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动量守恒定律 子弹打木块
弹簧 板块 三模型
一、 子弹大木块【例 2】如图所示，质量为 M 的木块固定在光滑的水平面上，有一质量为 m 的子弹以初速 度 v0 水平射向木块，并能射穿，设木块的厚度为 d，木块给子弹的平均 阻力恒为 f.若木块可以在光滑的水平面上自由滑动，子弹以同样的初速 度水平射向静止的木块，假设木块给子弹的阻力与前一情况一样，试问 在此情况下要射穿该木块，子弹的初动能应满足什么条件？ 【解析】若木块在光滑水平面上能自由滑动，此时子弹若能恰好打穿木块，那么子弹穿 出木块时(子弹看为质点)，子弹和木块具有相同的速度，把此时的速度记为 v，把子弹和木 块当做一个系统，在它们作用前后系统的动量守恒，即 mv0＝(m＋M)v 对系统应用动能定理得 1 2 1 fd＝ mv0 － (M＋m)v2 2 2 由上面两式消去 v 可得 1 2 1 mv0 2 fd＝ mv0 － (m＋M)( ) 2 2 m＋M m＋M 1 整理得 mv2 ＝ fd 2 0 M 1 m 即 mv2 ＝(1＋ )fd 2 0 M 1 据上式可知，E0＝ mv2 就是子弹恰好打穿木块所必须具有的初动能，也就是说，子弹恰 2 0 能打穿木块所必须具有的初动能与子弹受到的平均阻力 f 和木块的厚度 d(或者说与 f?d)有 关，还跟两者质量的比值有关，在上述情况下要使子弹打穿木块，则子弹具有的初动能 E0 m 必须大于(1＋ )f?d. M72、如图所示，静止在光滑水平面上的木块，质量为、长度为。―颗质量为的子弹从木块的左端打进。设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为 好从木块的右端打出，则子弹的初速度的阻力，要使子弹刚应等于多大？涉及子弹打木块的临界问题分析：取子弹和木块为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。由动量 守恒定律得： ① ②要使子弹刚好从木块右端打出，则必须满足如下的临界条件：根据功能关系得：③解以上三式得：二、 板块1、 如图 1 所示，一个长为 L、质量为 M 的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量 为 m 的物块（可视为质点） ，以水平初速度 v0 从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动 摩擦因数为 ? ，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成 内能的量 Q。图1 解析：可先根据动量守恒定律求出 m 和 M 的共同速度，再根据动能定理或能量守恒求 出转化为内能的量 Q。 对物块，滑动摩擦力 F f 做负功，由动能定理得：? F f (d ? s) ?1 2 1 2 mv t ? mv 0 2 2即 F f 对物块做负功，使物块动能减少。 对木块，滑动摩擦力 F f 对木块做正功，由动能定理得 F f s ? 功，使木块动能增加，系统减少的机械能为：1 Mv 2 ，即 F f 对木块做正 21 2 1 2 1 mv 0 ? mv t ? Mv 2 ? F f (d ? s ) ? F f s ? F f d 2 2 2?1?本题中 F f ? ?mg ，物块与木块相对静止时， vt ? v ，则上式可简化为：?mgd ?1 2 1 mv 0 ? (m ? M )vt2 2 2?2?又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则：mv0 ? (m ? M )vt联立式&2&、&3&得：2 Mv0 d? 2?g ( M ? m)?3?故系统机械能转化为内能的量为：2 2 Mv0 Mm v0 Q ? F f d ? ?m g ? ? 2?g (M ? m) 2( M ? m)【例 10】如图所示，―质量为 M、长为 l 的长方形木板 B 放在光滑的水平地面上，在其右 端放一质量为 m 的小木块 A，m＜M．现以地面为参照系给 A 和 B 以大小相等、方向相反的 初速度(如图)，使 A 开始向左运动、B 开始向右运动，但最后 A 刚好没有滑离 B 板．以地面 为参照系，(1)若已知 A 和 B 的初速度大小为 ，求它们最后的速度的大小和方向．(2)若初速度的大小未知，求小木块 A 向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离．【分析与解】(1)A 刚好没有滑离 B 板，表示当 A 滑到 B 板的最左端时，A、B 具有相同的速 度.设此速度为 V，根据 m＜M，可知 即向右．