中国科学技术大学物理学院 林深茂 罗泽宇

通过查阅牛顿生平的往来信件，梳理了平方反比力发现与证明的时间线。推断出胡克先于牛顿提出平方反比律的猜想，但最终由牛顿完成了平方反比力与椭圆轨道关系的证明。通过查阅牛顿生平往来信件，梳理了微积分产生的思想流程，推断出莱布尼兹和牛顿独立的提出了微积分基本定理，且莱布尼兹的微积分方法更为现代

牛顿、胡克、 莱布尼兹、 平方反比律、 椭圆轨道、微积分、 微积分基本定理 、级数

      牛顿出生于公元1642年12月25日,那天是基督教的圣诞节，地点在英国的林肯郡伍尔索普镇。牛顿家境贫寒，父亲是个小农场主，在牛顿出生以前三个月就已经去世，那时他的生身父母结婚才半年多。牛顿3岁时母亲改嫁给一位牧师，是外祖母把他抚养大。12 岁时他的继父又去世,他回到了母亲身边，发现自己多了三个同母异父的弟妹。牛顿的小学教育，主要是在外祖母家完成的。 

牛顿在离家较远的格兰萨姆文科学校读中学，寄宿在一位药剂师的家中。在那里，他获得了极为宝贵的广泛阅读各类书籍，制作各种玩具，从事多种化学、物理实验的机会。

牛顿的童年没有得到父爱和母爱,这种不幸使小牛顿性格孤僻内向。他没有知心朋友,他的课余时间全都献给了如饥似渴的阅读和兴趣盎然的实验。但是他的学习成绩不好，一度还是班级里倒数第二。直到有一次他与一个欺负他的同学打架并且赢得了那场本来实力悬殊的殴斗 ,他萌发出强烈的上进心,天才的一面开始展现出来，成绩也一跃进入前茅。

牛顿中学毕业后以优异成绩被推荐到剑桥大学三一学院。他极其勤奋地读书、思考，他研究了大量古代和当代人的著作，特别是有关自然哲学、数学和光学方面的。不久他的指导教师就发现这个学生的学识已经超过了自己。1665 年和1666年间，英国流行大鼠疫，各大学师生被疏散，牛顿回到家乡。在这18个月里，牛顿度过了他一生中最富于创造力的阶段。

de，)的切线方法。11月,得到了直接流数法。次年1月，提出颜色理论。5月里我开始学会反流数方法。同一年里，我开始想到引力延伸到月球轨道(并且发现计算使小球紧贴着内表面在球形体内转动的力的方法)，并且由开普勒定律，行星运动周期倍半正比于它们到其轨道中心距离，我推导出使行星维系于其轨道上的力，必定反比于它们到其环绕中心距离的平方。因而，对比保持月球在其轨道上的力与地球表面上的重力，我发现它们相当相似。所有这些都发生在那两年的大鼠疫期间。那时，我正处于发明初期，比以后任何时期那更多地潜心于数学和哲学。”

1667年剑桥大学复课，牛顿当选为三一学院院士。两年后，牛顿接替著名的数学家巴罗(Isaac Barrow，)任鲁卡斯教席数学教授。1668年牛顿发明并制作出第一台反射望远镜，1671年他制作了第二台并赠送给英国皇家学会，不久当选为该学会会员。在科学研究中崭露头角的牛顿遭到胡克（Robert Hooke，)等人的习难，卷入旷日持久的关于光的本性的争论；约10年后牛顿与胡克之间又发生关于引力和运动学方面的争论；在《原理》写作期间(1686)和出版后，牛顿与胡克又发生关于发现万有引力的优先权问题的争论；同时牛顿与德国人莱布尼兹( Wilhelm Gottfried Leibnitz，)之间又发生关于微积分的发明权的争论。

1679年，牛顿与胡克的争吵十分激烈。胡克对牛顿关于引力的见解提出强烈质疑，这促使牛顿全面考察了开普勒(Johannes Kepler,)定律、加利略(Galileo Galiei,)运动学公式与引力之间的关系。这一年牛顿终于证明了引力的平方反比关系与行星椭圆轨道之间的对应关联。至此，牛顿的整个宇宙体系和力学理论的基本框架宣告完成。

牛顿在1684年才进入写作《原理》的准备阶段。到那一年，哈雷（Edmond Halley，）、胡克和雷恩（Christopher Wren，）三人大约同时猜到引力的平方反比关系与行星的椭圆轨道之间有必然联系，但他们都无法证明这一点。哈雷请教牛顿，牛顿表示他在几年前已经证明了这一点，但是原先的手稿找不到了，他可以给哈雷再证明一遍。牛顿重新写出了一篇《论轨道上物体的运动》，文中证明，天上与地上的物体服从完全同样的运动规律，引力的存在使得行星及其卫星必定沿椭圆轨道运动。

哈雷一眼看出这篇论文有划时代的价值，他敦促牛顿把它扩充为专著发表。于是1685和1686两个年份的18个月里，牛顿专心致志地从事写作，《原理》这部伟大著作从牛顿的笔下源源不断地流淌出来。牛顿显然是有长期研究所取得的丰富成果作为基础，他写下的论述事无巨细，都经过深思熟虑。他的写作速度之快令人惊异，他写作时的专注忘我令人感佩。

