数字电路的作用是用来表达一个现实的逻辑命题，实现逻辑功能。但是，从
逻辑功能中简单概括得出的逻辑函数，往往不是最简表达式，根据这样的非最简式来实现电路，系统会过于复杂，成本过高，同时，电路运行的安全性和可靠性也无法得到保障。

为了降低系统成本，提高工作可靠性，应在不改变逻辑功能的基础上，化简
逻辑表达式，降低其规模，并进行相应变形，用更合理的函数式表达逻辑命题，以期用最少、最合理的门电路器件实现逻辑功能。

• 逻辑电路所用的级数要少

与或逻辑函数的公式法化简

• 有直接利用化简公式的结构,就直接化简
• 若没有,就改变表达式结构,创造环境去化简(拆项、提取公因子)

另外,化简结果可能不唯一,但最后结果的长度都是一样的

5类逻辑函数之间的转换

最简与或表达式拆项后得到的表达式的每个与项中，三输入变量均以原变量或者反变量形式，出现且仅出现一次。所以说，这 4 个与项都是该逻辑函数的最小项。

每个与项均包含了该逻辑函数的所有变量，且每个变量只能
以原变量或反变量形式出现且仅出现一次。

n变量逻辑函数共有2”个最小项

所谓“标准与或式”，就是用最小项相加 ， 得到的与或表达式，也称为最
小项标准式、“最小项之和”形式

一个具体逻辑函数的标准与或式中，到底存在哪个最小项，要看表达

标准与或式和真值表的联系

该逻辑函数的最简与或式和标准与或式分别为：

F 的标准与或式由 4 个最小项组成，用 0 表示反变量，1 表示原变量，则能使输出成立的 4 种输入组合，恰好和 4 个最小项一一对应。也就是说， 一个最小项就 对应着真值表上的 一行， 对应着一组确定的输入条件组合。

真值表上，有 4 种输入组合能使输出为 1，就将这 4 种输入组合所对应的 4
个最小项相或，从而得到逻辑函数的标准与或式。由此可知， 逻辑函数的真值表和标准与或式是严格对应的，都准确地表达了一个逻辑命题的功能 ， 这就是最小项、标准与或式的逻辑含义。

• 标准与或式具有唯一性，和该逻辑函数的真值表严格对应 ，代表了逻辑函数的功能 ；
• 一般式则具有多样性，代表了实现逻辑函数 的电形式的多样性。

• 在输入的任一种取值下,有且仅有一个最小项的值为1
• 一个逻辑函数的任意两个最小项之积必为0
• 一个逻辑函数的全体最小项之和必为1

卡诺图上的一个方格就对应着逻辑函数的一个最小项

• 同一个逻辑函数,真值表的输出部分有几个1 ,卡诺图方格内就要填几个1 ,都表示了有几个输入组合能够使输出成立;
• 逻辑函数的输入变量个数确定了真值表的结构、卡诺图的结构。

在一个最小项标准中,所有跟这一与项逻辑相邻的,只有四种可能:

逻辑相邻的意思,就意味着四输入变量中,两个与项相对应,只有一个变量,原变量、反变量不同,剩余三个变量是相同的

跟这一与项逻辑相邻的:

m0与m2是相邻的,所以整个卡诺图是左右相通的,就想个滚筒一样:
而一个五输入的卡诺图却是左右对称的:
跟某一项逻辑相邻的,有5种可能:
卡诺图能帮助我们更好地寻找逻辑相邻关系,但是到了五输入时,这一规则被打破了。也就是说,五变量以上的卡诺图就没有太多的使用意义

与或逻辑函数的卡诺图法化简

在卡诺图中,凡是相邻的最小项,它们在逻辑上也是相邻的,逻辑相邻,就是指二个最小项中除一个变量的形式不同为互反变量外,其它都是相同的,因此它们可以合并成一个与项,消去其中互反变量

首先先把相邻项圈起来,这个圈叫卡诺圈:
每一个卡诺圈表示可以进行一次 吸收定理1:
二个最小项合并,消去一个互反变量,保留公共变量(两项变一项,谁变干掉谁)

再来看看下面这张卡诺图:

刚刚的两个相邻项可以消去1个变量,这里的四个相邻项可以消去2个变量

有了上面的基础,这里应该就可以知道,八个相邻项可以消3个变量

换句话说就是: 谁不变,就把谁留下

注意!这样画圈是无法化简的!!!

