掌握有理数的概念，会对有理数按照一定的标准进行分类，培养分类能力。

体验分类是数学上的常用处理问题的方法。

要求学生树立勇于探索、积极实践的学习态度，通过合作交流培养协作精 神，撰写小论文进一步了解数的发展历史。

正确理解有理数的概念。

课前准备，复习正负数，尝试将之前学过的数进行合理的分类。

之前我们已经学习了很多不同类型的数，通过上节课的学习，又知道了现在的数包括了负数，现在请同学们在草稿纸上任意写出3个数（同时请3个同学在黑板上写出）。

问题1：观察黑板上的9个数，并给它们进行分类。

学生思考讨论和交流分类的情况。

学生可能只给出很粗略的分类，如只分为“正数”和“负数”或“零”三类，此时，教师应给予引导和鼓励。

对于数5，可这样问：5和5. 1有相同的类型吗？5可以表示5个人，而5. 1可以表示人数吗？（不可以）所以它们是不同类型的数，数5是正数中整个的数，我们就称它为“正整数”，而5. 1不是整个的数，称为“正分数，。··…（由于小数可化为分数，以后把小数和分数都称为分数）

通过教师的引导、鼓励和不断完善，以及学生自己的概括，最后归纳出我们已经学过的5类不同的数，它们分别是“正整数，零，负整数，正分数，负分数，’。

按照书本的说法，得出“整数”“分数”和“有理数”的概念。

看书了解有理数名称的由来。

“统称”是指“合起来总的名称”的意思。

试一试：按照以上的分类，你能画出一张有理数的分类表吗？你能说出以上有理数的分类是以什么为标准的吗？（是按照整数和分数来划分的）

1、任意写出三个有理数，并说出是什么类型的数，与同伴进行交流。

2、教科书第8页练习。

此练习中出现了集合的概念，可向学生作如下的说明。

把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”，所有有理数组成的数集叫做有理数集。类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有负数组成的数集叫做负数集……；

数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而本题中只填了所给的几个数，所以应该加上省略号。

思考：上面练习中的四个集合合并在一起就是全体有理数的集合吗？

问题2：有理数可分为正数和负数两大类，对吗？为什么？

教学时，要让学生总结已经学过的数，鼓励学生概括，通过交流和讨论，教师作适当的指导，逐步得到分类表。

请同学们回顾本节课所学知识，回答下列问题：

1、有理数是怎样定义的？

2、有理数有几种分类方法？具体是怎样分类的？

3、有理数的学习过程中，应注意什么？

到现在为止我们学过的数都是有理数（圆周率除外），有理数可以按不同的标准进行分类，标准不同，分类的结果也不同。

谈到最X的数学公式（X处一般可以随意填），人们一般都会谈到欧拉关于复数指数的一个恒等式：

因为这个公式联系了世界上五个最重要的数字：表示什么都没有的0，表示一个的1，圆周率的π，自然对数的底e和虚数单位i，这个公式如此的简洁，但是在数学中又如此的重要，凡是学习了欧拉公式的人无不惊叹于欧拉深邃的思想。

为了了解它，首先我们要从“数系”的拓展开始。

在人们的生产和生活过程中，逐渐对数字产生了需求。人们为了给牛羊等牲畜计数，产生了自然数的概念。自然数就是全体正整数，也就是一个集合{1,2,3,4…} （有些教材把0也归类为自然数）。

自然数集合对加法是封闭的。所谓封闭，就是说如果A和B都是自然数，那么A+B也是自然数。例如2+3=5，4+6=10。 但是，自然数对减法不是封闭的，也就是说，如果A和B都是自然数，A-B不一定是自然数。例如3-2=1还是自然数，但是5-8=-3就不是自然数了。

也许曾经有一段时间，人们认为5-8是没有意义的。就好像“我一共有5只羊，但是却要杀8只羊招待客人，还剩下几只羊？”这种问题根本不会发生。

但实际上，只要我们去别人家借三只羊就可以满足要求，此时我们拥有的羊就变成了负债3只。也就是-3的含义。所以，人们又发明了0 和负整数。正整数，零和负整数合成了整数集合{……-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4……}

整数对加减法都是封闭的，对乘法也是封闭的，但是对除法就不封闭了。也就是说，如果A和B都是整数，A÷B就不一定是整数。例如4÷2=2是整数，但是3÷2=1.5就不是整数。

为了解决除法封闭性的问题，人们发明了分数。在4000年前，古埃及人和古希腊人就在使用分数了。公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯将整数和分数合在一起，提出了有理数的概念。