值得一提的是，皇家学会虽然十分重视牛顿的《原埋》，但却没有财力资助出版它，是

哈雷自费出版了牛顿的这部著作。

《原理》的出版震动了整个英国和欧洲学界。牛顿一跃成为当时欧洲最负盛名的数学家、天文学家和自然哲学家。人们争相向他表示敬意。英国王室请他做客，欧洲公认的最伟大的几何学家惠更斯(Christiaan Huygens，)专程到英国拜访他，各国元首和贵族访问英国时也要去看望他，以结识他为荣。1689年，牛顿当选为国会议员；1696年，牛顿获得造币局总监任命；1701年，他再次当选国会议员；1703年，当选为英国皇家学会会长；1705年，受女王册封成为爵士。

     《原理》第一版出版时牛顿43岁。他的后半生研究强度大大减少，1704年他的另一重要著作《光学》出版，这本书是以英语写作的。1707年他出版了《数学通论》，这部著作没有引起广泛重视。在他生前，《原理》出版三个版本，第二版在1713年，第三版在1726年。

牛顿的后半生主要从事的工作和活动有

社会活动。他应付各类社会名流贤达的拜访，从事国家造币局的管理工作，管理皇家学会。

与胡克、弗拉姆斯蒂德(John Flamsteed，)、莱布尼兹等人争论。

整理出版自己的著作和文稿。

牛顿终生未娶，1727年3月20日逝世，英国王室为他在西敏寺大教堂举行了国葬。[1]

       1686年，在哈雷的鼓励下，牛顿将专著《自然哲学的数学原理》交给皇家学会审议，在这次会议上，胡克提出引力反比定律是自己告诉牛顿的，牛顿应该在专著的前言指出自己的贡献。牛顿并未参加这次会议，事后也未接受胡克的要求，在他看来，自己1666年就发现了引力的平方反比定律，并且写信告诉了他人，因此自己是这一定律的发现者。

        在1679到1680年间牛顿与胡克进行了频繁地信件交流，胡克向牛顿问了落体问题并给出了一些假设，而从牛顿当时的回信来看他并没有认识到平方反比律以及与之相应的落体轨道形状。以下是1679年牛顿给胡克的第一封回信：

大致：B点在地球上随地球自转，A点固定在它的正上方。则A处物体下落时将不沿ABC而是沿着ADEC。而按照牛顿自己的说法，他在1666年就发现了平方反比律并告诉了他人。如果他真的已经掌握了平方反比律，那么此处探讨中的轨迹假设就应当为：1. 若把地球的质量都集中在球心一点，有心力反比与r的二次幂，轨迹应为椭圆。2. 若把地球看做一实心球体，则易知有心力等效为r的一次幂，轨道同样应为椭圆。

在极坐标系讨论，引力常数为G，地球质量M，物体质量m

易知在有心力场中角动量守恒（设角动量为J）：

能量守恒（设总能量为E）:

此即为物体坠落的轨迹微分方程，解之可得：

此即为圆锥曲线轨道（E<0时为椭圆轨道）

正比于r的一次幂同理可证。

1674年，胡克发表《试证地球的运动》，文中总结了行星运动的理论：一切天体都受到引力 的作用；如果天体不受引力作用，将保持直线运动；天体离引力中心越近，受到的引力越大。这其实是万有引力的定性描述，后来胡克进一步发现了引力的平方反比定律，并在1680年给牛顿的一封信中提到这点。

“但我的假设是吸引力总是与到中心的距离成平方反比的，而速率与吸引力成平方根关系，因此就像开普勒假设的那样速率与距离成反比。在这样的引力下，顶点将会集合在轨道的同一位置（轨道闭合），近中心点将会与轨道距中心最远的距离相对。”

在科学研究中崭露头角的牛顿遭到胡克（Robert Hooke，)等人的习难，卷入旷日持久的关于光的本性的争论。

胡克绕过皇家学会，同牛顿直接通信，二人进行了一番看似彬彬有礼实则互相讥讽的通信。1676年1月，胡克在给牛顿的信中写道：“我确认你在这方面所下的功夫比我深得多，也确信无法找到比你更适合、更能干的人来研究这些题材……如果我从事的职务允许的话，这都是我自己想完成的事，尽管我很清楚这只需要具有比你稍微低一些的才能就可以。”

1676年2月5日，牛顿回信胡克，信中写道：“笛卡尔（的光学研究）踏出了很好的一步，而你则推进了许多方面的发展……如果我看得更远一点的话，是因为我站在巨人的肩膀上。”牛顿这番话看似谦恭，是在恭维胡克，实则不然，胡克本人身材不高，而且有驼背的毛病，牛顿这句话自然有侮辱之嫌。

笛卡儿（的光学研究）迈出了很好的一步。你在一些方面又增添了许多，特别是对薄板颜色进行了哲学考虑。如果我看得更远一点的话，是因为我站在巨人的肩膀上。

这场争论的结果是，牛顿决定等胡克死后再发表有关光学的论著，在这部1704年——胡克死后的第二年——出版的著作中，牛顿完全不提胡克对薄板颜色研究的贡献。

二人往来书信尽皆礼貌谦逊，以下为其中一封牛顿给胡克信得原件

 为了使得行文更加流畅，我们决定在这里着重给出莱布尼兹和牛顿的书信往来以及历史资料来说明莱布尼兹和牛顿是各自独立的完成了微积分的创作，牛顿率先发明而未发表，莱布尼兹晚些时候同样得出了相同的结果，并且在相对较早的时候将其发明了出来。而在附录中，我会详细的介绍微积分的整个发展流程，对比牛顿和莱布尼兹二者的工作思想以及其一脉相承的思路，从而使得读者更加清楚的认识到二者思想的不同。 

