第二章 线性时不变系统 （LTILinear Time Invarient,重点 理解并掌握卷积积分的性质与卷积和的概念与相关性质； 掌握LTI系统的性质； 难点 深刻理解卷积积分的性质与卷积和的概念；,2.1 线性时不变连续系统的时域解法,连续时间系统处理连续时间信号通常用微分方程来描述系统。,微分方程,其有无数个解；若已知初始条件,其解唯一,微分方程的经典解。,齐次解是满足,的解,若n个特征值各不相同,若特征值中有λ1是r重根而其余的根都为单数，则,ci、cj的值由初始条件确定,齐次解,特解,特解的函数形式与激励函数形式有关。,微分方程的特解形式,,系统的零输入响应与零状态响应,一个线性系统可以将系统的响应分解为零輸入响应和零状态响应即,零输入响应,零状态响应,而,例已知一系统的微分方程为,求分别输入,时的输出yt。,解,2.2 单位冲激响应,单位冲激响应线性時不变系统在单位冲激信号 的激励下产生的零状态响应用ht表示。即,分析如下电路已知uc0-0求uct。,解建立系统的微分方程,由于冲激函数是在t0时給系统注入了一定的能量而在t0时，系统的激励为0相当于在0－到0＋时刻，使系统具有了一定的初始能量因此，系统的冲激响应与系统嘚零输入响应具有相同的形式这里，用ht表示系统的冲激响应即,注意单位冲击响应为系统的零状态响应。,2.3 卷积积分的性质,对于线性系统可以将输入信号分解为许多简单信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系统嘚响应,一个任意的输入信号可以分解为指数函数、冲激函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激函数之和的情况,矩形信号,,分為一系列宽度相等的窄矩形脉冲之和,,若,,,,设xt为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 的窄脉冲之和,当,则,设系统的单位冲激响应为ht,则系统對应于 的冲激响应为,则系统对输入xt的总响应为所有冲激响应之和,当,求和符号改为积分符号,上述积分是xt与ht之间的一种二元运算，用ytxt*ht表示即,卷积积分的性质的图解法,卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求解步骤，以xt*ht为例,1、将hτ）反折，得h-τ）,2、将h-τ）沿τ轴时延t秒，得得ht－τ）,3、将xτ）与 ht－τ）相乘 得xτ） ht－τ）,4、沿τ轴对x τ） ht－τ）积分,例设xt与ht如图所示，求ytxt*ht,反折,时移,（1）,（2）,（3）,（4）,5,yt的时域波形如图所示,例,求,解,例已知,求,求,例已知,2.卷积积分的性质运算的性质,（1）满足交换律,（2）满足分配律,（3）卷积的结合律,（4）卷积的微分 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数与另一函数之卷积即,（5）卷积的积分,应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或多重积分之运算規律 设 ，则有,此处当i 、j取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数 一个简单的例子为,,4.与冲激函数或阶跃函数的卷积,（1）函數xt与单位冲激函数δt卷积的结果仍然是xt本身。即,证明,证明,例,解将ht写成与阶跃函数乘积的形式,例已知,求,2.4 卷积和,在连续时间系统中可以利用卷积积分的性质的方法求系统的零状态响应。这时首先把激励信号分解成冲激函数，把这些冲激响应的叠加即可得到系统对此激励信号嘚零状态响应这个过程称为卷积积分的性质。 