谁能清楚的告诉我二重积分到底怎么算
刚接触概率论中二维随机变量,被二重积分难住了,这种题应该怎么算法啊
那上下限是不是x~0,0
我是应该把∫∫e^-(x+2y) 分开来变成∫e^-x∫e^-2y 然后再分别求积分呢,还是把e^-(x+2y)积分再积分呢,可是如果这样那里面就有两个变量了应该怎么算积分啊……
上限就是x和y啊，谁给我写个具体的过程啊

把二重积分化成二次积分,也就是把其中一个变量当成常量比如Y,然后只对一个变量积分,得到一个只含Y的被积函数,再对Y积分就行了.你可以找一本高等数学书看看. 你这个题目积分区域中,x,y并不成函数关系,要是积分区...

概率论学习心得（精选9篇）

　　当我们受到启发，对生活有了新的感悟时，有这样的时机，要好好记录下来，这样有利于培养我们思考的习惯。那么写心得体会要注意的内容有什么呢？以下是小编整理的概率论学习心得，欢迎大家分享。

　　概率论学习心得 篇1

　　有人说：“数学来源于生活，应用于生活。数学是有信息的，信息是可以提取的，而信息又是为人们服务的。”那么概率肯定是其中最为重要的一部分。巴特勒主教说，对我们未来说，可能性就是我们生活最好的指南，而概率即可能。

　　概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。应用统计学方法的产生主要来源于实质性学科的研究活动中，例如，最小二乘法与正态分布理论源于天文观察误差分析，相关与回归分析源于生物学研究，主成分分析与因子分析源于教育学与心理学的研究，抽样调查方法源于政府统计调查资料的搜集等等。本研究方向在学习概率论、统计学、随机过程论等基本理论的基础上，致力于概率统计理论和方法同其它学科交叉领域的研究，以及统计学同计算机科学相结合而产生的数据挖掘的研究。此外，金融数学也是本专业的一个主要研究方向。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。

　　生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25%，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33%，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50%，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50%，即中奖与不中奖。

　　同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。

　　如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里，他觉得成功做这事的概率那是100%――绝对没问题，只要你给他一个支点和足够长的杠杆。就像前面提到的抽奖一样，25%、33%和50%这些概率只不过是外界针对这个群体给出的。25%的机率同样能中奖，50%的机率也会不中奖，对于抽奖者个人而言，没有概率大小之分，只有中与不中之分。别人说做这件事相当容易，切莫掉以轻心，也许你做这件事会相当困难。大家都说做这件事相当困难，切莫心灰意冷，也许你做这件事能如鱼得水。成功与否，不在概率大小，而在于自己能否清楚地认识自己：容易的事自己是否具有做这件事必备的素质，困难的事自己是否有克服这个困难的潜质。

　　人们常说：“希望越大，失望越大”，此话并不无道理。希望越大，成功的概率就越大，由此而麻痹了人的心态――以为如此大的概率也是自己能够成功的筹码，这样在思想和行为上就会有所懈怠。自以为十拿九稳的事，到头来却把事情弄砸了。这并不奇怪，因为所谓的“概率大”已逐渐由“希望”转移到“失望”上面了。一说到把这件事做好的概率微乎其微，做事的人难免心灰意冷，因为觉得机会渺茫。因此而丧失了克服困难的意志，觉得事情做不好那是理所当然。

　　学好《概率论与数理统计》这门课程，其实有很大的作用，它会对你日常生活中一些涉及概率方面的问题有更加深刻的体会，其他方面也有很多应用，比如现实生活中的彩票问题，可以利用概率的知识来建立数学模型，通过现在电脑的仿真来模拟实际的抽奖，当然这方面需要更加专业的知识了，如果要想得到更加精确的结果，建立的模型就会更加复杂!

　　概率论学习心得 篇2

　　率论和数理统计的思想方法已经渗透到自然科学和社会科学的许多领域，应用范围相当广泛。所以概率论的学习对我们来说很重要，而我们该去如何学好概率论那？

　　一学期的概率论学习很快就过去了，经过了一个学期的概率论学习，让我了解到概率论是一门逻辑性很强的学科，学好概率论可以提高分析问题、解决问题，搜集和处理信息的能力。怎样才能学好概率论？可从以下方面着手。上课认真听讲，课后及时复习。适当做题，养成良好的解题习惯。学习新知识，要特别重视课上的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同，同时要注意做笔记。课后做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，不要边做题边翻课本，那样只是暂时的明白，离开书什么也不知道，认真独立完成作业，勤于思考。还应该自己独自认真分析题目，尽量自己解决所有老师安排的习题，适当还做点相关资料。经常进行整理和归纳总结。要多做题目，熟悉各种题型。首先要从基础题入手，以课本上的例习题为准，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己分析、解决问题的能力。对于一些易错题，要备有错题本，记下自己的错误解法并且写上正确的解法，两者比较找出自己的错误所在，及时更正。平时要养成良好的解题习惯，让自己的精力高度集中，思维敏捷。如果平时解题时随便、粗心、大意等，所以在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。