A 和 B 的初速度的大小为 ，判断出 V 的方向应与 B 板初速度同向， ，则由动量守恒可得：解得：方向向右(2)本题应着重理解物理过程的定性分析方法，在此基础上形成正确的物理图景．注意以下 说理分析：A 在 B 板的右端时初速度向左，而到达 B 板左端时的末速度向右，若以地面为 参考，可见 A 在运动过程中必经历先向左受摩擦力作用而作减速运动，直到相对地面速度 为零的阶段，而后经历因 B 板速度方向向右，A 相对 B 板向左，故 A 所摩擦力方向向右，A 向右作初速度为零的加速运动直到有共同速度为 的阶段，如下图所示．在前一阶段，摩 擦力阻碍 A 向左运动，在后一阶段，摩擦力为动力，使 A 向右加速．设 为 A 开始运动到速度变为零过程中向左运动的过程，为 A 从速度为零增加到速度过程中向右运动的路程，L 为 A 从开始运动到刚到达 B 的最左端的过程中 B 运动的路程．设 A 与 B 之间的滑动 摩擦力为 ，则由功能关系可知：对于 B:对于 A:由几何关系由以上四式解得三、 弹簧11．(8 分)如图 2 所示，质量 M＝4 kg 的滑板 B 静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻 质弹簧，弹簧的自由端 C 到滑板左端的距离 L＝0.5 m，这段滑板与木块 A(可视为质点)之间 的动摩擦因数 μ ＝0.2，而弹簧自由端 C 到弹簧固定端 D 所对应的滑板上表面光滑．小木块A 以速度 v0＝10 m/s 由滑板 B 左端开始沿滑板 B 表面向右运动． 已知木块 A 的质量 m＝1 kg， g 取 10 m/s2.求：(1)弹簧被压缩到最短时木块 A 的速度 ； 2 m/s 39 J(2)木块 A 压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能．★ 4、 （09?山东?38） （2）如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块，A、B、C，质量分 别为 mB=mc=2m,mA=m，A、B 用细绳连接，中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接)。开 始时 A、 B 以共同速度 v0 运动， C 静止。 某时刻细绳突然断开， A、B 被弹开，然后 B 又与 C 发生碰撞并粘在一起，最终三滑 块速度恰好相同。求 B 与 C 碰撞前 B 的速度。 解析： （2） 设共同速度为 v， 球 A 和 B 分开后， B 的速度为 vB , 由动量守恒定律有 (mA ? mB )v0 ? mAv ? mBvB , mB vB ? (mB ? mC )v ,联立这两式得 B 和 C 碰撞前 B 的速度为 vB ?v09 v0 。 5例 2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应” 。这 类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连，在光滑的 水平直轨道上处于静止状态， 在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板 P， 右边有一小球 C 沿 轨道以速度 v0 射向 B 球，如图 1 所示，C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整体 D，在它们继 续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A 球与 挡板 P 发生碰撞，碰后 A、D 都静止不动，A 与 P 接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁 定（锁定及解除锁定均无机械能损失） ，已知 A、B、C 三球的质量均为 m。图1 （1）求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度。 （2）求在 A 球离开挡板 P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。 解析： （1） 设 C 球与 B 球粘结成 D 时， D 的速度为 v1， 由动量守恒得 mv0 ? (m ? m)v1 当弹簧压至最短时，D 与 A 的速度相等，设此速度为 v2，由动量守恒得 2mv 1 ? 3mv 2 ，由 以上两式求得 A 的速度 v 2 ?1 v0 。 3（ 2 ） 设 弹 簧 长 度 被 锁 定 后 ， 贮 存 在 弹 簧 中 的 势 能 为 EP ， 由 能 量 守 恒 ， 有1 1 2 ? 2mv 12 ? ? 