数分的开端是一个个繁琐的定义和定理。它们既抽象，又显然，却不易证明。现在在这里，我希望梳理一下数分的基本内容，建立自己的知识基础。如有错误，欢迎各位大佬不吝赐教！

　　学校采用的教材是山大自编的数分，同时我还借鉴了北大黄皮的数分。笔记的大部分内容会以这两套教材为主。

　　数学分析的首要问题是实数是什么。根据中学时的定义，实数是有理数与无理数的总称。其中，无理数的解释一般是“无限不循环小数”。然而，这样的表述显然是不规范的。比如无限不循环小数难以判断，而且“无限”本身的解释尚且模糊不清。或许，有人会采用“数轴”作为实数的解释方式。然而，在实数被完善定义之前，数轴本身仅仅是一个几何直观的存在，缺乏严谨的表述。因此，在对实数的不断认识之下，如今数学家采用戴德金分割的方式来定义实数。

　　对Q的任一分划，必定有以下三种情况之一出现：(1)A中无最大数，B中有最小数；(2)A中有最大数，B中无最小数；(3)A中无最大数，B中无最小数。

　　对于情况(1)(2)，称(A|B)为Q的一个有理分划；对于情况(3)，称(A|B)为Q的一个无理分划。

　　显然，全体有理数与情况(1)或(2)的有理分划是一一对应的。对于(3)所对应的无理分划，我们称之为无理数。

　　从而，我们规定实数集R是由全体有理数和无理数构成的集合。

3、数集的稠密性与连通性

　　由于任意两个有理数之间都有有理数存在，因此称有理数具有稠密性。显然，实数集也具有稠密性。

　　连通性是比稠密性更高的要求。若对任意两个数a,b∈A, a,b之间的所有的数都在A中，则称A是连通的。

　　根据上述无理数和实数的定义，我们可以得到实数集具有连通性。

　　对R的任一分划(A|B)，若A中无最大数，则B中必有最小数。

　　根据上述无理数和实数的定义，这是成立的。

　　设为一个非空数集.

　　若有满足：(1)M是E的一个上界，即；(2)，则称M为E的上确界，记为.

　　类似地，若有满足：(1)m是E的一个下界，即；(2)，则称M为E的下确界，记为。

　　若数集E无上界，记作；若数集E无下界，记作。注意，和只是记号，不属于实数。

　　非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界。

　　只证明上确界的情形。
　　若E中存在最大数M，则。
　　否则，E中无最大数。设B为E的所有上界组成的集合，令，则A,B非空，且。从而是R的一个分割。由于A中无最大数，则B中必有最小数M，则。

　　值得注意的是，该定理与戴德金分割定理等价。它们是实数系连续性的不同表述。

　　设是一个数列，，若，，则称数列的极限为，记作。

　　于是，根据定义证明数列极限的时候，需要寻找每个ε对应的N。

　　(1)唯一性：若数列有极限，则极限唯一。

证明：采用反证法，若有两极限，取即可。

　　(2)有界性：趋于有限极限的数列必定有界。

证明：反证法，假设无界，易推出矛盾。

　　(3)保号性：设，则对任意满足的，都存在正整数，使当时，。（的情况类似）

　　(3)*保序性：（其实是保号性的一般情况）给定两个序列 和 ，且 ， ，则有

①若，则对任意给定的，，使得时，有;

　　(4)四则运算：和差积商的极限等于极限的和差积商。

　　(5)单调收敛原理：单调有界数列必有极限。

证明：这同样是和戴德金分割定理等价的定理之一。证明与确界存在定理的证明类似，有空再补。

　　(6)夹逼收敛原理：设序列 满足，若，则.

证明：采用定义和绝对值不等式即可。

　　(7)闭区间套定理(Cantor区间套定理)：设是一列闭区间，并满足：

则存在唯一的一点，使得，即.

　　由①，，从而单调递增有上界，单调递减有下界。从而均收敛。于是，令，.则有.又由②，.则可以取满足条件。存在性得证。
　　若还有满足条件，则由夹逼收敛准则，.于是具有唯一性。
　　①该定理也是实数系连续性的等价描述之一。
　　②将该定理的条件改为开区间则不成立，例如取开区间族，它们相互包含但无公共点。

　　(8)有限覆盖定理：

　　在介绍此定理之前，我们需要先引入覆盖的相关概念。
　　设A是R中的一个子集，是R中的一族子集组成的集合，其中是一个指标集。若，则称是A的一个覆盖；若是A的一个覆盖，且，为开区间，则称为A的一个开覆盖；若是A的一个覆盖，且的元素个数有限，则称为A的一个有限覆盖。

　　设是一个闭区间，为的任意一个开覆盖，则必存在的一个子集构成的一个有限覆盖，即在中必有有限个开区间使得.

　　如若不然，我们将等分为两个闭区间，则其中必有一个不能被中的有限多个开区间所覆盖，记为；再将等分为两个闭区间，则其中必有一个不能被中的有限多个开区间所覆盖，记为. 如此进行下去，就可以得到一系列闭区间，满足：
(3)，不能被中的有限多个开区间覆盖。
　　由闭区间套定理，存在唯一的，使得. 由于，而为的一个开覆盖，所以，使得。又由于单增， 单减，且，所以存在充分大的，使得，从而. 这与(3)矛盾。定理得证。
　　这个定理的证明简短有力。他仅仅采用闭区间套定理和反证法就完成了证明。注意证明的核心是对区间进行无限分划，这是利用闭区间套定理的常见方式。在后面介值定理的证明中，这一方法还会被使用。

　　(9)柯西(Cauchy)收敛准则：数列趋于有限极限的充要条件是：对于，使对，恒有.

证明：依然是采用绝对值不等式和极限定义证明，较为基础。

　　(10)布尔查诺-魏尔斯特拉斯(Bolzano-Weierstass)致密性定理：有界序列必有收敛子列。

　　(11)聚点原理：

　　同样地，我们需要引入聚点的概念。
　　设E是R中的一个子集(可以不连续)，若(不一定在E中)满足：对，，则称是E的一个聚点。

　　R中任何一个有界无穷子集至少有一个聚点。

证明：可以采用闭区间套定理，暂略。

　　设函数在内有定义，若使得，使得时，，则称趋于时，函数以为极限，记作。

　　①趋于无限极限的情况也是类似的，在此不再写了。
　　②需要注意描述函数极限的语言与描述序列极限的语言的异同。

　　(1)唯一性：若函数的极限存在，则极限唯一。

　　(2)有界性：若存在，则，使得在内有界。

　　(3)保号性：若，则对满足，使得，.

　　(3)*保序性：若，，且，，则.

　　(4)夹逼收敛原理：若，，且，则.

　　(5)四则运算：和差积商的极限等于极限的和差积商。

　　(6)复合函数的极限：对，若其满足下列两条件之一：

　　则，特别地，对于(1)的情况，可以写成.

注：②实际上是内函数的极限不存在或不等于对应值的情况，较为少见。一般情况都直接使用①。

　　(7)柯西(Cauchy)收敛准则：极限存在且有限的充要条件是：，

　　(8)海涅(Heine)定理：等价于任意，若，则.

注：这条定理可以让我们把函数的极限和数列的极限相互转化，揭示了二者之间的联系。

（三）无穷小量和无穷大量