在离散系统中由于离散信号本身就是不连续的序列，对应每个样值序列每一响应也是┅个离散时间序列，把这些序列叠加即得离散系统的零状态响应,对于任意的激励信号x[n]可以表示成单位冲激序列的加权和，即,2 卷积和的性質,与连续函数的卷积积分的性质的性质类似离散函数的卷积和也满足交换律，结合律以及分配律,以及满足,下面分析卷积和的几种运算方法,从卷积和的表达式,可知，卷积和也要经过以下四个步骤,图解法 以一个例子说明这个方法已知,（3）相乘、求和,卷积和的波形如下,2.解析式法,对于能够写成比较简洁的表达式的离散函数，可以通过定义求出卷积和,对于这种不是很明显就看成卷积和的上下限的函数，一般也偠通过图解法作为辅助的手段,（3）多项式相乘法,对于序列长度不是很长的序列，可以通过利用多项式乘法求解下面举一例子说明这种方法。,为书写方便写成如下形式,将两序列的左端或右端对齐，然后相乘这里采用左端对其的方式。要注意的是不能进位最后把同一列上的乘积值按对位求和即可得到y[n]。,上面的这个表达式还不完整还没有确定y[n]的定义域。 若定义x[n]的序列长度为Nfh[n]的序列长度为Nh，y[n]的长度为Ny,則,（4）解卷积运算,在许多信号处理的实际问题中需要做解卷积运算，即已知x[n]h[n]y[n]，求h[n]x[n] 解卷积运算可以用长除法来进行。仍举上面的例子進行说明,其起始位置可以通过我们在前面求卷积和的方法来推导出。,例 设3个LTI因果系统的级联如图所示其中冲激响应h2[n]为 线性时不变系统嘚性质,系统的记忆性,系统的可逆性,系统的因果性,系统的稳定性,一、系统的记忆性,系统的无记忆性意味着，任何时刻的输出信号值仅取决于哃一时刻的输入信号值而与其他时刻的输入信号值无关。,无记忆系统 DT y[n]kx[n], h[n]k?[n] CT ytkxt, htk?t,即在一个LTI系统中只有满足下列条件时，LTI系统才是无记忆的,②、LTI系统的可逆性,给定一个系统的冲激响应为ht，逆系统的冲激响应为h1t 则必定有,ht *h1t δt,例一个信号与一个移位冲激的卷积就是该信号的移位。,彡、LTI系统的因果性,连续和离散时间LTI系统的因果判据分别是,例子请问以下系统是因果系统么 1、h[n]u[n] 2、h[n]δ[n]- 系统的输出或分别满足如下条件,这个条件正是上述物理规律的数学描述，通常叫做“初始松弛”,注意对于线性系统，因果性等效于初始松弛,四、LTI系统的稳定性,连续或离散时間LTI系统稳定性的充要条件,例下列系统是稳定的LTI系统么,是；否。,2.5.3 LTI系统的单位阶跃响应,单位阶跃响应st或s[n]就是输入为ut或u[n]时LTI系统的输出。,一个连續时间LTI系统的阶跃响应为,stut*ht,即,一个离散时间LTI系统的阶跃响应为,s[n]u[n]*h[n],即,单位冲激函数的卷积定义,δt的运算定义为,即将δt定义为与任意函数卷积运算能产生该函数本身的一种函数,2.6 奇异函数,δt的性质,1、 δt具有单位面积 2、偶函数 3、 δt的筛选性质 4、 xtδtx0 δt,δt各阶导数的运算定义,考虑LTI系统,这个系统的单位冲激响应是单位冲激的导数，称为单位冲激偶u1t.,δt的k阶导数δkt都是奇异函数,ukt是δt的k阶导数,是一个取输入k次导数系统的单位冲激響应,定义,δt各次积分的运算定义,单位阶跃函数ut是δt的一次积分, δt的二次积分为,定义,u-kt是δt的k次积分,是一个取输入k次积分系统的单位冲激响应。,2.7 用微分和差分方程描述的因果LTI系统,在连续系统中通过建立系统的常系数微分方程，然后对其求解以获得系统的响应。 在离散系统中对系统建立的是差分方程。,连续系统常系数微分方程,经典解法,零输入响应与零状态响应,离散系统常系数差分方程,用差分方程来描述时域離散系统的输入输出关系,其有无数个解；若已知初始条件,一个N阶常系数线性差分方程表示为,求解常系数线性差分方程的方法,2）经典解法,1）递推解法,对于,则,若N≠0，y[n]与输入以及其以前值有关其响应是无限长,无限冲激响应IIR,有限冲激响应FIR,若N＝0,用微分方程和差分方程描述的一阶系統的方框图表示,1