3mv 2 ? E P 撞击 P 后，A 与 D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到 2 2 1 2 自然长度时，势能全部转弯成 D 的动能，设 D 的速度为 v3，则有 E P ? ( 2m) ? v 3 2以后弹簧伸长，A 球离开挡板 P，并获得速度，当 A、D 的速度相等时，弹簧伸至最长， 设此时的速度为 v4，由动量守恒得 2mv3 ? 3mv4当 弹 簧 伸 到 最 长 时 ， 其 势 能 最 大 ， 设 此 势 能 为 EP' ， 由 能 量 守 恒 ， 有1 1 1 2 2 2 ? 2mv 3 ? ? 3mv 4 ? E P ' 解以上各式得 E P ' ? mv 0 。 2 2 36例 4. 用轻弹簧相连的质量均为 2kg 的 A、B 两物块都以 v ? 6m / s 的速度在光滑的水 平地面上运动，弹簧处于原长，质量为 4kg 的物体 C 静止在前方，如图 3 所示，B 与 C 碰 撞后二者粘在一起运动。求：在以后的运动中，图3 （1）当弹簧的弹性势能最大时物体 A 的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？ （3）A 的速度有可能向左吗？为什么？ 解析： （1）当 A、B、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于 A、B、C 三者 组成的系统动量守恒，有(m A ? m B ) v ? ( m A ? m B ? m C ) v A解得： v A ? 3m / s （2）B、C 碰撞时 B、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间 B、C 两者速度为 v ' ，则mB v ? (mB ? mC )v'，v' ? 2m / s设物块 A 速度为 vA 时弹簧的弹性势能最大为 EP，根据能量守恒EP ?1 1 1 2 ( m B ? mC ) v ' 2 ? m A v 2 ? ( m A ? m B ? mC ) v A ? 12 J 2 2 2（3）由系统动量守恒得mAv ? mB v ? mAv A ? (mB ? mC )vB设 A 的速度方向向左， v A ? 0 ，则 v B ? 4m / s 则作用后 A、B、C 动能之和Ek ?1 1 2 2 mAv A ? ( m B ? mC ) v B ? 48 J 2 2实际上系统的机械能1 2 E ' ? E P ? (m A ? m B ? mC )v A ? 48 J 2根据能量守恒定律， Ek ? E' 是不可能的。故 A 不可能向左运动。四、 曲面与摆球1 (1)(a)图中 B 是半径为 R 的 圆弧轨道，A、B 最初均处于静止状态，现让 A 自由下滑， 4 求 A 滑离 B 时 A 和 B 的速度大小之比. 1 (2)(b)图中 B 也是半径为 R 的 圆弧轨道，初态时 B 静止不动，滑块 A 以速度 v0 沿轨道 4 上滑，若滑块已滑出轨道 B，求滑出时 B 的速度大小. (3)(c)图中 B 为一半径为 R 的半圆形轨道，开始时 B 静止不动，滑块 A 以一初速度 v0 使其沿轨道下滑，若 A 能从轨道的另一端滑出，求滑出时 B 的速度为多大？ (4)(d)图中小球来回摆动，求小球摆至最低点时 A、B 速度大小之比.【答案】(1)vA∶vB＝M∶m (2)vB＝ (4)vA∶vB＝M∶mmv0 (3)vB＝0 M＋m【拓展 2】如图所示，一不可伸长的轻质细绳，静止地悬挂着质量为 M 的木 块，一质量为 m 的子弹，以水平速度 v0 击中木块，已知 M＝9m，不计空气阻力. 问： (1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短)， 在木块上升的最高点 比悬点 O 低的情况下，木块能上升的最大高度是多少？(设重力加速度为 g) v0 (2)如果子弹以水平速度 v0 击中木块， 在极短时间内又以水平速度 穿出木块， 4 则在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能是多少？ 【解析】(1)因为子弹与木块作用时间极短，子弹与木块间的相互作用力远大于它们的 重力，所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹与木块开始上升时的速度为 v1，则 mv0＝(m＋M)v1 1 因不计空气阻力，所以系统上升过程中机械能守恒，设木块上升的最大高度为 h，则 (m＋ 2M)v2 1＝(m＋M)gh v2 0 h＝ 200g (2)子弹射穿木块前后，子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹穿出时木块 速度为 v2， v0 则 mv0＝m( )＋Mv2，在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能为 4 1 2 1 v0 2 1 2 7 2 ΔE＝ mv0－ m( ) － Mv2＝ mv0 2 2 4 2 16【例 4】光滑的水平面上有 A、B 两辆小车，mB＝1 kg，原来静止.