 微积分的争端，主要集中在其起源上面。牛顿拥有着最早的微积分手稿（牛顿自称自己在17世纪60年代中期就建立了“流数术”，即早期的微积分内容），而莱布尼兹则拥有了微积分第一篇论文——《一种求极大极小以及切线的奇妙类型的新方法，对有理量和无理量都是用，一种值得注意的演算》。（1684年发表于《教师学报》）下面我们首先讨论牛顿的“流数术”的具体创立时间，判断其流数术是否早于莱布尼兹的微积分诞生。

  请允许我插入一段关于莱布尼兹的微积分的建立完备的证据：

Newton》）[7]第208封，在1677年的五月或者六月，我们可以清晰的看到莱布尼兹已经可以熟练的使用他的积分号并进行相关的运算了。至此，我们起码可以断定，莱布尼兹的微积分的产生不会晚于这个时间，而微积分基本定理的产生，从文章发表这个角度来说，莱布尼兹在1675年年末建立了微积分基本定理，而其论证在1693年给出。因此我们姑且可以证实，莱布尼兹关于微积分的研究在年就已经完成的差不多了，而微积分基本定理的给出略晚，约1677年。因此莱布尼兹的微积分体系完全建立晚于1677年。下面我们看看牛顿在几乎同时期的工作。

1666年10月完成了一篇没有发表的总结性论文名为《1666年10月流数简论》。但是遗憾的是，并未找到其他的佐证。因此在这里暂不采信这一个说法而使用另外一种更加清晰的证明：

在上面的有关微积分的提出的思路中，我们可以清晰的看到，牛顿从流数（即对时间的微分）入手，提出了相关的级数理论和用牛顿法求解方程根（收录于《分析学》，正式发表于1711）并根据级数反演法和流数术给出了sinx和cosx的幂级数的结果。以上内容均正式发表于1736年《流数法》一书中，并不能成为其早于莱布尼兹创建微积分的直接证据。

而直接证据是，是莱布尼兹和牛顿的直接书信往来，内容如下：

1676年5月12日之前，莱布尼兹得到了格雷戈里给科林斯的一封关于级数论证的信，其内容含有三角函数和反三角函数的级数展开，而莱布尼兹并不能知道其中的系数的推理方式，于是写信给英国皇家协会秘书奥尔登堡询问如何求解无穷级数并用什么方法才能使用无穷级数表示方程的根[8]

显然，此时的奥尔登堡已经知道牛顿做出了这个工作并且和是和格雷戈里相互独立进行的，而牛顿对此问题的证明的基础就是微积分基本定理，因此我们可以从这里推知牛顿此时已经完全构建完成了微积分的知识。

由此我们可以确定一个问题——即牛顿早于莱布尼兹发现了微积分的内容。因此，可以说微积分是由牛顿率先创立的。在《微积分的历史和起源》（作者为莱布尼兹）一书中，莱布尼兹以第三人称声称自己独立创立了微积分显然是不合适的。

另外，根据牛顿以及后期英国学者对莱布尼兹的抨击，主要在于两个方面，其一是莱布尼兹在和英国皇家学会中往来信件的内容中得到了微积分的相关处理方法，从而建立了微积分的内容，另一个方面是关于莱布尼兹级数，他们认为莱布尼兹级数（莱布尼兹于1674年发现）是抄袭英国数学家格雷戈里的arctanx的展开形式的。下面我们从信件的角度来分析一下这个内容：

关于内容一，时间线如下：

在1676年之前，莱布尼兹和英国皇家学会的主要信件主要集中在1674年前后，主要是莱布尼兹在告诉皇家学会自己的一些几何的成果以及在二项式展开上面的一些问题，那是并没有相关微积分的内容往来[10]

在1676年莱布尼兹询问牛顿和微积分有关的问题的时间线：

1.1672年12月10日，《通报》（牛顿和他的追随者关于微积分的调查）莱布尼兹看过一封牛顿关于切线的心，流数方法在这封信中十分清楚，“任何聪明人“从中都可以得到微积分[11]

2.1673年，莱布尼兹作为美因茨大主教，访问伦敦见到了皇家学会秘书奥尔登堡，并被推举为皇家学会会员[12]

3.1673年，拜访奥尔登堡，可能会看到牛顿《论分析》的抄本[13]

4.1676年，再次回到伦敦，访问了牛顿的同时约翰科林斯，并看了些牛顿的论文[14]

7. 牛顿回信并介绍了二项式定理：[17]

8.1676.8月，莱布尼兹备忘录里面内容表示他理解了二项式定理的相关内容

9.1677年，莱布尼兹给奥尔登堡的一封回信中，就使用了自己的微积分理论计算了切线以及相关的最值问题的一些证明。而这个细节也被牛顿多次提及，1687年出版的《自然哲学的数学原理》第一版和第二版中写道“十年前我和最杰出的几何学家莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法，做切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这一点….这位最杰出的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法，并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没什么不同，除了他的措辞和符号以外“。但有趣的是，牛顿在第三版时候删去了这一段话而希冀将微积分的功劳

关于《通报》的1672年内容。那个信中，牛顿惯用的隐匿了微积分的思想，很难从中看出微积分的思路。包括科林斯给莱布尼兹的信件中，微积分内容都很少，莱布尼兹只是得到了关于无穷级数的内容，而与微积分无关。