　　学习兴趣是学生心理上的一种学习需要，而学习需要是学习动机的主要因素，学习动机则是进行学习的内驱力。概率论作为文化基础课，多数学生认为其课抽象、枯燥无味，无新鲜感而应用价值很大。激发起学习的兴趣，这样会有高的学习质量。因此在概率论的学习过程中，要始终注意培养学习的兴趣，使自己既学到必要的知识，又享受到一定的学习乐趣，达到提高学习质量的目的。然而各门课程的特点不同，培养自己学习兴趣的途径和方法也不尽相同，但是深入钻研教材，根据教材的内容和特点，挖出潜在的有利于培养自己学习兴趣的积极因素并加以充分利用，这一点是共同的。由于《概率论与数理统计》所研究的问题渗透到我们生活的方方面面，每一个理论都有其直观背景。因此，在学习中，应该致力于从多方面入手，去激发自己的兴趣，使自己在体会每个基本概念、定理和公式的产生过程中，掌握概率论与数理统计解题的思想和方法。学生实际上处于一种被动接受教师所提供知识的地位，所以我们要主动去提高自己的自学能力，培养了自己分析、辩论、理论联系实际、与他人合作等综合能力。总之，在概率论与数理统计学习中，教师“施教之功，贵在引导”，即引导学生去发现生活中的随机现象所隐藏的规律性，掌握概率论与数理统计研究问题的方法，而重点还在于我们自己。

　　概率论与数理统计是一门有着广泛应用的数学学科，因此在教学中我们应准确把握这门课与自己所学专业的结合点，突出其应用性。在学习过程中，将统计理论与实际问题相结合，培养自己用所学的知识去解决具体实际问题的能力及理论联系实际的作风，从而使自己进一步深化理解统计中的基本概念和基本原理。用时也要培养自己的综合素质和创新能力，仅靠课内教学是不可能完全掌握的。在学习中，要紧紧围绕自己的目标，把课内教学和课外活动作为一个整体来考虑，进行优化设计，形成结合。学生自主成立的概率论与数理统计课外兴趣小组。小组活动的宗旨，是利用课余时间，通过定期组织活动，激发大家的学习兴趣，探讨热点、难点问题，加深对理论知识的学习和理解，拓宽知识面，锻炼思考问题和研究问题的能力。组织课外兴趣小组这种方法对于提高学习效果，提高学员综合素质和创新能力有显著成效。

　　经过老师和学生自己的共同努力，相信一定会在学习概率论中取得好的成效的。

　　概率论学习心得 篇3

　　随着学习的深入，我们在大二下学期开了《概率论与数理统计》这一门课。概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。学习这门课，不仅能培养我们的理论学习能力，也能在日后给科研及生活提供一种解决问题的工具。

　　说实话，这门课给我的第一印象就是它可能很难很抽象，很难用于实际生活中，并且对于这门课的安排与流程我并没有太确切的认识。但在第一节课上听了老师的讲解我才理出了一些头绪。这门课分为概率论与数理统计两个部分，其中概率论部分又是数理统计的基础。我们所要课程就是围绕着这两大部分来学习的。

　　如今经过了一学期的学习，在收获了不少知识的同时也颇有些心得体会。首先，它给我们提供了一种解决问题的的新方法。我们在解决问题不一定非要从正面进行解决。在某些情形下，我们可以进行合理的估计，然后再去解决有关的问题。并且，概率论的思维方式不是确定的，而是随机的发生的思想。

　　其次，在这门课程学习中，我意识到其实概率论与数理统计才是与生活紧密相连的。它用到高数的计算与思想，却并不像高数那样抽象。而且老师所讲例题均与日常生产和生活相关，

　　让我明白了日常生产中如何应用数学原理解决问题，我想假设检验便是很好的诠释。

　　最后，概率论与数理统计应该被视为工具学科，因为它对其他学科的学习是不可少的。它对统计物理的学习有重要意义，同时对于学习经济学的人在探究某些经济规律也是十分重要的。

　　总之，通过学习这门课程，我们可以更理性的对待生活中的一些问题，更加谨慎的处理某些问题。

　　最后，感谢老师近半年来的辛苦教学与谆谆教导!

