感应恒定电动势会有感应电流吗为啥会在电磁发电机与变压器两端引起电势差呢？电势差不是静电场保守力场的概念吗？
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时间：2024-05-10 17:34
1.我们先来看看电容和电感，它们的电流与电压的关系电感和电容这两个元件很有意思，它们是对偶的。我们先来看电容：我们知道，电容等于电量与电压之比，也即：C=\frac{Q}{U} =\frac{It}{U} 于是有：I=C\frac{U}{t} 因为电容两端的电压，以及流过电容的电流都是时间的变量，于是有：i_{C} =C\frac{dU_{C} }{dt} 令电压为：u=U_{m} sin\omega t，代入上式，我们得到：i_{C} =C\frac{dU_{C} }{dt} =C\frac{dU_{m} sin\omega t }{dt} =C\omega U_{m}
\frac{dsin\omega t }{d\omega t} =C\omega U_{m} cos\omega t由三角函数的诱导公式，我们得到：i_{C} =C\omega U_{m} cos\omega t=C\omega U_{m} sin(\omega t+90^{\circ } )=I_{m} sin(\omega t+90^{\circ } )现在，我们应当很清楚了：流过电容的电流总是超前电压90度。也就是说，当我们给电容加上电压后，它的电流先达到最大值，电压为零；然后电流逐渐地减小到零，而此时电压却达到最大值。我们再来看电感。根据楞次定律，我们知道电感产生的电动势，总是阻碍着电流的变化。根据电感与电容的对偶式，我们将C和L互换，把U和I互换，这就得到电感的表达式，如下：U_{L} =L\frac{dI_{L} }{dt} ，令电流为：i=I_{m} sin\omega t最后的结果是：U_{L} =L\omega I_{m} sin(\omega t+90^{\circ } )=U_{m} sin(\omega t+90^{\circ } )与电流相比，我们发现它超前电流90度。也即感应电动势总是试图阻止电流发生变化。从上图中，我们能明确地看出电流与电压之间的超前和滞后关系。2.我们再来看题主的问题题主的问题是：为什么电感线圈感应电动势和它两端的电压等大反向？题主的问题其实是法拉第电磁感应定律的反映。而且，我们能看到第一部分的影子。我们来看法拉第电磁感应定律：E=-\frac{d\Phi }{dt} .在这个式子中，E是电磁感应的电动势，单位是伏特；d\Phi 是通过电路的电磁量，单位是韦伯。改变通过电路的磁通量有两种方式，有感应电动势和动生电动势。感生电动势改变的是自身的电场，例如改变生成场的电流；动生电动势时，改变的是磁场中的电路的运动。通过上式，我们看到感应电动势的方向与电磁量改变量的方向相反。我们再来看下图：这张图是从百度上下载的，它能比较好地解答题主的问题。我认为，题主可能是把线圈内部和外部的电动势和电压方向搞混了。我们从上图右侧的二次回路，也即感应电动势所在的回路中，我们可以很明确地看出两者的方向。由于此图很直观，我就不解释了。给题主提一个问题：既然变压器的副边电动势是感应生成的，那么副边电动势应当在原边也会产生感应电动势。试问问出现在原边的感应电动势与e1和u1有何种关系？体现了变压器的何种特性？说明一下：要完整地回答这个问题有点难度，但它能让题主彻底地明确自己问题的实质。同时，通过解析问题，还能明确变压器的工作原理和参数。考虑到此题较难，我会在适当的时候通过修改帖子来解答。}
\frac{dsin\omega t }{d\omega t} =C\omega U_{m} cos\omega t由三角函数的诱导公式，我们得到：i_{C} =C\omega U_{m} cos\omega t=C\omega U_{m} sin(\omega t+90^{\circ } )=I_{m} sin(\omega t+90^{\circ } )现在，我们应当很清楚了：流过电容的电流总是超前电压90度。也就是说，当我们给电容加上电压后，它的电流先达到最大值，电压为零；然后电流逐渐地减小到零，而此时电压却达到最大值。我们再来看电感。根据楞次定律，我们知道电感产生的电动势，总是阻碍着电流的变化。根据电感与电容的对偶式，我们将C和L互换，把U和I互换，这就得到电感的表达式，如下：U_{L} =L\frac{dI_{L} }{dt} ，令电流为：i=I_{m} sin\omega t最后的结果是：U_{L} =L\omega I_{m} sin(\omega t+90^{\circ } )=U_{m} sin(\omega t+90^{\circ } )与电流相比，我们发现它超前电流90度。也即感应电动势总是试图阻止电流发生变化。从上图中，我们能明确地看出电流与电压之间的超前和滞后关系。2.我们再来看题主的问题题主的问题是：为什么电感线圈感应电动势和它两端的电压等大反向？题主的问题其实是法拉第电磁感应定律的反映。而且，我们能看到第一部分的影子。我们来看法拉第电磁感应定律：E=-\frac{d\Phi }{dt} .在这个式子中，E是电磁感应的电动势，单位是伏特；d\Phi 是通过电路的电磁量，单位是韦伯。改变通过电路的磁通量有两种方式，有感应电动势和动生电动势。感生电动势改变的是自身的电场，例如改变生成场的电流；动生电动势时，改变的是磁场中的电路的运动。通过上式，我们看到感应电动势的方向与电磁量改变量的方向相反。我们再来看下图：这张图是从百度上下载的，它能比较好地解答题主的问题。我认为，题主可能是把线圈内部和外部的电动势和电压方向搞混了。我们从上图右侧的二次回路，也即感应电动势所在的回路中，我们可以很明确地看出两者的方向。由于此图很直观，我就不解释了。给题主提一个问题：既然变压器的副边电动势是感应生成的，那么副边电动势应当在原边也会产生感应电动势。试问问出现在原边的感应电动势与e1和u1有何种关系？体现了变压器的何种特性？说明一下：要完整地回答这个问题有点难度，但它能让题主彻底地明确自己问题的实质。同时，通过解析问题，还能明确变压器的工作原理和参数。考虑到此题较难，我会在适当的时候通过修改帖子来解答。}
本文并非对物理学进行专业的介绍，而是学习计算机图形学的数学笔记，主要参考清华大学出版《大学物理》，在内容上有所取舍。人类很早的就发现了自然界的电现象和磁现象，在早期，电学与磁学是分开研究，磁学的研究在古希腊时期就有记载，而电学的研究开始于开始于十七世纪，因为在此之前，人类都没有找到能获取稳定静电的方式。麦克斯韦方程组用了四个等式，第一和第二个方程定量的描述了静电场、恒稳磁场的属性，第三、第四个方程描述了磁场如何产生感应电场和电场如何产生感应磁场。通过这四个方程，还能推出电磁波的波动方程，说明变化的电场和磁场相互激发，将振动状态传递出去。并成功预言光是一种电磁波。麦克斯韦方程组的诞生标志着经典电磁学的建立，但同时电磁学与经典力学和经典统计力学的矛盾催生出了现代物理学的两大基石：相对论和量子力学。麦克斯韦方程组有积分形式和微分形式两种，它们要表达的内涵是一样的：\left\{\begin{matrix} \begin{array}{l}
\oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S =
\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{enc} \\ \oint_S B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = 0 \\ \oint_L E_k \cdot dl
= -\frac{d}{dt}\int_S B\cdot dS \\ \oint_L B\cdot \mathrm{d}l = \mu_0(\sum I_{enc} + \varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S E\cdot dS)