梳理完时间线，我们不难发现，莱布尼兹好奇的一直是二项式定理和级数展开，而对于他的整个微积分的体系来说，并不需要这两个东西作为推论或者基础，单纯从信件角度来看，在1677年莱布尼兹完成了相关的微积分的基本体系的时候，和牛顿之间的交流也只限于二项式定理和级数展开。而且牛顿也在回信中，精心谨慎的回避了微积分的方法，回避了微积分而不直接讲出来，将微积分藏了起来而并未告诉莱布尼兹。甚至将所有的微积分证明都使用了几何证明而看不出微积分的痕迹。

而关于内容二，事实如下：

1676年5月12日，莱布尼兹的确还不知道如何推导sinx和arcsinx 的表达式，因此被人质疑，他1674年给出的π/4的级数展开是否有抄袭格雷戈里之嫌。

格雷戈里并不知道相关的微积分知识，而莱布尼兹是使用精妙的微积分进行计算得到的。（具体的π/4级数展开过程，我会附在附录中以免影响文章的流畅性）“1674年不论是格雷戈里还是惠更斯或者任何一个在巴黎的其他人，完全没听说过任何关于通过有理数的无穷级数来表示圆的面积的报道。“因此，可以说莱布尼兹的确是独立的给出了莱布尼兹级数的推导而无抄袭之意。不过可惜的是，格雷戈里几年前实际就给出了这个表达式。而只需要将x=1代入其中就可以得到莱布尼兹级数，

可能是格雷戈里没有意识到这个表达式的意义和美感，并未作此数值代换，失去了一个命名级数的机会。

因此我们可以不难看出来，莱布尼兹的微积分工作和级数工作都是独立完成的，而且是有着完整的知识链条，其微积分的建立逻辑我们已经说过，而这个书信往来的佐证则完全可以说明莱布尼兹微积分的诞生是一项独立的工作，英国科学家为维护牛顿对莱布尼兹的毁谤是没有任何意义的。

1684年，莱布尼兹发表了关于微积分的第一篇论文，并未提及任何关于牛顿的内容。

1687年，牛顿出版《自然哲学的数学原理》，夸赞了莱布尼兹的工作。在《原理》一书中，牛顿并未提及微积分内容，代之以较为严密的几何证明

greeting（戈特弗里德·威廉·莱布尼茨向著名的艾萨克·牛顿致以亲切的问候）[见下图]

1693.“[19]（即：客套的说莱布尼兹是他最好的朋友）。书信往来说明二者关系还未破裂，二者”措辞依然礼貌，当然，在两人的信中都没有任何对于剽窃的愤怒和指责对方的意味“（语出《数学恩仇录》）

1696年6月，约翰伯努利发问数学家关于“速降线“的问题，牛顿匿名回答并使用了微积分内容，但莱布尼兹在1699年把这个解法作为微积分的成功示范提出并暗示所有人（包括牛顿）使用了自己创立的微积分，让牛顿看起来是个抄袭者。牛顿追随者丢勒因此愤怒的指责莱布尼兹才是那个抄袭者，引发了另一次争议

1703年，胡克去世，牛顿成为了皇家学会的主席，并发表了《论求积》这一篇论文，某种程度上，《论求积》是1676年给莱布尼兹的那封关于级数的信件的补充。

1708年10月，牛顿的追随者凯尔发文攻击莱布尼兹从1776年牛顿给他的那封信件中获得了灵感，在1711年，莱布尼兹写信给皇家学会，要求澄清事实。我们在上面已经说过，那封信正好是牛顿有意为之，隐匿了微积分的思想，这次对莱布尼兹的攻击是荒诞可笑的。但皇家学会主席当时正是牛顿。

1713年，英国皇家学会发表《通报》称莱布尼兹抄袭。然而通报中内容过于偏颇。

1716年，莱布尼兹去世，但牛顿并没有结束对莱布尼兹的攻击

1722年，牛顿出版《原理》的第二版，开头增添了一部分书信往来和证据来说明牛顿和莱布尼兹的交锋，并且牛顿删减，增添了对自己有利的一些东西。

1728年．《原理》第三版，牛顿删掉了所有关于莱布尼兹的内容，声称“第二发明者没有任何权利“

1.  牛顿早期成果在《无穷级数分析》中，但是只是以手稿形式存在，由于牛顿本人似乎认为其发明“只属于自己，而不属于世界和柯西，甚至不属于子孙后代”，或者为了修改自己的发现，还有出版社由于出版巴罗（牛顿老师）的数学类书籍而破产导致数学著作出版十分慎重的原因，牛顿选择了隐匿自己的研究。从而没有发表，导致了现在仍旧纷争不断（《数学恩仇录》第二章）

2. 牛顿在所有和数学家交谈的信件中，都将自己的微积分隐匿不发，换用其他等价的方式说明，《原理》中简单提到了微积分，而并未用微积分进行相关证明。在所有的牛顿年间的信件往来中，凡是所有的询问他任何涉及微积分意味的问题，牛顿都会聪明的灵巧的给出一个特殊的几何回答而躲开微积分的内容，翻阅他的书信集《The Correspondence of Issac Newton》中，这一点尤为明显，当时的风气决定了将论文隐而不发这一个举动。