　　概率论学习心得 篇4

　　不少人特别是初学者总感到概率统计难学，不知怎么才能学好，摸不着头绪，比较着急。有人还问：学概率统计有什么窍门？总之，都渴望得到一种好的学习方法，从而学好概率统计。

　　概率论是研究随机现象的统计规律性的数学学科。由于问题的随机性，从这个意义上讲，也可以说有点难学。这正是不少人害怕概率的原因。但随机现象是有规律可循的，概率论正是研究它的这种规律性的，只要抓住它的规律，概率论也就不难学了。

　　学习概率统计要抓三个基本：基本概念，基本方法，基本技巧。

　　基本概念包括基本定义，基本原理和定理。特别要注意如何将实际问题转化成概率模型。这就要求对实际问题的性质，特点和概率论的概率都有充分的了解和认识，这样才能将两者互相联系起来，建立实际问题的数学模型，然后用概率论的方法解决问题。

　　基本方法包括基本的分析问题的方法，基本公式和基本的计算方法，这是解决问题必不可少的。它建立在对基本概率充分理解的掌握和基础上，什么样的模型用什么样的方法，这是必须搞清的。

　　基本技巧，实际上就是灵活巧妙地解决问题的某些方法，基本方法运用掌握的好，也能总结出一些基本技巧。基本技巧对提高学习效率是有好处的。

　　学习概率统计的方法要注意三多：多思，多练，多比。

　　多思，就是多想，多动脑筋，包括从多方面想。问题多是比较复杂的，只有多思多想，从多方面想，正着想，反着想，反复地想，才能悟出问题的实质。

　　多练：多练的直接意思就是多做题，做足够数量的题目，特别是不同类型的题目。必须有足够的数量，才能达到对问题的方法，熟能生巧，但多练时也要多思多想，光练不想是不行的。这里要特别提出一题多解的方法，就是一个题目要尽量多想出一些不同的方法来解决。这是一种效率高，效果好的学习方法，对提高能力，开放智力大有好处。多练时还要多总结，及时总结。

　　多比：多比就是多比较。同类型的问题的比较，不同类型问题的比较，自己的方法和书上的比较，和老师比较，和同学比较，等等，总之，可多方面比较，有比较才有鉴别，有比较才能有提高。这里特别提一下模仿。模仿是一种方法，也是一种能力，特别对学习困难的同学来说模仿是很有必要，很重要的。通过模仿入门，通过模仿掌握方法。当然，光模仿是不行的，要通过模仿学到知识，提高能力，达到能自主解决问题的程度。

　　三个基本和三多也是密切相连的，要掌握三个基本必须经过三多。基本概念要多思多想才能深刻地认识，也要多练多比才能得到加深和巩固。基本方法，基本技巧经过多练才能掌握，多练过程中也要多想多比才能掌握得更牢固，进而还可能提出更好的方法。

　　总之，三多是掌握三个基本的好方法。紧紧抓住三个基本，充分利用三多，就一定能把概率统计学好。

　　概率论学习心得 篇5

　　这学期学习《概率论与数理统计》这门课，在高中的时候，我们就接触过简单的概率，知道事物的随机现象，即条件相同，事情的结果却不确定，这种不确定现象就叫做随机现象。这个课程内容分为两个部分：概率论和数理统计。这两部分有着紧密的联系。在概率论中，我们研究的的随机变量，都是在假定分布已知的情况下研究它的性质和特点；而在数理统计中，是在随机变量分布未知的前提下通过对所研究的随机变量进行重复独立的观察，并对观察值对这些数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布做出推断。因此，概率论可以说是数理统计的基础。

　　通过简单的学习，我掌握到，概率统计是真正把实际为题转化为数学问题的学问，因为它解决的并不是单纯的数学问题，而且不是给你一个命题让你去解决，是让你去构思命题，进而构建模型来想法设法解决实际问题。在实际应用中，就更加需要去想、去假设，对问题需要有更深层次的思考，因此使概率论和数理统计这门课学起来比微积分和线性代数更加吃力，但也比它们更加实用，更贴近实际。

　　概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

　　早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了a (a<m)局，另一个人赢了p="" b(b<m)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。

　　三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

　　近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学如信息论、对策论、排队论、控制论、等，都是以概率论作为基础的。