应该转换成2个两项圈和2个四项圈:

• 2”个相邻最小项组成的卡诺圈合并,可以消去n个变量
• 不存在包含非2"个最小项的卡诺圈
• 看坐标化简,多项变一项,保留不变的,消去变化的。

用卡诺图表达待化简的逻辑函数

1. 根据表达式中输入变量个数, 画出卡诺图的结构
2. 表达式中包含什么样的最小项,在卡诺图对应的方格上填1 ,其余的填0或者不填,就得到了完整的卡诺图

1. 标准与或式(最小项标准式、最小项之和)

坐标1表示原变量、0表示反变量，按坐标规定,将与或式中的各个与项逐一填入卡诺图

最小项标准式中,最小项编号最大是15 ,说明是四输入逻辑函数,由此得到卡诺图的结构:
根据最小项的排列规律填入最小项:

有了上面的基础,这里很容易就能判断出是四输入:
这道题也再次证明了化简结果是不唯一的,但化简得长度是唯一的

对于下面这一题,我们可以找出 F=0的情况,再填入1:

5类逻辑函数的卡诺图法化简

• 其实真正用到卡诺图法的是:
  与或式、或与式以及与或非式

1. 用卡诺图表达出待化简函数,圈“1”得到最简与或式
2. 与或式两次求反,摩根定律展开一层，得到最简与非-与非式。

1. 用卡诺图表达出待化简逻辑函数
2. 图上圈0, 并且，坐标0表示原变量 ,1表示反变量，变量相“或”得到每一个或项(反演定律)
3. 最后再将所有的或项相“与"，得到最简或与式

已知最简或与式，两次求反,再摩根定律展开一层,得到最简或非-或非式。

1. 在卡诺图上圈"0”,求出反函数的最简与或式;
2. 然后取反,不处理,就得到最简与或非式。

具有约束关系的逻辑函数

• 输入变量的取值不是任意的，而是有条件的，并不是所有的输入组合都可以出现

• 在实际应用中,某些现实条件限制了输入变量的取值,将具有限制关系的一组输入变量称为一组具有约束的变量

• 由具有约束关系的输入变量所决定的逻辑函数，就称为具有约束的逻辑函数

• n输入的逻辑函数的2的n次方种输入取值组合下的输出取值都是明确的,这样的逻辑函数就是完全描述问题，其功能与每一个最小项均有关

• 具有约束的逻辑函数就是非完全描述问题,其功能只与能够出现的最小项有关

• 不可能出现的最小项，自然谈不上输出是0还是1

• 某些最小项出现时输出是1还是0均可，不影响逻辑电路的功能

• 约束项和任意项统称为无关项，逻辑函数的功能都跟他们无关
  但并不是所有无关项都适合加入，有的无关项加入表达式后,反而会使表达式变得复杂。

• 具有约束关系时，首选卡诺图法化简,保证最简原则
• 化简结果中要同时写上约束条件
• 最好将约束条件也做相应化简

例如，设计一个现实的逻辑电路，用一个指示灯来表示一架电梯的运行状态，从而能估计电梯日常使用频率。设计要求：当电梯在上升和下降时，指示灯点亮，表示电梯正在响应用户的使用要求；而当电梯悬停在某一层时，指示灯灭，表示电梯空闲。

不难发现：这是三条件、一结论的逻辑命题，设输入变量为 A 、 B 、 C ，分别表示电梯处于“上升”、“下降”和“悬停”，输出变量为 F ，表示指示灯点亮。在这个逻辑函数的八种输入取值组合中，能够使输出为 1 的组合只有两个，因此可以简单得到逻辑表达式:

同时，因为一些现实因素的限制，输入变量的某些取值组合永远不可能出现

电梯是不可能同时一边上升、一边下降的，也不可能一边上升、一边停止，
同样，也不可能既不上升、又不下降。也不停止。

以此类推，逻辑函数有五种输入组合是永远不可能出现，自然谈不上在这些输入组合下，输出取值为:

这就是该命题所包含的约束关系

此外，理论上还有一种情况，就是在输入变量的某些最小项出现（即对应的
输入组合出现）时，输出函数值是 1 还是 0 均可，不影响逻辑电路的功能，这样的最小项称为任意项

• 如果是约束项，则意味着不可能出现的最小项，那么谈不上输出是1 还是0
• 如果是任意项，则输出无所谓 1 还是 0

不论是约束项还是任意项，逻辑函数的功能都跟它们无关，因此， 约束项和任意项统称为无关项

既然约束项和任意项最终对输出造成的影响是类似的，一般不对它们做过于
绝对的区分，具有这种特点的逻辑函数统称为 具有无关项的逻辑函数，或者称为具有约束关系的逻辑函数，两者是一个概念

• 约束表达式限制了什么样的输入组合出现，把它们总结起来,就是约束关系的语言表达。

• 将一个现实的逻辑约束所限制的输入组合用表达式总结出来。

以时间为横轴，画出一个逻辑函数的输入、输出变量对应变化的波形,从而形成输入信号和输出信号的对应图形,即逻辑电路的波形图

1.将3个输入波形的所有变化点标记出来，这也就是输出波形可能的变化点。

2.以整体分析的方式画输出波形(似于真值表的列写过程，切忌从头到属地逐个片段画)

找出A和BC分别为1时的对应段,那么剩下的都是0:

五个逻辑函数的表示工具

各种表示工具的相互转化

由逻辑表达式转换为其他工具

其他工具转化为逻辑表达式

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