\end{array} \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \begin{array}{l} \nabla \cdot E
= \rho/\varepsilon_0 \\ \nabla \cdot B
= 0 \\ \nabla \times E_k
= -\frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times B = \mu_0(J + \varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}) \end{array} \end{matrix}\right. 1 电荷电荷（electric charge）类似于物质的量，属于抽象的物理概念，用以描述带电物体的电性质。自然界中存在两种电荷 —— 正电荷与负电荷。电量：类似于质量，指带电体所带电荷的多少叫电量，它是一个标量。用 Q 或 q 表示，单位库伦，记作 C 点电荷：类似于质点，描述那些可以忽略形状和大小的带电体。电荷的量子性：自然界中，电荷总是以一个基本单元的整数倍出现。电荷的这个特性叫做电荷的量子性。电荷的基本单元就是一个电子所带电量的绝对值，用 e 表示。1913 年，密里根设计了著名的油滴实验，测得：e=1.602\times 10^{-19} C 电荷守恒：电荷守恒定律是物理学中的基本定律。如果一个系统没有净电荷出入，那该系统的正、负电荷的电量的代数和将保持不变。2 静电场场：物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场。比如温度在某一空间内的分布称为温度场；密度在某一物体内的分布称为密度场；引力在空间的分布就是引力场。场是一种抽象的物理概念，用程序语言描述，就是一个函数，输入一个坐标，返回一个物理量。值得注意的是，场的性质是它自己的属性，和坐标系的引进无关，引入坐标的目的是方便描述与计算。物理上有两种场：定常场和不定常场。顾名思义，定常场就是物理量只随空间位置变化，也即定常场是一个随坐标变换的函数 f(x,y,z) ；不定常场就是物理量不仅随着空间位置变化，还随着时间变化，也即不定常场是一个即随坐标变换，又随时间变换的函数 f(x,y,z,t) 。在实际中，一般的场都是不定常的场，但为了研究方便，可以把在一段时间内物理量变化很小的场近似地看作定常场。如果物理量是标量，称为数量场；如果物理量是矢量，称为矢量场。常见的数量场有：温度场，密度场；常见的向量场有：电场，磁场，引力场，速度场。数量场就等于给定一个数量函数 u(x,y,z)
；向量场就等于给定一个向量函数 A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) ，其中 P,Q,R 为数量函数且是 A(x,y,z) 在三个坐标轴上的投影。静电场就是由静止电荷激发的矢量场。2.1 库伦定律库伦定律是电磁学第一个定量描述电现象的定律，它是静电场的基础。库伦定律受万有引力定律的启发，是物理学史上第二个平方反比的定律。库伦定律：真空中两个点电荷之间的相互作用力与它们之间的电量成正比，与它们两之间的距离的平方成反比：F = k\frac{q_1q_2}{r^2} \hat{r} 其中， k=8.9880\times 10^9 N\cdot m^2/C^2 。在有些情况下，引入真空介电常数 \varepsilon_0 使得：k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} 那么 \varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}C^2/N\cdot m^2 q_1 对 q_2 的作用力方向与 q_2 对 q_1 的作用力方向相反，大小相等，符合牛顿第三定律。库伦力的叠加原理：两个点电荷之间的相互作用力并不因为第三个点电荷的存在而有所改变，因此，两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力等于各个电荷单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。这个结论称为库伦力的叠加原理。2.2 电场线、电场通量与高斯电场定律根据上面点电荷系对检验电荷的合力 F ，我们定义静电场的电场强度：E = \frac{F}{q} E
称为电场强度，是一个关于位置的矢量函数，单位为 N/C 。电场强度反映了点电荷系的结构，属于该点电荷系产生的电场特有的属性。电场力除以电荷，就是电场强度，因此电场强度也服从叠加原理，称为电场的叠加原理。由静止的电荷产生的电场叫做静电场。点电荷的静电场：E = k\frac{q}{r^2}\hat{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r} 若带点体的电荷是连续分布的，也即电荷量 q 是一个关于空间坐标的连续函数。那么 \mathrm{d}q 可以当成点电荷处理，根据电场的叠加原理，带电体的静电场为：E = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm{d}q}{r^2}\hat{r} 在中学，我们学过关于电场定性的描述：用电场线可以表示电场强度电场线切线方向表示该点电场强度的方向电场线的疏密可以表示电场强度的大小静电场做功只与起点和终点相关，与路径无关选取零势点后，通过静电场做功的特性，可以得到每一点的电势电场线指向电势下降最快的方向电势相等的点可以连成一个曲面称为等势面等势面与电场线正交下面用微积分的知识，定量的描述静电场的上述性质。本节涉及的电场都是静电场，运动电场和感应电场有不同的性质，这里先不介绍了。电场线：为了形象的描述空间任意位置的电场强度大小和电场强度方向，我们引入用电场线。曲线上每一点的切线方向表示该点的场强方向；曲线的疏密表示该点的场强大小。电场线总是从正电荷发出，在负电荷汇聚。我们需要定量的描述电力线疏密与场强大小的关系，类比于密度的定义（单位体积的质量），电力线的疏密可以描述为垂直通过单位面积的电力线数量：E = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}S_{\perp}} 其中， \Phi 称为电场通量（flux），也即通过该有向曲面的电力线数量。当这一曲面非常小时，可以近似为一个有向平面。一个平面有两条法向量 \hat{n} ，而有向平面的方向是我们人为指定的一条法向量的方向用生活中的例子去理解这一定义：有一个开着的花洒，用一个小试管去接水。花洒的水流就是电力线，小试管的管口就是面元，管口与水流方向垂直。在距离花洒近的地方，水流密集，流进试管的水也就越多；在距离花洒远的地方，水流稀疏，流进试管的水也就越少。由上式，可得：\mathrm{d}\Phi = E\mathrm{d}S_{\perp} =
E
\mathrm{d}S \cos\left \langle \hat{n},E \right \rangle
= E\cdot \hat{n} \mathrm{d}S
其中， \mathrm{d}S 是任意有向面元，不一定与电场线方向垂直。电通量是一个标量，但有正负之分，其单位 Nm^2/C 。由定义可知，通量不仅与场强相关，还与电场方向与面元的夹角有关。那么任意曲面的电通量可以把该分割成许多小面元，然后根据计算垂直通过这些小面元的电力线，最后把所有小面元的通量累加起来：\Phi = \int_S \mathrm{d}\Phi = \int_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S 在数学上，此类积分称为第二类曲面积分。特别的，如果 S 是封闭曲面，那么记为：\Phi = \oint_S \mathrm{d}\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S 对于不封闭的曲面，面上各处法向量单位矢量的正向可以任意取这一侧或那一侧。对于封闭曲面，由于它使空间划分成内、外两部分，所以一般规定自内向外的方向为各处面元法向量的正方向。对于封闭曲面，当电力线从内部穿出时，下图 (b) 中 \mathrm{d}S_1 处，通量为正；当电力线从外部穿入时，下图