3.  牛顿声称自己17世纪中期就使用点标注法，然而研究发现，17世纪90年代才开始使用（霍尔 1980年 第39页和第187页）牛顿也声称自己在1676年就写下了求曲线所围成的面积的论文，经考证，那篇论文实际作于1691年，在莱布尼兹发表论文后。（莫尔 1962年 第592-594页）

由前述可合理推断胡克先于牛顿提出引力的平方反比律，但牛顿第一个完成了椭圆轨道和平方反比力关系的证明。故可以说胡克启发促进了牛顿万有引力的提出与证明。《原理》中完全不提胡克的贡献较为不妥。

而在前述的和莱布尼兹的微积分的争议中，我们可以很容易看出来，虽然莱布尼兹和牛顿有过多次关于数学的书信往来，可是我们不难看出来，莱布尼兹和他的讨论止于级数，并且，牛顿有意的隐藏了自己的工作，以防莱布尼兹看到。另一方面，由于《通报》的团队以牛顿为首，里面内容参差不齐，未免有过分夸大牛顿之嫌。当然我们不能否认牛顿在微积分领域的杰出贡献，但是将这个殊荣只给牛顿未免不妥，史料证明，莱布尼兹建立了更加完备更加先进的微积分，而牛顿并无明确的先于莱布尼兹的工作。因此，我们说，牛顿和莱布尼兹共同独立的建立了微积分呢，《原理》中第二版抹黑第三版删去莱布尼兹的做法有些欠妥。

[3] 谭世复.有心力运动轨道封闭性与圆轨道稳定性讨论[J].湖州师专学报,-37.

[20-21]《数学恩仇录》哈尔 赫尔曼

  思想是个很连续的东西，不会存在在某一时期突然间就萌发了一个新的思想并且可以蓬勃发展直到成熟，微积分也不例外。因此，追根溯源，让我们回到古希腊时期来探究微积分的产生和发展

   在古代，平面几何的发展并没有十分完备，从而人们关心的话题还在最原始的面积上面。规则图形的面积解决后，人们开始注意这几个奇怪但是实用性很强的图形——圆，球，圆柱，圆锥。古希腊很多数学家致力于解决类似的问题，就萌生了“切割”“求和”的思想。可是这和微积分有什么联系呢？让我们通俗的认识一下积分这个东西：

通俗而又片面的说，积分在一定程度上就是说了一件事：求解面积——在初识积分的时候，我们采用了一种把曲线无穷细分的方法来计算它和坐标轴围成的面积；进一步的，面积和体积是类似的，二维可以推广到三维；“面积”可以赋予它不同的物理数学含义，但若我们究其本源，得到的还是在一个坐标系中，求解一个“面积”或“体积”。这就很有意思了嘛——求面积这个事情，绝非牛顿首创，几何原本里面满满当当的求解面积的问题。因此，探究微积分的历程，认清楚整个思想的历程，是我们这次科普的主要目的之一

思想的流派开始于安蒂丰（公元前480年-公元前411年）。安蒂丰，古希腊数学家，辩论家，政治家。首次提出了“化圆为方”的穷竭法的思路。他想求解圆的面积，于是就将圆进行分割，先作圆内接正四边形，将其边数加倍，得到圆内接正八边形，依次类推，直到正多边形的边长小到恰与它们所在的圆周部分重合，就可以完成化圆为方问题。这个事情是很直观的，如下图所示：[1]

显然，在我们的直观印象中，不需要什么数学就可以得到，这样子重复找中点连接最后肯定就可以“很像“一个圆了，这个”很像“在数学上，称之为“逼近”。从而，安帝封在直观上完成了化圆为方的过程，虽缺乏像样的证明，但是已经有了直观的逼近和无穷的想法了，无穷是理解微积分的必要条件

而将上述整个过程数学化，给出一个数学定理来论证这样的方法可行的尝试是欧多克索斯（公元前400-公元前347）的工作，他尝试用数学的公理化体系来建立穷竭法，将其作为一种数学的工具而非思想上的直观。众所周知，数学是不承认直观的，无论多么直观的东西，后面必须有坚实理论基础做保障。而欧多克索斯对穷竭法的发展，正是数学化的一个重大的进步。从此，数学论证进入了积分的体系中，我们可以使用数学的语言而非直观来描述“极限“。

他描述的穷竭法公理体系如下：

对任意正数a，b，必存在n，使na＞b

推得的下述结果：“设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，再从所余的量减去比这余量的一半大的量，继续重复这一过程，必有某个余量将小于给定的较小的量”[1]．

下面，我们使用这套数学语言来解释安蒂丰的直观结果：

如图，我们研究从四边形到八边形的过程，根据定理（此处不赘述），我们可以很轻易的得到用较大的量S(月牙ABC)-S(三角形ABC)的值满足欧多克索斯的定理的要求，

因此重复上述过程，会使得三角形ABC的面积和月牙ABC的面积趋于相等，那么可以认为多边形的面积收敛于圆的面积

说到这里，有些基础的读者会发现有一点点的不对劲，由于我们最终将圆依然分成无穷份，多边形的边数趋于无穷，那么月牙的个数也趋于无穷，即便在一个月牙形中，多边形和圆面积之差很小，无穷个求和之后，值是否依然趋于0还很难说。

当然，这个担心是我们站在现在的观点下看这个问题，他的收敛性还很难说，但是站在当时，这个过程已经试图将无穷应用到数学语言中，已经是个很大的进步了。

况且，我们现在看这个观点，已经有了数列收敛极限的影子，圆面积为收敛后的结果，而多边形的面积就是一个个数列，数列的收敛结果得到圆，这也是“穷竭法“的数学表达带给后代的另一个有深度的思考内容。而这种略带极限的思想也影响到了下一位数学巨匠——阿基米德