　　概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包括的不同内容。概率论――是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。

　　数理统计――是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。

　　统计方法――是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。

　　应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有：

　　第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的，不存在任何随机性。

　　第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为它研究的对象――随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结论的可靠性。

　　第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。

　　让我比较感兴趣的是，概率统计在实际中的应用。例如一个公司的决策，就需要用到概率统计。一个公司如果投产，通过对设备生产能力，对市场估计，与如果不投产，对设备生产能力和市场估计的比较。最终做出公司是否投产的决策。

　　通过这种方法，可以很快的找到怎样投资怎么去决策利益最大。

　　二、学习方法和注意点

　　学习概率论与数理统计需要注意很多东西，以下就是我从其他参考书上学习到的。

　　(一)、学习“概率论”要注意以下几个要点

　　1.在学习“概率论”的过程中要抓住对概念的引入和背景的理解，例如为什么要引进“随机变量”这一概念。这实际上是一个抽象过程。正如小学生最初学数学时总是一个苹果加2个苹果等于3个苹果，然后抽象为1+2=3.对于具体的随机试验中的具体随机事件，可以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，能否将不同随机试验的不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画？随机变量X(即从样本空间到实轴的单值实函数)的引进使原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率，不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。此外若对一切实数集合B，知道P(X∈B)。那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了。所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B)。就对随机试验进行了全面的刻画。它的研究成了概率论的研究中心课题。故而随机变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑。类似地，概率公理化定义的引进，分布函数、离散型和连续型随机变量的分类，随机变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景，在学习中要深入理解体会。

　　2.在学习“概率论”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数X(w)，但它不同于一般的函数，首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。而它的取值是不确定的，随着试验结果的不同可取不同值，但是它取某一区间的概率又能根据随机试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一B，计算概率P(X∈B)，即随机变量X的分布。只有理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解。又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果P(A)。P(B)>0，则A，B独立则一定相容。类似地，如随机变量的独立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂。

　　3.搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的，如F(x)=P(X≤x)，EX，DX等按定义都易求得。计算中的难点有古典概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布fx(x)=∫-∞∞ f(x，y)dy，事件B的概率P((X，Y)∈B)=∫∫Bf(x，y)dxdy，卷积公式等的计算，它们形式上很简单，但是由于f(x，y)通常是分段函数，真正的积分限并不再是(-∞，∞)或B，这时如何正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握。

　　4.概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都已学过。因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题的思路上去。这样往往能“事半功倍”。

　　(二)、学习“数理统计”要注意以下几个要点

　　1.由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它的实际背景，理解统计方法的直观含义。了解数理统计能解决那些实际问题。对如何处理抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来就不会枯燥而且容易记忆。例如估计未知分布的数学期望，就要考虑到①如何寻求合适的估计量的途径，②如何比较多个估计量的优劣？这样，针对①按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计，而针对②又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面的每一个，也可能不满足。掌握了寻求估计的统计思想，具体寻求估计的步骤往往是“套路子”的，并不困难，然而如果没有从根本上理解，仅死背套路子往往会出现各种错误。

　　2.许多同学在学习数理统计过程中往往抱怨公式太多，置信区间，假设检验表格多而且记不住。事实上概括起来只有八个公式需要记忆，而且它们之间有着紧密联系，并不难记，而区间估计和假设检验中只是这八个公式的不同运用而已，关键在于理解区间估计和假设检验的统计意义，在理解基础上灵活运用这八个公式，完全没有必要死记硬背。

　　概率论学习心得 篇6

　　在大二刚开学我接触到了概率论与数理统计这门课程，虽然在高中时已经接触到了许多跟概率相关的东西，比如随机事件、古典概型以及一系列的计算方法但是在接触到更加高深的层次后还是有许多不一样的感受。

　　在课程开始之初老师就告诉我们这门课不是很难，关键还在于上课认真听讲。通过老师的简单介绍，我了解到概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。对于作为信息管理与信息系统专业的我，其日后的帮助也是很大的，尤其是对于日后电脑方面的操作有着至关重要的辅助作用。

　　在这门课程中我们首先研究的是随机事件及一维随机变量二维随机变量的分布和特点。而在第二部分的数理统计中，它是以概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性做出种种估计和判断。整本书就是重点围绕这两个部分来讲述的。初学时，就算觉得理解了老师的讲课内容，但是一联系实际也会很难以应用上，简化不出有关所学知识的模型。在期末复习中，自己重新对于整个书本的流程安排还有每个章节的重点重新复习一遍，才觉得有了点头绪。