(b)
中 \mathrm{d}S_2 处，通量为负。整个封闭曲面的电通量为穿出与穿入的电力线的条数之差，也即净穿出封闭曲面的电力线的总条数。点电荷的电场通量：对空间中一点电荷作封闭球，球心在点电荷所在的位置，那么该球面的电场通量为：\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = \oint_S\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathrm{d}S=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\oint_S\mathrm{d}S=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} 所以点电荷的通量只与曲面包围的电荷有关，与封闭曲面的形状，电荷所在的位置无关。如果封闭曲面不包围点电荷，根据电力线的连续性可知，穿入曲面的电力线与穿出曲面的电力线相同，也即：\Phi = \oint_{S^{\prime}} E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = 0 点电荷系的电场通量（高斯电场定律）：根据电场叠加原理：E = E_1 + E_2 + \cdots + E_n 那么任意包围点电荷系的封闭曲面的通量为：\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = \oint_S E_1\cdot \hat{n}\mathrm{d}S + \oint_S E_2\cdot \hat{n}\mathrm{d}S+\cdots +\oint_S E_n\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{enc} 在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该封闭面所包围的电荷的电量的代数和的 1/\varepsilon_0 倍。这一定律称为高斯电场定律：\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S =
\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{enc} 电场高斯定律是麦克斯韦方程组的第一个方程，它描述了静电场的性质。2.3 电势与静电环路定律在某一电场中，一点电荷受电场力的作用在空间中作曲线运动，那么电场对该点电荷所作的功是：W = \int_l F \cdot \mathrm{d}l = q\int_l E\cdot \mathrm{d}l 在数学上， \int_l E\cdot \mathrm{d}l
称为第二类曲线积分。下面考察点电荷电场强度的曲线积分，下面中， l 的起点距离 q 为 r_1 ，终点距离 q 为 r_2 ：\int_l E \cdot \mathrm{d}l = \int_l \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \hat{r}\cdot
\mathrm{d}l = \int_l \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} r \mathrm{d}l\cos<\hat{r},\mathrm{d}l> \\= \int_{r_1}^{r_2} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}
\mathrm{d}r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}) 对于点电荷系的场强的第二型曲线积分：\int_l E\cdot \mathrm{d}l = \int_l E_1 \cdot \mathrm{d}l + \int_l E_2 \cdot \mathrm{d}l + \cdots +\int_l E_n \cdot \mathrm{d}l \\= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\sum q_{enc} 该式子表面，点电荷的场强的第二型曲线积分与路径无关，只与起点和终点有关。记为：U_1 - U_2 = \int^{r_2}_{r_1}E\cdot \mathrm{d}l 其中 U_1 - U_2 称为电势差，因此称静电场是一种有势场或保守场。在给定的静电场中，任意两点的电势差具有完全确定的值。其单位 N\cdot m/C,\ J/C 或伏特，记为 V 。有势场（保守场）的第二型曲线积分与路径无关，只与起点和终点有关。电势：我们可以指定电场中一点 P_0 为电势零点，那么其他任何点 P 以电势零点为参考，可得静电场中任意一点的电势：U = \int^{p}_{p_0}E\cdot \mathrm{d}l 电势是空间坐标的标量函数 U(x,y,z) ，电势也可看成一个标量场。电势叠加原理：电势同样拥有叠加原理。一个电荷系的电场中任一点的电势等于每个带电体单独存在时在该点所产生的代数和。静电场的环路定律：对于静电场中任意两点 r_1,\ r_2 ， l 为任意从 r_1 到 r_2 的曲线， l^{\prime} 为任意从 r_2 到 r_1 的曲线，根据静电场场强曲线积分的性质：\int_l E\cdot \mathrm{d}l = -\int_{l^{\prime}} E\cdot \mathrm{d}l 因为 l 和 l^{\prime} 构成一闭合环路 c ，那么从 r_1 到 r_2 再回到 r_1 的环路积分：\oint_c E\cdot
\mathrm{d}l = \int_l E\cdot
\mathrm{d}l +\int_{l^{\prime}} E\cdot
\mathrm{d}l = 0 此式表面，在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分为零，该定理称为静电场的环路定律。静电场的这一特性称为无旋性。无旋性的命名非常直观，无旋性与有势性是等价的。无旋性重点刻画在静电场对作环路运动的电荷做功为零；有势性刻画的是在电场对作沿任意曲线运动的电荷做功只与起点和终点有关，与路径无关。根据万有引力定律导出的重力场也是一个无旋场。与无旋相对的是有旋场，比如磁场就是一个有旋场。无旋场与有旋场从生活中的例子区别无旋场和有旋场，无旋场就像定向流动的水流，一艘潜艇在水流中沿任意闭合曲线运动，水流对潜艇做的功为零。有旋场就像有漩涡的水流，一艘潜艇沿水流旋转方向做曲线运动，水流对潜艇做正功；沿水流旋转反向做曲线运动，水流对潜艇做负功。无旋场的场线是起点和终点不重合的射线，有旋场的场线是起点和终点重合的有向闭环。2.4 电势的梯度在电场中选取非常接近的两点，这两点的电势差为：U_2 - U_1 = E\cdot dl 因为 U_2 = U_1 + \mathrm{d}U ，那么 \mathrm{d}U 为 U 沿 \mathrm{d}l 方向的增量，所以：\mathrm{d}U = E\cdot \mathrm{d}l= Edl\cos\left \langle E, \mathrm{d}l \right \rangle