注：欧几里得在《几何原本》中提及了欧多克索斯

阿基米德（公元前287年-公元前212年），被认为是牛顿和莱布尼兹的最早先驱者。他将欧多克索斯原理（上述原理）应用并推广，和无穷理论相结合，证明了许多相关的问题，这是对穷竭法的开创性的实践。而自己首次使用将数学物理结合的方式来求解数学问题的思路，也使得他自然而然的得到了平衡法，平衡法——我想就是莱布尼兹以及我们现在学习的微积分的重要方法：先微分再求和。我会在稍后莱布尼兹的微积中探讨二者的联系。现在我们先看看阿基米德的工作：（以下内容来自《阿基米德全集》）

命题：抛物线弓形的面积是底边相同，顶点相同的三角形面积的三分之四[2]

首先，证明引理如果任一个抛物线弓形的底为Qq，顶点为P,R是由PQ所截得到的弓形的顶点，那么, 证明如下：

下面，精彩的证明开始了：

如图1，由于，而弦抛物线的面积显然是大于三角形的面积即平行四边形的面积的一半，因而可以使用欧多克索斯定理来计算抛物线的面积——我们可以不断的找到分割后的抛物线的弦的中点，不断分割，分割无穷多份，然后对这无穷多的面积进行求和，得到最终抛物线的的面积，如图2所示，根据欧多克索斯定理，我们的抛物线面积就成了计算这些三角形的面积和，有趣的事情又发生了：我们看这些三角形之间的关系

     根据上面的引理，我们得到了三角形之间的关系，,也就是说，在现在的眼光中，我们得到了一组等比数列。也就是说，我们得到了一组级数求和，而这个数列的级数求和，已经是微积分的基础了，我们需要的就是把离散变成连续——这个工作，莱布尼兹做成功了。这是后话。而这个级数的求和并不是我们的重点，因此引用命题23给出最终的结论。

在这一个例子中，阿基米德展现了非凡的创造力，它使用了欧多克索斯的结论，给出了级数求和的结果，这是一个创造性的成果，已经有了十分接近微积分的思想在其中——差的那点在连续的函数身上，而后面的开普勒，卡瓦列里把离散的级数开始向连续的函数迈进，为微积分的诞生铺平了最后一个道路

囿于篇幅，这里不过多的赘述关于阿基米德平衡法的方法[4]，但是阿基米德平衡法的基本思路在于分割，将一个整体分割乘很小的无数个小的图形，然后根据小图形的性质进行一系列的操作，这已经是莱布尼兹积分法的前身了

阿基米德解决的问题，总的来说是离散的点列而没能扩充到连续的函数列，但也给后面的发展指明了方向，自然而然的，我们走上了研究函数的无穷求和的结果。从实体图形的面积变成了函数图形围成的面积。这都是很自然的想法。

开普勒（1571年12月27日-1630年11月15日）在1615年发表了《测定酒桶体积的新立体几何》一文中引入了无穷大了无穷小的概念，采用了无穷个同维无穷小元素值和来确定面积和体积。他对圆有一个“崭新“的分割，(如左图)之所以崭新，在于相同的思路下，一个完全不相同的思想内核——使用无穷的观点来替代欧多所克斯的观点，去直面无穷。乍一看这并不新鲜，但是这个”无穷“的观念就可以让莱布尼兹可以对函数图形无限细分，众所周知，由于”芝诺悖论“的存在，古希腊是躲着无穷的概念的——开普勒第一次把无穷真正的提出，是微积分的又一大突破。在《测定酒桶体积的新立体几何》一文中，他是这么计算圆的面积的：他将圆分割成无限个三角形，顶点都在圆心，他认为，当三角形顶角无限小的时候，根据三角形内角和等于180的结论，我们可以知道，其两个底角相等且接近90度，那么计算圆面积和边长的关系就十分简明：三角形面积是底乘高除以2，从而S=C*R/2。[3]

在我看来，这种方法正好是结合了穷竭法和平衡法——平衡法的精髓在于无限细分后对一些细分的计算，而穷竭法则是以化圆为方的。从而，结合两种方法后，我们可以计算很多的不规则形状的面积和体积——但是问题在于，其并没有什么合适的精确的理论论证，只是朴素的数学直观以及前人的一些并不完备的数学证明。因为数学水平的限制，开普勒也无法证明，但是他说“如果我们可以耐心地阅读阿基米德的这些艰深著作，那么我们就会得到绝对的，各方面都完善的证明结果“

至此，微积分的准备工作已经完全的充分，我们可以开始进入真正的微积分的工作中去了（由于微分出现的较晚，反正较快，我们认为其属于第二阶段的内容）

卡瓦列里（1598年-1647年11月30日）在1629年发表《用新方法促进的连续不可分量原理的几何学》，其过程隐含了极限的过程。但没有明确的给出极限的说法，不过这种对开普勒朴素的直观的继承了发展使得极限理论开始慢慢的代替平衡法和穷竭法，成为微积分的基本思想方法，并被牛顿和莱布尼兹发扬光大。它的基本定理是：线是由无穷多个点组成，面由无穷多个线组成，体由无穷多个面组成。让我们先来看看卡瓦列里的积分定理：