所谓有理数，就是可以写成两个整数的比的数。写作集合就是

这样一来，有理数的加、减、乘、除（分母不能为零）就都封闭了。

毕达哥拉斯等人沉醉于自己的成就，他们认为所有的数字都是有理数。但是很快，学派内部的学者希帕索斯就发现了问题：如果一个直角三角形的两个直角边都是1，那么斜边无法用两个整数的比来表示。并由此引发了第一次数学危机。

这个问题在于，有理数对于开方运算是不封闭的，例如：√4=2是有理数，但是√2就不是有理数。

人们经过长期的研究，终于发现不仅有可以表示成两个整数的比的有理数，还有不能表示成整数比的无限不循环小数：无理数。人们把有理数和无理数合在一起，称为实数。实数与数轴上的点一一对应。

在数轴上，我们不仅能找到整数1、2、3…，还能找到分数2/3，也能找到e、π、√2等无理数。

但是，数系并没有到此结束。因为人们发现√-1还是无法在实数范围内找到答案。也许有人会说：这个数本身就不存在啊！任何一个数的平方都一定是非负的，所以怎么会有一个数字的平方等于-1呢？

数学家们并不这样认为。他们觉得这个数字就好像5-8一样，在某个时刻就会找到它的用处。的确，现在的物理学和数学中，这个数字的作用非常大。这就是虚数。

人们定义虚数单位i的含义是i=√-1，也就是说：

i每4次幂循环一次。我们按照这个规律可以计算出i的2018次幂等于-1。

实数和虚数可以合在一起，就构成了复数：形如a+bi的数字，其中a和b都是实数，而i是虚数单位。

复数可以用复平面上的一个点（或者一个有向线段）表示。

复平面是由实轴（OX轴）和虚轴（OY轴）构成的平面。实轴就是实数轴，上面的每一个点表示一个实数，例如A点就表示1。虚轴是一个少了原点的数轴，每一个点表示一个虚数，例如B点就表示i。那么平面上的C点在实轴上投影为2，在虚轴上投影为3，所以C点表示的复数就是2+3i.

复数的加减乘除规则与实数非常类似。例如：

显然，复数内的加减乘除（分母不为零）都是封闭的，而且复数的实数次幂也是复数。

不过，问题也接踵而至：一个数的复数次幂是什么？

一个整数的有理数幂很简单

对于无理数幂，例如2的π次幂，我们总可以用两个有理数去逼近，也就是说我们知道

只要我们愿意，总可以把精度无限提高，这样无理数幂次的含义也被我们弄清楚了。

可是，2的i次幂到底是什么？人们仿佛毫无头绪。直到欧拉出现了。欧拉提出了著名的欧拉公式：

其中θ是一个实数，e是自然对数的底2.71828…

利用这个公式，我们就可以计算一个数的复数次幂了。例如：

其中ln2表示以e为底2的对数，它是一个实数。

有了这个公式，复数在乘方上也封闭起来了。而且，如果我们令θ=π代入公式，就会得到

这就是被誉为世界最美公式的欧拉恒等式。

欧拉公式有许多证明方法，比如可以使用泰勒展开。

泰勒展开公式是说：一个光滑的函数可以展开成一系列函数的形式。例如e^x、cosx和sinx可以分别展开成下列形式：

我们把x=iθ代入上述公式，就可以发现欧拉公式的左右两边相等。此外还有求导、积分等方法。

使用欧拉公式可以解决非常多的问题，尤其在实变函数和物理中电学问题里，经常会把一个三角函数写作复数形式进行求解。没有欧拉，我们很难解决交流电中的许多计算，也难以实现大规模的电气化。

顺便一说，1783年，76岁的欧拉在一起和家人聚餐，在陪孙子玩的时候他突然停下，对大家说：我死了。然后就与世长辞了。欧拉用自己的生命证明了：一个真正的数学家是没有什么不能预测的。

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知识点1：确定一个数是否是有理数

问题模型：一般的我们把整数和分数统称为有理数。有理数都能写成

（m ，n 是整数，n ≠0）的形式。任何一个分数也可以化成有限小数或无限循环小数的形式。

求解策略：在了解有理数由整数和分数组成后，首先选出整数，然后再选可表示为有限小数和无限循环小数的分数。

，1.5，0，—4，3.14，23%，π，2.，其中有理数的个数为 个。 分析：整数和分数统称为有理数，其中分数是有限小数和无限循环小数。因为π是无限小数不属于分数，同时也不是整数，所以π不是有理数其它都是有理数。 解：7个 变式：

1. 把下列各数分别填入相应的大括号内：

正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 有理数集合{ …}。

．其中有理数和非负数的个数分别是 （ ）

3.请你列举一些有理数以及不是有理数的数

解：答案不唯一，但列要特别记住π和0.…之类的数不是有理数。

正整数整数负整数有理数正分数分数负分数