由上式得：E\cos\left \langle E, \mathrm{d}l \right \rangle = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l} 这称为电势沿着 \mathrm{d}l 方向的变化率，也称为电势沿着 \mathrm{d}l 的方向导数。可以看到，当 \cos<E, \mathrm{d}l>=1 时，即 \mathrm{d}l 沿着 E 的方向时，变化率
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l}
有最大值，这也就解释了电场强度方向指向电势变换最快的方向，该方向称为电势 U 的梯度（gradient），此时：E = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l} = \frac{\partial U}{\partial x} \hat{x}+\frac{\partial U}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{z} 称为电势的沿梯度方向的方向导数，其中：E_x = \frac{\partial U}{\partial x}\quad E_y = \frac{\partial U}{\partial y}\quad E_z = \frac{\partial U}{\partial z} 是电势沿坐标轴方向的变化率，称为电势的偏导数，那么 (E_x, E_y, E_z) 就是电势的梯度。我们记：\nabla = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) 称为哈密顿算子，那么电势的沿梯度方向的方向导数可以记为：E =\nabla U 对一个电势求梯度可以得到电场强度，也即对一个标量函数求梯度可以得到一个矢量函数。某一点的静电场中某一点电势的梯度记为 \mathrm{grad}(U)(x_0,y_0,z_0) 等势面是电势相等的点连接而成的面，其与电场强度方向垂直。为了方便叙述，我们有一个二维平面电场 E(x,y) 其电势为 U(x,y) 。其等势面是一条等势线，为： U(x,y) 和平面 U = U_0 的交集。电势在 (x_0,y_0,U_0) 处的全微分为：\mathrm{d}U|_{x_0,y_0} = \frac{\partial U}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial U}{\partial y}\Delta y 我们知道，一元函数的微分的几何意义是某点处的切线方程，那么二元函数的全微分的几何意义是某点处的切平面方程。我们知道平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 中向量 (A,B,C) 即为平面的法线。我么对二元函数的全微分稍加整理：\frac{\partial U}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial U}{\partial y}\Delta y - dU|_{x_0,y_0} = \frac{\partial U}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial U}{\partial y}(y-y_0) - (U(x,y)-U(x_0,y_0)) = 0 那么 (\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, -1) 就是二元函数在 (x_0,y_0,U_0) 处的法线。该法线在 U=U_0 平面的投影即是梯度，也就是场强方向，其自然垂直于 U(x,y) 和平面 U = U_0 的交集，也就是垂直于等势线（面）。2.5 电场强度的散度哈密顿算子的形式如下：\nabla = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) 它可以看成一个向量，如果其与一个标量函数相乘，可以理解成向量的数乘，得到一个向量函数。比如作用在电势上，可以得到电势的梯度，一个矢量函数 —— 电场强度：E = \nabla U 如果哈密顿算子作用在一个矢量函数上，也即与一个矢量函数点乘，可以得到一个标量函数，称为矢量函数的散度（divergence）。静电场的电场强度是一个矢量场，它可以写成：E(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) 其中 P,Q,R 是标量函数且是 E(x,y,z) 在三个坐标轴上的投影。那么电场强度的散度为：\nabla \cdot E = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 电场强度的散度有什么意义呢？根据 E(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) ，电场高斯定律可以写成：\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}dS =
\oint_S P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dxdz + R(x,y,z) dxdy = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{enc}其中某点法线 \hat{n} 也可表示为 (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) ，分别表示与 x,\ y,\ z 轴的夹角的余弦。那么 (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) \mathrm{d}S = (\mathrm{d}y\mathrm{d}z, \mathrm{d}z\mathrm{d}x, \mathrm{d}x\mathrm{d}y) ，等号右边每个分量表示微元面积 \mathrm{d}S 在 x = 0,\ y = 0,\ z = 0 平面的投影面积。 设封闭曲面 S 的体积是 V ，那么曲面 S 的“平均电通量”，或者说“平均电通密度”为：\frac{\oint_S P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dxdz + R(x,y,z) dxdy}{V} = \frac{\sum q_{enc}}{\varepsilon_0V} 等式右边表示包围电荷的平均密度，或者说是单位面积平均包围的电荷数。如果 V 无限小，收缩成一点，那么 V 近似成一个立方体 V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \to 0 。那么：\lim_{V\to 0}\frac{\oint_S P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dxdz + R(x,y,z) dxdy}{V}\\ = \frac{P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+Q(x,y,z)dxdy}{dxdydz}\\ = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\rho}{\varepsilon} 其中 \rho 表示电荷密度，或者说单位体积包含的电荷数，或者说电荷数关于体积的变化率。