使用卡瓦列里定理到达级数求和，将平面几何和级数求和联系到了一起，而我们知道，平面几何中，在一个区域里面这些量是连续变化的。从而，我们第一次得到了一个连续的函数的求和，这是卡瓦列里的最大的贡献，从离散的数列第一次过渡到了连续的函数。让微积分再一次向前进了一大步。具体操作过程如下：[5]

如图，根据不可分量原理，我们知道面是由无数条线组成，那么我们尝试无穷细分这个三角形，使之成为一个个独立的线，每条线的长度为x，x显然连续变化，从而——这个表示就是积分的前身，已经到达了连续。

这是将开普勒的工作进一步推广。不止如此，我们可以清楚的看到，如果上图是一个四棱锥的截面，其底面为正方形而顶点是A，那么，每个面的面积为,从而得到：。从而我们得到了一些简单了积分公式。简单并且自然。后续在《六个几何问题》（Exercitationes Geometricae,1647）中有所发展，求得了：这样的结果。卡瓦列里的方法，在我们现在看了，已经基本上是无穷细分的顶峰，十分接近积分学算法，“卡瓦列里的方法比任何他的前人都更接近积分学算法“——语出《简明微积分发展史》。不可分量原理成为数学中研究几何学无穷小问题的引用最多最有价值的理论

沃利斯(1616年11月23日-1703年10月28日)继承了卡瓦列里的方法并将其发扬光大——从几何中抽象出代数的观点并写于《无穷算术》。何为无穷算术？他从卡瓦列里的幂积分公式中跳出来，进行了一步类比猜想：如果说卡瓦列里的幂级分，其幂并不是整数而是分数幂的形式呢？是不是那个形式依然成立？如果变成了分数形式的幂积分成立的话，那么这个东西彻底丧失卡瓦列里给出的几何对应，他的含义是什么？沃利斯并没有考虑清楚这一系列的问题，他只是做了一步类比[6]，而把问题留给了牛顿——他的类比基于两个基础：第一：卡瓦列里的积分公式，第二，已知了极限如下：，那么如果我们把k用有理数p/q代替，会出现这样一个有趣的结果：

进而，猜想得到积分如下：. 从而，我们得到了分式积分的一个结果。

至此，积分的准备基本完成，下面的牛顿和莱布尼兹的不同争端主要是其继承了不同的思想造成的。我们归到下一章节进行讨论。

介绍牛顿和莱布尼兹的工作时，我选择放弃时间的顺序而保证思想的延续性，换言之，为了对比牛顿和莱布尼兹的思想的不同，那么我们按照他们思想的产生和发展聊一聊

牛顿微积分的建立是建立在他独立创立的二项式定理上面，从二项式定理向后推演得到了牛顿的“流数术”，而论及二项式定理，这个东西也并非凭空产生，他和沃利斯的工作一脉相承，下面，我们先来看看沃利斯的工作

沃利斯在《无穷算术》中，计算了如下的数列通过沃利斯的计算，他得到了如作图所示的表达结果：并且依旧的，他选择了把这个数列拓展到分数形式并进行插值，就可以计算出来当n/2不是整数时的结果。[7]

牛顿合理的联想发散——如果不是数列，是函数列会出现什么不一样的呢？这个拓展是十分合理又富有创造力的。我们一起来看看会发生什么：构造一个函数列：，当n为偶数时候，类比沃利斯的结果，将数值用x替代，从而有结果如图3：

此时，我们已经有了基本的积分公式如下：，我们可以将二项式展开，设其系数为Cn;

那么再对不同的单独项进行积分，自然而然的就可以给出二项式展开前面的系数项。——展开了整数的情况

至于分数的情况，我们类比沃利斯进行的的n为奇数的结果，同样对整数项进行牛顿插值.

即可得出。由于这些数字满足帕斯卡三角（当n为偶数时）那么我们可以推广，对任意的n，均有：系数关系，从而可以推关到所有的有理数，都有二项式定理成立，如下：

得到了二项式定理，我们已经有了处理微积分计算的基本工具。而牛顿在1664秋阅读了笛卡尔的《几何学》，开始试图找出更好的求解切线的方法，笛卡尔是这么做的，他首次把坐标计算引入了几何学（微分学）的研究，他计算切线的方法如下[8]：

设曲线为y=f(x),找出过P(x,f(x))的切线，如图，首先确定曲线在P 的法线和x轴交点c的位置，然后做该法线的过点P的垂线，就可以得到所求——过C做半径为r=CP的圆，若CP时曲线y=f(x)在P点的法线，那么点P应该时曲线y=f(x)和圆的一个重焦点，从而只需要得到方程的重根即可，我们去重根为a，则方程有重根等价于：，在用比较系数法得到v和a的关系，代入，得到切线斜率为：

而牛顿继承了这个“重根法“的思想，并对其进行了一步改进——将重根用极限来替代。。接着，他用小量代替了笛卡尔的”圆“，如下：若想求解方程牛顿认为，坐标为（x,y）的量在下一个瞬间要变成（x+o(x),y+o(y)），代入仍满足这个表达式（其几何含义是切线两个点都在这个直线上，但是相距很近），用二项式定理展开，从而代入并且消去已知的量，得到表达式如下：[9]