小车 A 连同支架的质量为 mA＝1 kg，现将小球 C 用长为 L＝0.2 m 的细线悬于支架顶端，mC＝0.5 kg.开始时 A 车与 C 球以 v0＝4 m/s 的共同速度冲向 B 车，如图所示.若 A、B 发生正碰后粘在一起，不计空气阻 力，取 g＝10 m/s2.试求细线所受的最大拉力.【正解】小车 A 与小车 B 相碰的瞬间，C 的速度保持 v0 不变，A、B 组成的系统动量守恒： mAv0＝(mA＋mB)vAB mAv0 1× 4 解得 vAB＝ ＝ m/s＝2 m/s mA＋mB 1＋1 方向与 v0 相同. A、B 结合成整体的瞬间，C 的速度仍为 v0，所以 C 相对于 A、B 整体的相对速度为 v 相 ＝v0－vAB＝2 m/s A、B 碰后，C2 相对于悬点做圆周运动，在最低点时绳子的拉力最大，由牛顿第二定律 mCv相 可得 F－mCg＝ ，即 L mCv2 相 0.5× 22 F＝mCg＋ ＝(0.5× 10) N＋ N＝15 N L 0.24、 （2012 新课标） （2） （9 分）如图，小球 a、b 用等长细线悬挂于同一固定点 O。让球 a 静 止下垂，将球 b 向右拉起，使细线水平。从静止释放球 b，两球碰后粘在一起向左摆动，此 后细线与竖直方向之间的最大偏角为 60°。忽略空气阻力，求 （i）两球 a、b 的质量之比； （ii）两球在碰撞过程中损失的机械能与球 b 在碰前的最大动能之比。Oba 解： （i）设球 b 的质量为 m2，细线长为 L，球 b 下落至最低点，但未与球 a 相碰时的速度为 v，由机械能守恒定律得 m2 gL ?1 m2 v 2 2①式中 g 是重力加速度的大小。设球 a 的质量为 m1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度为 v′， 以向左为正。有动量守恒定律得 m2v ? (m1 ? m2 )v? ② 设 两球 共同 向左 运动到最 高处 ，细 线与 竖直方向 的夹 角为 θ ， 由机 械能 守恒 定律 得1 ( m1 ? m2 )v ? 2 ? ( m1 ? m2 ) gL(1 ? cos ? ) ③ 2联立①②③式得m1 1 ? ?1 m2 1 ? cos ?代入数据得m1 ? 2 ?1 m2（ii）两球在碰撞过程中的机械能损失是Q? m ?( m 2 gL 1 ? m 2)1 m 2 v 2 ）之比为 2g (L 1 ? c? os )联立①⑥式，Q 与碰前球 b 的最大动能 Ek（Ek=m ? m2 Q ? 1? 1 (1 ? cos ? ) ⑦ Ek m2联立⑤⑦式，并代入题给数据得Q 2 ? 1? Ek 2⑧70、 如图 5 所示， 甲、 乙两完全一样的小车， 质量均为 的小球，当乙车静止时，甲车以速度， 乙车内用细绳吊一质量为与乙车相碰，碰后连为一体，当小球摆到最高点时，甲车和小球的速度各为多大？涉及摆的临界问题分析：甲车与乙车发生碰撞，由于碰撞时间很短，当甲、乙两车碰后速度相等时，乙车发 生的位移可略去不计，这样，小球并未参与碰撞作用，取甲、乙两车为研究对象，运用动量 守恒定律得： ①接着，甲、乙两车合为一体并通过绳子与小球发生作用，车将向右做减速运动，小球将向右做加速运动并上摆。当小球和车的速度相同时，小球到达最高点。对两车和小球应用动量守恒定律得：②解以上①②两式得：例 3、. 如图所示，光滑水平面上质量为 m1=2kg 的物块以 v0=2m/s 的初速冲向质量为 m2=6kg 静 止的光滑圆弧 面斜劈体。求： （1）物块 m1 滑到最高点位置时，二者的速度； （2）物块 m1 从圆弧面滑下后，二者速度； （3）若 m1= m2 物块 m1 从圆弧面滑下后，二者速度; (1) 0.5m/s； （2）-1m/s; 1m/s; (3) 0; 2m/s;m 1v 0m 2
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一颗质量为m，速度为v0的子弹竖直向上射穿质量为M的木块后继续上升，子弹从射穿木块到再回到原木块处所经过的时间为T，那么当子弹射出木块后，木块上升的最大高度为多少？
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本题考点：
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考点点评：
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