那么某点电场散度就等于该点电荷密度的 1/\varepsilon_0 倍，这就是高斯电场定律的微分形式：\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} 这里的推导并不严谨，只是帮助理解，还是推荐阅读数学分析上的相关定理的证明从上面的推导中可以看到，电场强度的散度就是无穷小封闭曲面的通量和该封闭曲面的体积之比。对一个矢量函数求散度，会得到一个标量函数。某一点的散度记为 \mathrm{div}(E)(x_0,y_0,z_0)。 如果 \mathrm{div}(E)(x_0,y_0,z_0) > 0 那么有电场线从这一点流出，称这一点为源，那么该点一定有正电荷。如果 \mathrm{div}(E)(x_0,y_0,z_0) < 0 那么有电场线流入这一点，那么该点一定有负电荷，称这一点为汇。如果 \mathrm{div}(E)(x_0,y_0,z_0) = 0 ，那么该点没有电荷。有源场与无源场：在一个矢量场中，有散度不为 0 的点，那么称这个场为有源场；反之如果该矢量场中的散度处处为 0，那么称这个矢量场为无源场。静电场是一个有源场，磁场是一个无源场。从生活中的例子理解散度，如果把一根气球扔到一个散度不为 0 的点，那么这个气球可能被撑大，也可能被挤扁。如果气球被撑大，说明这一点是源；如果气球被挤扁，说明这一点是汇。高斯公式：在数学上，矢量函数沿封闭曲面的第二型曲面积分可以转化为散度的三重积分：\oint_SP(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dxdz + R(x,y,z) dxdy \\=\iiint_V \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z =
\iiint_V \nabla \cdot f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z 这一定理称为高斯公式。高斯公式提供了计算矢量函数沿封闭曲面的第二型曲面积分的方式。3 电流电流：在中学，重点介绍了电流以及电路的相关知识。在中学，对电流的定性的描述是：电荷的定向运动称为电流。电流准确的定义是：单位时间通过导体某一截面的电量，称为通过该界面的电流，用 I 表示，单位安培，记为 A ：I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} 电流是一个标量，通常说电流方向是正电荷运动的方向。在导体中，这些电荷称为载流子。金属导体中载流子是电子，所以电流方向与载流子运动方向相反。在电解液中，在载流子是正、负离子电流密度：刻画了电流在导体中各处分布的情况，在导体中某处作一垂直于载流子运动放方向的面元 \mathrm{d}S_{\perp} ，如果通过 \mathrm{d}S_{\perp} 的电流为 \mathrm{d}I ，则该处的电流密度大小为：J = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_{\perp}} 电流密度的单位是： A/m^2 。电流密度是一个矢量，导体中某点的电流密度的方向沿该点正电荷定向运动速度的方向。由电流密度的定义，我们可以得到通过任意界面 S 的电流：I = \int_S J\cdot \mathrm{d}S 电流密度与载流子运动速度的关系：电流是载流子定向运动而形成的，所以电流密度与载流子定向运动密切相关。在导体中作一小圆柱体，其轴线沿着载流子定向运动速度方向
u ，底面积为 \mathrm{d}S_{\perp} ，长等于载流子在
\mathrm{d}t
时间内运动的距离 u\mathrm{d}t 。设导体中载流子密度为 n ，电量为 e ， \mathrm{d}t 时间内通过 \mathrm{d}S_{\perp} 的电量为：\mathrm{d}q = enudS_{\perp}\mathrm{d}t 通过 \mathrm{d}S_{\perp} 的电流为：\mathrm{d}I = enu\mathrm{d}S_{\perp} 由此可得电流密度的另一形式：J = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_{\perp}} = enu = \rho u \rho 称为载流子电荷密度。
4 稳恒磁场稳恒磁场类似于静电场，我们可以定义磁场线与磁场通量来刻画稳恒磁场的磁感应强度。磁感应强度与磁感线：磁感应强度刻画了磁场对放入其中的磁铁、电流或运动电荷力的作用，是磁场自身的属性，记为 B ，单位特斯拉，记为 T 。我们同样用磁感线形象的刻画磁感应强度在空间的分布。磁感线在某点处的切线方向表示该点处磁感应强度的方向，磁感线在某点处的疏密程度表示该点处磁感应强度的大小。在磁铁外部，磁感线总是从 N 极指向
S
极；在磁铁内部，磁感线总是从 S 级指向 N 极。磁铁的南北极总是成对出现，因此磁感线都是封闭的曲线。洛伦兹力：运动电荷在磁场中会受一个磁场力，称为洛伦兹力：F_m = qv\times B 也即洛伦兹力垂直于电荷运动方向和磁场方向所在的平面。当运动方向与磁感应强度方向相同时，不受洛伦兹力。根据洛伦兹力公式，可以设计实验确定空间中任意一点的磁感应强度，其大小为：B = \frac{F_m}{qv\sin\left \langle B, v \right \rangle} 当 \sin\left \langle B, v \right \rangle = 0 时，磁感应强度方向与电荷移动方向平行，没有洛伦兹力。当 \sin\left \langle B, v \right \rangle = 1 时，磁感应强度方向与电荷移动方向垂直，洛伦兹力最大。安培力：通电导线在磁场中会受到一个磁场力，称为安培力。安培力是洛伦兹力的宏观表现。取导体中一电流元 I\mathrm{d}l ，导体中电子以速度 v 作定向运动，其方向与电流方向相反，电流元中电子的数量为 \mathrm{d}N ，那么电流所受的安培力是其中所有电子的洛伦兹力的合力：\mathrm{d}F = \mathrm{d}N (-ev\times B) 根据电流的定义：I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\frac{e\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} 那么：I\mathrm{d}l = \frac{e\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}l = e\mathrm{d}N\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}=(\mathrm{d}N)ev 因为电流方向与电子运动方向相反，所以 I\mathrm{d}l = -(\mathrm{d}N)ev ，则安培力为：\mathrm{d}F = I\mathrm{d}l \times B 那么有限长载流导线的安培力为：F = \int_L\mathrm{d}F =\int_L I\mathrm{d}l \times B 磁通量与高斯磁场定律：同样，在磁场中作一曲面，通过该曲面的磁感线的数量称为该曲面的磁通量，记为 \Phi_m ，单位韦伯，记为 Wb 。那么磁感应强度大小可以定义为垂直通过单位面积的磁感线数量：B = \frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}S_{\perp}} 那么通过某面元的磁通量为：\mathrm{d}\Phi_m = B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S =
B|\mathrm{d}S\cos\left \langle B, \hat{n} \right \rangle 通过任意曲面 S 的磁通量为：\Phi_m = \int_S \mathrm{d}\Phi_m = \int_S B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S =\int_S