 消去小量（即同除以o），有：

然后我们认为o为无穷小的量，可以忽略，得到了

从而，，代入上式，我们得到：

化简一下就可以得到切线的方程，而求解极值则为，这在几何上面就很直观。

微积分最重要的一点——微积分基本定理的确定，则完全是牛顿自己独特又敏锐的直觉造就的这一个结果：利用代数的运算和几何图形的结合，给出了微积分基本定理的说明（其证明过程过于简略，不能作为证明）。其思路如下：

如图：设ab=x，曲边三角形abc=y是曲线q=f(x)下的面积，做de∥ab⊥ad∥be=p=1，当垂线cbe以单位速度向右移动，eb扫出面积Sabed=x，变化率cb扫出面积，从而

从而，也就是说，面积y再点x处的变化率是曲线在该处的q值。具体来说，的面积为而的切线为。这其实就是求导和积分互相为逆运算。

至此，牛顿微积分的核心三大内容就已经介绍完毕了。其思路如下：通过二项式定理给出切线以及最值的求法，根据“运动的线“给出具体的微积分基本定理。主要借助的是物理和代数的思想， 以及一少部分的坐标系结合于其中，可以说是十分精妙了。

关于莱布尼兹的微积分内容：

莱布尼兹的微积分和卡瓦列里的不可分量原理可谓是一脉相承，不同的是，莱布尼兹认为线是没有宽度的，因此采取了“给线一个宽度形成面“的思路(如下图所示)，纵然宽度足够小，也是一种很有创意的研究方式。

而之所以莱布尼兹更加青睐分割的思想，这与他最开始的工作息息相关：1666年莱布尼兹第一篇数学论文《论组合的艺术》中，详细研究了平方数数列0，1，4，9，16，25；发现，其一阶差为1，3，5，7，9，二阶差为2.另外，如果原来序列从0开始，那么一阶差之和为序列最后一项，若用dx表示相邻的序数之差，dy表示相邻值之差，用omn.表示求和，那么omn.l=y;莱布尼兹同样得到了看起来十分眼熟，若我们用积分写为：。二者只是差了一个连续性，而补足这个连续性的关键在于分割——把连续的函数分割成为一块块独立的条状长方形后，我们就得到了数列——这是莱布尼兹伟大的创新的方法。

此外，巴罗的微分三角给了他很大的启发：如上图：设有曲线f(x,y)=0,欲求其上一点的切线，我们选择一小段任意小的弧PQ，他是有增量QR=e引起的，PQR就是微分三角形，巴罗认为，当PQR很小的时候，他与TPM应该近乎相似，从而，有：

，由于Q，P在曲线上，因此有：f(x-e,y-a)=f(x,y)=0,从中消去一切包含有e，a的幂或者二者乘积项，得到方程可以解出来a/e，即为方程的切线斜率。[10]

下面，我们看看莱布尼兹的微分三角，莱布尼兹根据这个微分三角的结果，敏锐的意识到了微积分的基本定理，虽然他历经了17年才给出了一个并不十分通俗的证明。我们现在看看他是如何意识到二者的关系的。

如上图：取dx，dy和PQ为三个边构造特征三角形，两直角边是任意函数的dx和dy，则PQ是P、Q之间的曲线，都是切线的一部分。那么我们看这个三角形，他是和三角形STU相似的，从而dy/dx=TU/SU。这定性的说明，求曲线的切线依赖于纵坐标和横坐标的差

在1675年，他给出了公式化的结论：。在用了17年给出证明。莱布尼兹也将微分和积分真正的联系起来，得出二者互逆的结论，并成为了建立微积分的基石性工作。之间的比值，另一方面，从他之前计算积分的方式来看，求面积依赖于横坐标的无穷小区间的纵坐标值和或者无限窄矩形之和。这引发了他再一次的思考

另外，莱布尼兹作为一名数学家，他有着数学家特有的严谨，他对符号的选取十分巧妙，简单而有效，莱布尼兹引入了d作为微分而引入了作为积分符号。并且，给出了许多数学上面的结论，而这些结论都是牛顿所忽略不去重视的，作为数学推论，这些结论十分实用。例如说微积分的加减乘除分部运算等等。

同样的，莱布尼兹在研究切线问题时，给出如下结果：对于曲线y=y(x)，dy/dx趋于∞时，切线垂直，dy/dx=0时，切线平行，函数极值………

让我们回顾莱布尼兹做了什么？

首先，他有着扎实的级数基础并试图把积分用做离散化处理，从而得到分割的思想，接下来他借鉴巴罗的微分三角形，得到自己的微分三角，大概的产生了微分积分互逆的思想，然后建立微积分基本定理，再对微积分进行修修补补使之更加完美

显然，二者采取了完全不同的理解方式——牛顿主要是从代数和物理的角度，给出不那么直观的结果，并且囿于符号的选择，也没有很高的实用价值，而莱布尼兹则从几何角度除非，无论是求积还是微分三角的方法，都利用了几何的知识，并且采取了级数+不可分量原理的思想，向前推进这微积分的工作，可以说，二者采取了完全不同的方式，给出了近乎一样的结果。可以说，微积分的工作时历史发展的必然结果，而二者恰好同时处在了这一历史时期。因此，从思想上看，二者工作完全独立，互相没有抄袭的痕迹。

[1]<穷竭法的历史及有关问题初探> 邵明湖 辽宁师范大学学报

[2] -梁宗巨。数学家传略词典；山东教育出版社，1889：471-472

[5-6]<简明微积分发展史>龚升 林立君 湖南教育出版社

[9-10] <简明微积分发展史>龚升 林立君 湖南教育出版社

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