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=1 ，从而法向量 {\bold n}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{3},\frac{1}{2}) ，perfect.【小结】这种方法只适用于特殊情境，在选择填空题里面出现的话非常快。顺便提一下，计算法向量时如何减少讨论：在写法向量的一个坐标时，由于法向量的任意性，我们尽可能让计算出来的法向量满足上图这样一种位置关系。即：把法向量看作一支箭，它从 \alpha 穿出之后，紧接着转向 \beta 的方向穿过它。这样直接用 {\rm cos}\theta=\frac{\bold n_1\bullet\bold n_2}{|\bold n_1
\bold n_2|}
计算，得出来的结果就是所要求的二面角的余弦。}