B|\mathrm{d}S\cos\left \langle B, \hat{n} \right \rangle 若曲面是一个封闭曲面，那么磁通量为：\Phi_m = \oint_S B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S 因为磁感线都是封闭曲线，所以穿入封闭曲面的磁感线和穿出封闭曲面的磁感线数量相同，净穿出为 0，所以磁场中封闭曲面的磁通量为 0，也即：\oint_S B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = 0 该定律称为磁场高斯定律，是麦克斯韦方程组的第二个方程，它刻画了磁场的属性。磁场同样是一个矢量场，那么磁感应强度的散度也恒为 0，也即：\nabla \cdot B = \lim_{V\to 0}\frac{\oint _SB \cdot \hat{n}dS}{V} = 0 所以磁场是无源场。5 电磁感应1831 年，英国物理学家法拉第通过大量实现，发现了变化的磁场可以产生电流，电流的产生是因为通过导体电流环路的磁通量发生变化，并产生感应电动势，由感应电动势驱动导体内电荷定向运动。电动势是非静电力移动单位电荷所作的功，以区别电势，比如电池的电动势就是其内部的化学反应产生能量，将负极的正电荷源源不断地搬到正极，从而形成稳定的电流。电动势的单位同样是伏特，用以纪念第一个发明电堆的人。电堆的发明使人们的获得稳定的电流，从而促进了电磁学的发展。法拉第电磁感应定律：通过导体回路的磁通量发生变化，回路中会产生感应电动势。感应电动势的大小和磁通量变化率成正比，其方向与磁场方向和它的变化有关，用 \mathscr{E} 表示感应电动势，那么有：\mathscr{E} = -\frac{d\Phi_m}{dt} 根据楞次定律可以确定感应电流的方向：感应电流的方向总是使得它自身所激发的磁场产生的磁通量阻碍引起感应电流的磁通量的变化。感应电动势具体的有以下两种：动生电动势：磁场不变，导体回路的面积发生改变感生电动势：导体回路的面积不变，磁场发生改变5.1 动生电动势如果导体回路所围的面积增大，也会使磁通量发生变化，这时也会产生感应电动势，称为动生电动势。比如如下经典的模型：当导体棒作切割磁感线运动时，回路的磁通量发生变化，生成动生电动势。因为导体棒作速度为 v 的运动时，棒内的自由电子的速度也是 v ，那么会受洛伦兹力的作用：F = -e(v\times B) 洛伦兹力会驱动金属棒内的电子定向运动，那么导体棒两端的电动势为：\mathscr{E} = \int^b_a (v\times B)\cdot dl = Blv = \frac{Blv dt}{dt}=\frac{BdS}{dt} = -\frac{d\Phi_m}{dt} 5.2 感生电动势感生电场：如果导体回路的面积不变，也即导体不会做切割磁感线的运动，导体内的自由电子不会受定向的洛伦兹力的作用。所以感生电动势产生电流的原因磁通量的变化激发了一个电场，称为感生电场，由感生电场驱动自由电子定向运动形成电流。感生电场不同于静电场，记为 E_k ，感生电场移动单位电荷所作的功就是感生电动势。麦克斯韦在研究大量实验后，对法拉第定律做出了重要补充，从而得到电磁感应现象的一般叙述：变化的磁场将在其周围空间产生具有闭合电场线的感生电场：\oint_L E_k \cdot dl = -\frac{d\Phi_m}{dt} = -\frac{d}{dt}\int_S B\cdot dS 该式子就是麦克斯韦方程组的第三个方程，它刻画了电磁感应现象。这个式子中我们还可以看到感生电场的环路积分不为 0，所以感生电场是一个有旋场静电场是一个无旋场，其沿任意环路，积分总为 06 电流的磁效应电流的磁效应发现早于电磁感应，物理学家奥斯特发现了电流的磁效应之后，引起了极大的关注。通电导线激发的磁场方向可以用安培右手定则确定：安培定则一（通电直导线激发的磁场）：右手拇指指向电流方向，四指弯曲的方向就是磁场方向安培定则二（通电螺线管的磁场）：四指指向电流方向，拇指指向的方向就是磁场的方向物理学家肯定不满足定性的描述，在物理学家毕奥、萨伐尔，数学家拉普拉斯的努力下，总结出了电流产生磁场的基本定律 —— 毕奥-萨伐尔定律。6.1 毕奥-萨伐尔定律毕奥-萨伐尔定律：闭合导线中电流是连续的，按照微积分的思想，取导线中一小段电流元 I\mathrm{d}l ，电流元到空间中任意一点 P 之间的位矢为 \hat{r} ，那么电流元在 P 点产生的磁场为：\mathrm{d}B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\times \hat{r}}{r^3} 其中 \mu_0 为真空磁导率，其大小为： \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c} = 4\pi\times 10^{-7} N/A^2 可以看到该定律也是一个平方反比的定律，根据磁场叠加原理，那么整条导线激发的磁场为：B=\int_l \mathrm{d}B = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_l\frac{I\mathrm{d}l\times \hat{r}}{r^3} 电流是由运动电荷所形成的，电流元 I\mathrm{d}l 的截面面积为 S ，此电流元中单位体积内有 n 个定向运动的正电荷，每个电荷量均为 q ，且定向运动速度均为 v ，可知此电流元的电流密度为 J=nqv ，那么：Idl = JSdl = nqvSdl 那么可以导出运动电荷所激发的磁场：dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{nqvSdl \times \hat{r}}{r^3} 其中 Sdl = dV 为电流元的体积， ndV = dN 为电流元中做定向运动的电荷数，那么一个以速度 v 运动的电荷，在距离它为 r 处产生的磁感应强度为：B = \frac{dB}{dN} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{qv\times \hat{r}}{r^3} 6.2 安培环路定律安培在毕奥-萨伐尔定律的基础，研究磁感应强度沿任一闭合环路 L 的第二型曲线积分，提出了著名的安培环路定律。其形式类似于电场的高斯定律，电场的高斯定律说明了静电场的有源性，而安培环路定律说明磁场的有旋性。安培环路定律：磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭合环路 L 的线积分，等于穿过环路所有电流 I 的代数和的 \mu_0 倍，即：\oint_L B\cdot \mathrm{d}l = \mu_0\sum I_{enc} 左图为环路包围电流，右图为环路不包围电流安培环路定律不仅说明了磁感应强度环路积分的特性，还说明了电流周围如何激发磁场，也即电流的磁效应。6.3 安培-法拉第定律安培环路定律有一个问题，如果有如下电路电路中有一个电容，不管是在充电还是放电的过程中，电流都不能再电容器两板 AB 之间流过。根据电流密度的定义，安培环路定律还可以表示为：\oint_L B\cdot dl = \mu_0 \int_S J\cdot dS 其中， S 是以 L 为边界的曲面。L 是一个环路，以 L 为边界，可以在电路中作两个曲面 S_1 和 S_2 。 S_1 与导体线相交， S_2 不与导体线相交并且在电容器两板之间。当电路接通时，导体中会产生电流，根据安培环路定律，通过 S_1 的电流密度为：\oint_L B\cdot dl = \mu_0 \int_{S_1} J\cdot dS = I 因为