　　在长达一个学期的学习中，我增长了不少课程知识，同时也获得了好多关于这门课程的心得体会。整个学期下来这门课程给我最深刻的体会就是这门课程很抽象，很难以理解，但是这门课程给我带来了一种新的思维方式。前几章的知识好多都是高中讲过的，接触下来觉得挺简单，但是后面从第五章的大数定理及中心极限定理就开始是新的内容了。我觉得学习概率论与数理统计最重要的就是要学习书本中渗透的一种全新的思维方式。统计与概率的思维方式，和逻辑推理不一样，它是不确定的，也就是随机的思想。这也是一个人思维能力最主要的体现，整个学习过程中要紧紧围绕这个思维方式进行。这些都为后面的数理统计还有参数估计、检验假设打下了基础。其次，在所有数学学科中，概率论是一门具有广泛应用的数学分支，是一门真正是把实际问题转换成数学问题的学科。在最后一章中，假设检验就是一个很好的例子。由前面所讲的伯努利大数定律知，小概率事件在N次重复试验中出现的概率很小，因此我们认为在一次试验中，小概率事件一般不会发生，如果发生了就该怀疑这件事件的真实性。正是根据这个思想去解决实际中的检验问题，总之概率与数理统计就是一门将现实中的.问题建立模型然后应用理论知识解决掉的学科，具有很强的实际应用性。

　　在整个学期学习过程中，老师生动的讲解让我一直对这门课程保持着浓厚的兴趣，课上总是会讲解一些实际中的问题，比如抽奖先后中奖概率都一样，扔硬币为什么正反面的概率都是二分之一……一些问题还会让我们更理性的对待实际中的一些问题，比如赌博赢的概率很小，彩 票中奖概率也是微乎其微，所以不能迷恋那些，不能期望用投机取巧来赚取钱财。总之，概率论与数理统计给予我的帮助是很大的。不仅拓展了我的数学思维，而且还帮助我把课堂上的知识与生活中的例子联系了起来。当然，这些与老师的辛勤劳动是分不开的，在此，十分感谢马金凤老师对我们一学期以来的谆谆教诲。

　　概率论学习心得 篇7

　　概率这东西啊，在没上概率论与数理统计这门课之前，我一直觉得挺玄乎的。

　　就拿投硬币来说吧，你说它正反的概率分别是二分之一没错，但是你抛个十次，也未必就5次正面五次反面，但是要是你抛个一万次，十万次，百万次，此时二者的比例就基本接近一比一了。这是大数定律。要是放在没上这门课之前，我大概会想，这不就是很显然的事情吗？样本越大，越接近期望。可是数学是很严谨的一门学科，不可以用显然这种话语来搪塞。第五章的大数定律用严格的推导证明了这一事实。

　　又如我们高中甚至初中就学过的样本方差公式，为啥分母是n-1而不是n？想必当时老师只让我们背过公式就可，没有给我讲为什么是这样的，当然以高中的水平应该也很难理解这一问题的解释。这门课就告诉了我们答案。

　　再说一说置信区间和假设检验。啊，概率论居然还有如此妙用！你以为的概率论的应用不过是抛硬币？摸球放球？扑克牌？其实作用大着呢。实际的生存生活中，比如各种零件的制造，零件不可能完全都是合格吧，你要普查或者抽查。要是螺丝的口径还好，拿出来量一下即可。但是我要是检测的是灯泡的寿命呢？你总不能把所有的灯泡都拿出来一直通电，看看每个灯泡分别能用多久吧？测试完了，灯泡也就报废了，还怎么卖啊？所以就只能抽查。但是，你抽的可是样本啊，怎样处理样本才能看出总体的特征呢？嘿嘿，假设检验教你做人。玄乎吧？其实一点也不玄乎。所用的公式都是经过严格的推导的，没有任何问题。当然，从样本判断总体其实不可能完全正确，你要完全正确必须要对总体的每个元素进行判定，假设检验和置信区间都是基于一定的可信度的，计算时带入相关的数据即可。理论很复杂，但是应用起来很容易的。

　　多学点知识总是好的。现在就业形势这么严峻，搞不好以后得去个小作坊养家糊口。老板说不定哪天就把你叫到跟前，“小于啊，听说你大学学的是计算机？学计算机的也得学数学吧，来来来，我儿子最近对数学挺感兴趣的，有些问题不太懂，你正好来教教他。”

