用向量的方法解决空间几何问题 高二年级 李晶小组 课题组组长：李晶 课题组成员：李晶 陆怡然 指导 老师：杨岳明 课题提出： 在高中数学的课程中，立体几何是一个难点，如果没有充分的立体空间的思维，对解答立体几何的问题存在一定的难度。因此，同学们便有了寻找捷径的想法，而向量便是一种较为简单的方法。能够将抽象的空间图形用较为简单的方法来解答，所以我们小组提出了用向量的方法解决几何题目的课题。 研究的目的： 立体几何是高中数学的一个较难解决的部分，而解决几何问题要花一定的时间，这对于高考中时间的把握起着相当大的作用，而抓紧时间解决每一道题目并要讲究正确率，这就对解题方法的有一定的要求。怎样寻找到一条又快又正确的解题思路便是成功的秘诀所在。在研究过程中我们发现向量在解决几何的问题的方面是较为简便的。这就为我们解决几何提供了一条捷径。 研究过程： ⒈制定研究方向： ⑴几何证明：①直线与直线的垂直 ②直线与平面垂直 ⑵几何计算： ①异面直线所成的角 ②求二面角 ③求四面体的体积 ④求两点间的距离 ⒉寻找例题 ⒊数据统计，例题整理 ⒋撰写研究报告 研究结果： 一、几何证明 ㈠直线与直线的垂直 DCBA例1：四面体ABCD中，AB⊥ D C B A 求证：BC⊥AD． 证明：=（+） =（+） 则·=（+）·（+） =·+·+·+· =·+·+· =·（++） =·=0 ∴BC⊥AD 分析：这就是利用向量的运算及向量的数量积证明异面直线的垂直问题． ㈡直线与平面垂直 例2：已知：正方体ABCD——A1B1C1D1中，M、N、P分别为CD、DD’、DA的中点，用向量的方法求证：B1P⊥平面AMN. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系．设正方形边长为1， MB1C1D1A1ZPDAY M B1 C1 D1 A1 Z P D A Y C X B N∴=｛－1, , －1｝=｛, 1, 0｝ N =｛0, 1, ｝ ∴·＝－+＝0, ·=－=0 ⊥AM, ⊥AN ∴⊥平面AMN 分析：此例须先建立空间直角坐标系,然后证明·=0，·=0．得⊥AM，⊥AN，然后由立体几何性质得⊥平面AMN． 二、计算 ㈠异面直线所成的角 ㈡求二面角 例3： 正四棱锥P-ABCD，设AB=2，PO=1，用向量的方法求二面角B-PC-D的大小。 分析：（1）正四棱锥的底面对角线互相垂直，故可设底面对角线交点为O，以OB所在直线为Ox轴、OC所在直线为Oy轴，OP所在直线为Oz轴建立空间直角坐标系。 （2）根据二面角的性质作BE⊥PC，E为垂足，连结DE可得∠DEB为所求的二面角的平面角。 （3）求出D、B、E点坐标，用数量积得∠DEB的余弦。 ZYX解： 如图所示，分别以射线OB、OC、OP为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系。作BE⊥CP，E为垂足，连结DE。由△PBC≌△PDC，得DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角。易得B（，0，0），D（-，0，0），E（0，，）。 Z Y X ∴={，-，-}， ={-，-，-}。 得 ·= -2++= -， =，=． ∴cos∠DEB== -， ∴∠DEB=120°． 即二面角B-PC-D得大小是120°． ㈢求四面体的体积 例4：四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为srccos，求四面体ABCD的体积． 解法一：建立空间直角坐标系． 由题意，有A(0，2，0)，C（2，0，0），E（