S_2 在电容器两板之间，没有电流密度通过，所以：\oint_L B\cdot dl = \mu_0 \int_{S_2} 0\cdot dS = 0 由同一条环路，却得到了两个互相矛盾的结果，这自然意味着安培环路定律的缺陷。为了调和这一矛盾，麦克斯韦提出了位移电流假说，并得到实验验证，为经典电磁学拼上了最后一块拼图。安培-麦克斯韦环路定律：\oint_L B\cdot \mathrm{d}l = \mu_0 (\sum I_{enc}+I_d) = \mu_0(\sum I_{enc} + \varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S E\cdot dS) = \mu_0 (\sum I_{enc} + \varepsilon_0\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}) 安培-麦克斯韦环路定律是麦克斯韦方程组组后一个方程，它刻画了电流的磁效应，也即变化的电通量产生磁场和电流会产生磁场。6.4 有旋场的旋度磁场和感应电场都是有旋场，因为其中存在第二型曲线积分不为 0 的环路。在之前，用哈密顿算子定义了静电场的散度，刻画了电场线从一点发散（汇聚）出去数量，当电荷密度越大，散度也越大。这里我们再用哈密顿算子刻画有旋场旋转的“快慢”，称为旋度（curl）。下面以磁场的旋度为例。磁场也是一个矢量场，可以写成：B(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) 那么磁场的旋度就是：\nabla \times B = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) 其中，可以看称两个三维向量的叉乘，磁场的旋度依然是一个矢量函数，也即矢量函数的旋度仍然是矢量函数。为什么这个矢量函数就能刻画磁场旋转“快慢”的程度呢？不考虑位移电流的安培环路定律：\oint_L B\cdot \mathrm{d}l = \oint_L P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz = \mu_0 \int_S J \cdot dS 其中 dx,dy,dz 就是 dl 在三个坐标轴上的投影。静电场的散度是无穷小封闭曲面的通量和该封闭曲面的体积之比，那么旋度就是无穷小封闭环路和该环路围成的面积之比：\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint_L P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz}{\Delta S} = \mu_0 J\cdot \hat{n} 也即当环路收缩到一个点，考虑这个点的环路积分，这里的 \Delta S 应该理解为有向曲面，其法线为 \hat{n} ，那么：\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint_L P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz}{\Delta S} \\= (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) \cdot \hat{n}
= \nabla \times B \cdot \hat{n}= \mu_0 J\cdot \hat{n} 为什么
\mu_0 J 就能表示有旋场的旋度？为什么 \mu_0 J 在 \mathrm{d}S 的法线上的投影就能表示曲线积分？笔者愚钝，我没有找到很好的解释，不过有介绍斯托克斯公式证明的解释，证明思路是把曲线投影到三个坐标平面上，通过格林公式证明。数学分析书上是用刚体定轴转动理解一下旋度为什么要用叉乘定义。比如有如下一个平面刚体，绕定轴转动，角度为 \omega ，方向穿过平面向上。刚体上任意一点的线速度是 v 与平面平行。 OP 之间的矢径为 \hat{r} ，那么 P 点的线速度为： \omega \times \hat{r} = v 我的理解是旋度刻画了随着边界上矢径的不同，边界上点的限度也不同的，因此有旋场的旋度是一个矢量场，且不恒为 0。那么无旋场的旋度自然是处处为 0。比如静电场的旋度就是处处为 0： \nabla \times E = 0 。那么用旋度可以重新表示法拉第电磁感应定律和安培-麦克斯韦定律：\nabla \times E_k = -\frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla \times B = \mu_0(J + \varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}) 斯托克斯公式：在数学上，矢量函数沿封闭曲线的第二型曲线积分可以转化为旋度的二重积分：\oint_{L} P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y+R \mathrm{d} z\\=\iint_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\= \iint_S (\nabla \times (P,Q,R))\cdot \mathrm{d}S 这一定理称为斯托克斯公式。斯托克斯公式提供了计算矢量函数沿封闭曲面的第二型曲面积分的方式。7 电磁波在定义梯度，散度和旋度的时候，用到了哈密顿算子 \nabla = (\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}) 。在数学上，哈密顿算子还有如下定理：若 u,\ v 是数量函数，则：\nabla(u+v)=\nabla u + \nabla v\\ \nabla(uv)= v\nabla u + u\nabla v 若 u 是数量函数， \varphi,\ \sigma 是向量函数，则：\nabla \cdot (\varphi+\sigma) = \nabla \cdot \varphi + \nabla \cdot \sigma\\ \nabla \cdot (\varphi u) = \varphi \nabla \cdot u + u \cdot \nabla \varphi 若 u 是数量函数，则：\nabla \cdot \nabla \varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} 算符 \nabla 的内积 \nabla \cdot \nabla 常记作 \Delta ，则称为拉普拉斯算子，于是有： \nabla \cdot \nabla = \Delta \varphi若 u,v 是向量函数，则：\nabla \times (u+v) = \nabla \times u +\nabla \times v\\ \nabla (u\cdot v) = u\times (\nabla \times v) + v\times (\nabla \times u) + (u\cdot \nabla )v + (v\cdot \nabla)u\\ \nabla \cdot (u\times v) = v\cdot \nabla \times u - u\cdot \nabla v\\ \nabla \times (u\times v) = (v\cdot \nabla)u- (u\cdot \nabla)v + (\nabla \cdot v)u - (\nabla\cdot u)v 若 u 是数量函数， \varphi 是向量函数，则： \nabla\times (\varphi u) = u(\nabla \times \varphi) + \nabla u \times \varphi\\ \nabla \cdot (\nabla \times \varphi) = 0\\ \nabla\times \nabla u = 0\\ \nabla \times (\nabla\times \varphi) =\nabla(\nabla\cdot \varphi)-\nabla^2\varphi = \nabla(\nabla\cdot \varphi)-\Delta \varphi 在真空中， \rho=0,\ J=0 时的麦克斯韦方程组的微分形式：\begin{align} \left\{\begin{matrix} \nabla \cdot E