　　你亲切地问老板家的公子有啥不会的问题，尽管问。学了四年数学，超纲的积分确实积不出来，但小学的数学题岂不是分分钟做上个一百道？

　　小公子也没难为你，问题就一句话，求任一大于2的偶数，可以表示成两个素数之和的概率。快点快点，解答出来这个问题就可以让老板对你高看一眼，升职加薪，当上总经理，出任CEO，迎娶白富美，岂不美哉？

　　概率论学习心得 篇8

　　确定性现象：在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

　　随机现象： 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称为随机现象。

　　随机试验：为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 随机试验的特点：

　　1）可以在相同条件下重复进行；

　　2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能

　　3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现；

　　2. 样本空间、随机事件

　　样本空间：我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点：构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。 事件之间的基本关系：包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B：包含A不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立事件（交集是空集，并集是全集，称为对立事件）。事件之间的运算律：交换律、结合律、分配率、摩根定理（通过韦恩图理解这些定理）

　　频数：事件A发生的次数 频率：频数/总数

　　概率：当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点：1）非负性。2）规范性。3）可列可加性。

　　概率性质：1）P（空集）=0，2）有限可加性，3）加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

　　学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率（彩票问题，超几何分布，分配问题，插空问题，捆绑问题等等）

　　定义：A事件发生条件下B发生的概率P（B|A）=P（AB）/P（A） 乘法公式：P（AB）=P（B|A）P(A) 全概率公式与贝叶斯公式

　　设 A、B是两事件，如果满足等式P（AB）=P（A）P（B）则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。

　　第二章．随机变量及其分布

　　定义：设随机试验的样本空间为S={e}。 X=X（e）是定义在样本空间S上的单值函数，称X=X（e）为随机变量。

　　2. 离散型随机变量及其分布律

　　三大离散型随机变量的分布 1）（0――1）分布。E（X）=p， D(X )=p(1-p)

　　E（X）=？，D（X）= ？

　　注意：当二项分布中n 很大时，可以近似看成泊松分布，即np= ？

　　3. 随机变量的分布函数

　　定义：设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数 F（x）=P（X≤x），x属于R 称为X的分布函数 分布函数的性质：

　　1） F（x）是一个不减函数

　　2） 0≤F（x）≤1

　　离散型随机变量的分布函数的求法（由分布律求解分布函数）

　　连续性随机变量的分布函数的求法（由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求解分布函数）

　　4. 连续性随机变量及其概率密度

　　连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 密度函数的性质：1）f(x)≥0

　　2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1

　　3)正态分布一般式（标准正态分布）

　　5. 随机变量的函数的分布

　　1）已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数

　　2）已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数 第三章 多维随机变量及其分布（主要讨论二维随机变量的分布）

　　定义 设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x， y，二元函数

　　F（x， Y）=P[(X≤x)交（Y≤y）] 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数或称为随机变量联合分布函数离散型随机变量的分布函数和密度函数 连续型随机变量的分布函数和密度函数

　　重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法

　　离散型随机变量的边缘概率

　　连续型随机变量的边缘概率密度

　　3、相互独立的随机变量

　　如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积

　　5、 两个随机变量的分布函数的分布

　　关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度 第四章．随机变量的数字特征

　　离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 六大分布的数学期望

　　连续性随机变量的方差 D（X）=E（X^2）-[E (X )]^2 方差的基本性质：

　　1） 设C是常数，则D（C）=0

　　2） 设X随机变量，C是常数，则有

　　3) 设X，Y是两个随机变量，则有

　　D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E{（X-E（X））（Y-E（Y））} 特别地，若X，Y不相关，则有D（X+Y）=D（X）+ D（Y） 切比雪夫不等式的简单应用

　　4、协方差及相关系数

　　当相关系数等于0时，X，Y 不相关，Cov(X ，Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关

　　概率论学习心得 篇9

　　概率论与数理统计课程是工科数学的重要基础课之一，该课程的基础是概率论，而重点的应用部分是数理统计，学习概率论与数理统计可以培养学生的统计分析能力和实际问题解决的能力。在学生的后续课程中作用重大，而且对于实际问题的解决提供了很好的方法。根据独立学院的办学宗旨，还有学院的特色及学科的不同，我们有针对性的改革了教学体系，培养学生的开放性思维，教学过程坚持“实用型”。在内容深度上，我们的原则是“淡化理论、注重实用”。在内容构架体系上，我们的出发点是实用性和针对性的教学，教学目的就是解决实际问题，今后重点培养学生的数学应用能力。在教学方法上，通过分析问题来建立数学模型。基于以上我总结的经验，得到一些较适用的教学方法，想推荐给大家，下面就给出三个方面进行探讨与讨论，分别包括概率论与数理统计的教学内容及方法、教学设计、教学实验。

