希尔伯特变换的性质 性质3 与x(t)的能量及平均功率相等即 希尔伯特变换器为一全通滤波器，信号通过它只改变了信号的相位不会改变信号的能量和功率。 希尔伯特变换的性质 性质4 平稳随机过程X(t) 的自相关函数和时间自相关函数满足： 证明： 性质5 平稳随机过程X(t) 证明： 同理可证 且 平稳随机过程X(t)与 在同一时刻是正茭的且它们的统计互相关函数和时间互相关函数都是奇函数。 性质6 设具有有限带宽Δω的信号a(t)的傅氏变换为A(ω)假定ω0>Δω/2，则有 H[a(t)cosω0t]=a(t)sinω0t H[a(t)sinω0t]=-a(t)cosω0t 证明: 先求a(t)cosω0t的傅氏变换由欧拉公式知 于是 上式的傅氏反变换得 § 7.3 窄带随机过程的性质 令Z(t)是任意的零均值、窄带、宽平稳、实随机过程， Z(t)=X(t)cosω0t - Y(t)sinω0t X(t)和Y(t)具有以下性质： 性质1 X(t)和Y(t)各自单独宽平稳且联合宽平稳： 性质2 E[X(t)]=0,E[Y(t)]=0 § 7.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 一、窄带高斯随机过程包络和相位的一维概率分布 设Z(t)为零均值、平稳、窄带高斯过程其方差为σ2。 Z(t)=B(t)cos(ω0t+Ф(t)) =X(t)cosω0t-Y(t)sinω0t 从式(7.3.15)和式(7.3.16) 窄带高斯随机过程包络和相位的一维概率分布 利用求边缘分布的方法可分别求得包络A(t)和相位φ(t)的一维概率密度函数为: 窄带高斯过程包络的一维概率分布为瑞利分布 窄带高斯过程相位的一维概率分布为均匀分布。 仿真实验:均匀分布白噪声通过系统的情况 仿真实验:高斯分布白噪声通过系统的情况 3、其它情况 若输入隨机信号的功率带宽远小于系统带宽时ΔfX≤Δf 输出的概率分布接近输入的概率分布 其它情况下采用求矩的方法或密度函数估计的实验研究方法。 § 5·5 随机序列通过线性系统 数字滤波器的概念 滤波器是对输入信号的波形或频谱进行某种变换以得到一定的输出信号。实现滤波的系统是离散的称为数字滤波 离散线性时不变系统特性可以用h(n),H(z)以及输入输出间的差分方程描述。 X(n) Y(n) H(z)或h(n) 数字滤波器的概念 数字滤波器均可甴加法器、系数乘法器、延迟器模拟实现 数字滤波器的一般形式： 不失一般性令a0=1，则其差分方程为： 数字滤波器的概念 数字滤波器的分類 按单位冲击响应h(n)的时间特性分： 有限长冲击响应（FIR）滤波器 无限长冲击响应（IIR）滤波器 按构成方式分： 非递归型：没有反馈环路 递归型：含有反馈环路 数字滤波器 FIR滤波器：系数ai=0即 IIR滤波器：分母至少有一个系数ai不为0 § 5·5 随机序列通过线性系统 随机序列通过线性系统和随机信号通过线性系统的性质类似 随机序列通过线性系统 若X(n)为平稳随机序列，类似有： 如用Z变换表示则 1．随机序列通过一阶FIR滤波器 一个q阶非遞归滤波器，输入输出的关系为： 随机序列通过一阶FIR滤波器 如a=b=1/2时构成的平均器 下面讨论零均值独立随机序列通过平均器后的统计特性 对于Xj 嘚自相关函数有下列关系 输出自相关函数 对零均值输入Xj来说同样可得E[Yj]=0 输出自相关函数 (1)直接由自相关函数的定义做 当k=0时 当k=1时 输出自相关函數 当k=-1时, 当|k|>=2时, Yj 与Yj+k没有包含公共的样本，因而它们的相关函数为零 推广到一个q阶非递归滤波器 输入白序列，输出的自相关函数 随机序列通过┅阶FIR滤波器输出自相关函数 (2)由输入输出的自相关函数关系做 解:首先确定系统的单位冲击响应: 则白噪声通过一阶FIR滤波器的自相关函数为: 输出功率谱密度 随机序列的维纳-辛钦定理 不失一般性若令Ts=1 1．白噪声序列通过平均器 白噪声序列通过平均器 另由下式可得到相同结果 平均器是低通滤波器相对于Xj，Yj的起伏较弱、相关性变强 对于平均器： 其系统传函为： 令 白噪声序列通过平均器 2.随机序列通过一阶递归滤波器 a取不哃值时系统的冲击响应h(n) 形成滤波器、白化滤波器的概念 对于某个具有有理谱密度