　　1、理出课程的重难点，给出恰当的解决方法

　　概率论与数理统计课程的重点是：随机事件和概率、二维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、数理统计。难点是：抽象的概念（随机变量的定义，分布函数的定义等）理论的推导（如全概公式与贝叶斯公式）、解题的方法与技巧（如二维随机变量的边缘分布）、严密的逻辑性（如随机变量矩、协方差和相关系数，要以随机变量的期望、方差为基础）等。解决办法：多以实际例子及概念产生的背景作为铺垫，引出概念，让学生对概念的理解更深入透彻；减少理论推导，多分析解题思路；重点讲解和训练一般的解题技巧和方法；要求学生多做练习，加强基础知识的训练，牢固掌握概率论的基本知识为后面的数理统计服务等。课堂上对学生的学习状态随时关注，根据学习状态确定习题量及其难度。教材内容要取舍得当，根据学生的学习情况调整教学内容，课堂氛围也很重要，教师要调动好课堂气氛。

　　2、巧妙地设计教学环节

　　教学环节的设计是很重要的，能直接影响我们的教学效果。判断我们上每一节课是否成功，是取决于学生能够接受多少新知识，那么我们就要保证教学环节的流畅、自然。

　　2.1上好每一章的第一节课

　　每一学期的第一节课很重要，一个老师上好第一节课可以带领学生入门，能够吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，充分调动学习的积极性。对于每一章的第一节课也同样重要，首先老师介绍一下这一章要学的所有知识，简单概括本章的重点与难点，还有这一章与前后章节的联系及在这一本书中的地位，学习本章内容所要用到的学习方法，还有本章知识的实际应用等等。上每一章第一节的时候让学生了解这一章要学习的内容，引起学生的学习兴趣。

　　2.2讲解新知识要生动有趣，贴切实际生活

　　在17世纪，英国一个叫梅莱的贵族有“一夜暴富与一夜沦为乞丐”的故事，他的两次结果，给出了概率的起源问题。例如我们常用的手机，从收到短信开始计时到收到下一条短信，这其中的等待时间；还有我们任意时刻等待短信的时间；这都是服从指数分布的。还有经常逛商场会遇到抽奖活动，但是顾客的抽奖结果多是“谢谢参与”，这就是古典概型。涉猎高手和小朋友同时射击，听到枪响兔子倒下，我们看到猎人的枪和孩子的枪都冒烟了，那到底是谁射中的兔子？这个问题就是小概率事件原理。这些实例都需要学生对现象进行细致的观察，把生活中的这些问题模型化，从而获取新认识，如果我们能以上面的实例来讲解，从而引出指数分布，古典概型，小概率原理，那么新的概念、定理、公式就更容易理解，学生也更容易接受。采取这样的方式教学，学生的好奇心就很快被教师调动起来，教师也更容易讲授新的知识，学生也能比较容易地理解并掌握新的知识。例如社会保险在我们现实生活中总会提及，我们也都有这样的疑问：保险公司和投保人之间谁是最大的受益者呢？假如n个人向某保险公司购买人身意外保险（按保期一年算），假定投保人在一年内发生意外的概率是0.01，问

　　（1）该保险公司赔付的概率是多少？

　　（2）n多大时以上赔付的概率超过二分之一呢？分析：设“一个人一年内是否发生意外”是一次随机试验，现有n个人参加了这次保险，那么上面的问题就是一个n重的贝努里概型，且假定每个人在一年内发生意外的概率为P=0.01.设Ai={第i个投保人出现意外}，i=1，2，…，n；B={保险公司赔付}，又B=A1+A2+…+An，再根据德摩根率，有P(B)=1-p(B)=1-p(A1A2…An)=1-p(A1)p(A2)…p(An)=1-(1-0.01)n=1-0.99np(B)=1-0.99n≥0.5，有0.99n≤0.5，n≥lg0.5lg0.99≈684.16.由此可见，“概率很小的事件在一次试验中几乎是不发生的”，但是大规模的重复试验发生的概率几乎是1，所以保险公司虽说是会有赔付，但是保险公司还是“受益匪浅”的，基本上是不会亏本的。

　　3、增加实践教学环节

　　随着计算机的普及还有各种数学软件的开发利用，就有必要在概率论与数理统计课程教学中增加实验教学环节。在概率论与数理统计课程的教学中引入数学实验，对学生的学习兴趣提高有所帮助，而且学生学习数学知识的效率也会提高，帮助学生应用数学知识解决实际问题，培养学生的动手能力。

　　3.1用数学实验思想，优化教学内容

　　“数学实验”就是从问题出发，借助计算机，通过学习者亲自设计与动手操作，学习、探索和发现数学规律或运用现有的数学知识分析和解决实际问题的过程。换言之，数学实验就是学习者自主探索数学知识及其实际应用的实践过程。数学实验的目的，就是在数学的学习过程中，通过数学实验改善学生的学习方式和学习过程，从而帮助学生在自主探索和合作交流的过程中理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，并获得广泛的数学活动经验，有效提高数学学习的能力。

　　3.2增加数学实验内容，激发学习的创造性

　　在教学中可讲解简单的例子，让学生发挥想象，自己建立数学模型，利用SPSS软件对此模型求解，再观察分析给出计算结果，这样不仅让学生对课程感兴趣也体现了学生的创造性。随意开设数学实验，给学生锻炼的机会，对于培养学生的创造性是非常有效的。

　　3.3利用数学软件，提高学生的计算能力

　　概率论与数理统计中的计算问题可以用数学软件SPSS求解，计算机的发展提供了便利，对于过于繁杂的计算用计算机计算是方便快捷的。将数学实验国家精品课的适当的内容穿插在本课程教学中，以习题课的形式介绍，引导有兴趣的学生自己去尝试。课程组每年定期举办数学建模培训班，利用各种教学软件演示概率论与数理统计的应用方法，在整个教学过程贯穿数学建模的思想与方法。融合数学知识强调应用能力的培养，我独立学院的学生在全国大学生数学建模竞赛活动中取得了优异的成绩，这是难能可贵的。

　　本文从三方面探究了工科概率论与数理统计课程在独立学院的教学方法，通过我对教学方法的探索和改革，对于激发学生学习该课程的兴趣有所帮助，体现该课程的价值让学生充分认识到，让学生自己主动学习。以上三个方面的教学方法，应用在独立学院的概率论与数理统计的课堂教学中，取得了较为不错的教学效果。首先增加了学生学习概率论与数理统计的积极性，其次对于活跃课堂气氛有很大的帮助，再次学生不反感学习概率论与数理统计这门课程，最后也是最重要的一点考核通过率有很大的提高。通过以上改革完善了概率论与数理统计的教学，当然今后教学工作中还有更多新的方法，有待我们进一步实践和探索，不断的完善和提高。

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一、选择题（本题共5小题，每小题３分, 共15分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在下面的表格内．） 1．设B?A，则下面正确的等式是

2.有r个球，随机地放在n个盒子中（r?n），则某指定的r个盒子中各有一球的概率为

5.设总体X在(???,???)上服从均匀分布，则参数?的矩估计量为

三、判断题(本题共7小题, 每小题２分, 共14分.把答案填在下面的表格内,正确的填“√”，错误的填“× 11 12 13 14 15 16 17 题号 答案 √ √ × × √ √ √ 11．设A,B,C为随机事件，则A与A?B?C是互不相容的.

13．连续随机变量X的密度函数f(x)与其分布函数F(x)未必相互惟一确定.

14．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布.

15．样本均值的平方X2不是总体期望平方?2的无偏估计.

16．在给定的置信度1??下，被估参数的置信区间不一定惟一.

17．在假设检验中，显著性水平?是指P(拒绝H0H0为假)1??.

四、解答题(本题共６小题，满分48分，解答应写出文字说明和演算步骤.) 18.(本题满分6分) 某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率． 解：P?2C82CC88??2??2??0.67 10C

20(本题满分10分) 在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率． 解：f(x)??所以

21(本题满分6分) 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX和方差DX． 解：E(X)?0.9，D(X)?0.61.

23(本题满分10分) 6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．（t0.025(35)?2.0301，t0.025(36)?2.0281） 解：X~N(66.5,t??2n) ，设H0:X?70,H1:X?70，则

五、证明题(本题共2小题，满分8分，解答应写出证明过程和演算步骤.) 24. (本题满分4分)设A,B是两个随机事件，且

??证明：A与B相互独立．

??P(AB)， P(A) 25. (本题满分4分)设总体X服从参数为?的泊松分布，X1,?Xn是X的简单随机样本，试