&= 0 \\ \nabla \cdot B
&= 0 \\ \nabla \times E
&= -\frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times B
&= \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \end{matrix}\right. \end{align} 从中可以推导出电磁波的波动方程。对法拉第定律等式两边求一次旋度：\nabla \times (\nabla \times E) = \nabla(\nabla\cdot E) - \Delta E
=\nabla\times -\frac{\partial B}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times B) 将方程一和方程四带入上式：\Delta E
= \mu_0\varepsilon_0( \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}) 其中 \Delta E = \frac{\partial^2E}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2E}{\partial y^2} + \frac{\partial^2E}{\partial z^2} ，所以：\frac{\partial^2E}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2E}{\partial y^2} + \frac{\partial^2E}{\partial z^2} =
\mu_0\varepsilon_0( \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}) 与经典波动方程作对比：\frac{\partial^2f}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2} =
\frac{1}{u}( \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}) 形式完全一样，同样的，对安培-麦克斯韦定律等式两边求一次旋度，可得磁场的波动方程：\frac{\partial^2B}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2B}{\partial y^2} + \frac{\partial^2B}{\partial z^2} =
\mu_0\varepsilon_0( \frac{\partial^2 B}{\partial t^2}) 也即当电场（或磁场）发生发生周期性变化时，会在其垂直方向上激发一个周期变化的磁场（或电场），这样不断相互激发，就将振动状态以波动的方式传递了出去，这个波就是电磁波。由电磁波的波动方程，我们可以计算出电磁波的波速：u = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 2.99792458\ m/s 恰好等于实验测得的真空中光波的传播速度，因此麦克斯韦大胆预测光是一种电磁波，并最终得到实验验证。至此经典电磁学理论大厦被建立起来，同时与宣告着经典物理的结束。在即将到来的二十世纪，相对论和量子力学将称为现代物理学的基石。}
\oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S =
\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{enc} \\ \oint_S B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = 0 \\ \oint_L E_k \cdot dl
= -\frac{d}{dt}\int_S B\cdot dS \\ \oint_L B\cdot \mathrm{d}l = \mu_0(\sum I_{enc} + \varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S E\cdot dS)
\end{array} \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} \begin{array}{l} \nabla \cdot E
= \rho/\varepsilon_0 \\ \nabla \cdot B
= 0 \\ \nabla \times E_k
= -\frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times B = \mu_0(J + \varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}) \end{array} \end{matrix}\right. 1 电荷电荷（electric charge）类似于物质的量，属于抽象的物理概念，用以描述带电物体的电性质。自然界中存在两种电荷 —— 正电荷与负电荷。电量：类似于质量，指带电体所带电荷的多少叫电量，它是一个标量。用 Q 或 q 表示，单位库伦，记作 C 点电荷：类似于质点，描述那些可以忽略形状和大小的带电体。电荷的量子性：自然界中，电荷总是以一个基本单元的整数倍出现。电荷的这个特性叫做电荷的量子性。电荷的基本单元就是一个电子所带电量的绝对值，用 e 表示。1913 年，密里根设计了著名的油滴实验，测得：e=1.602\times 10^{-19} C 电荷守恒：电荷守恒定律是物理学中的基本定律。如果一个系统没有净电荷出入，那该系统的正、负电荷的电量的代数和将保持不变。2 静电场场：物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场。比如温度在某一空间内的分布称为温度场；密度在某一物体内的分布称为密度场；引力在空间的分布就是引力场。场是一种抽象的物理概念，用程序语言描述，就是一个函数，输入一个坐标，返回一个物理量。值得注意的是，场的性质是它自己的属性，和坐标系的引进无关，引入坐标的目的是方便描述与计算。物理上有两种场：定常场和不定常场。顾名思义，定常场就是物理量只随空间位置变化，也即定常场是一个随坐标变换的函数 f(x,y,z) ；不定常场就是物理量不仅随着空间位置变化，还随着时间变化，也即不定常场是一个即随坐标变换，又随时间变换的函数 f(x,y,z,t) 。在实际中，一般的场都是不定常的场，但为了研究方便，可以把在一段时间内物理量变化很小的场近似地看作定常场。如果物理量是标量，称为数量场；如果物理量是矢量，称为矢量场。常见的数量场有：温度场，密度场；常见的向量场有：电场，磁场，引力场，速度场。数量场就等于给定一个数量函数 u(x,y,z)
；向量场就等于给定一个向量函数 A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) ，其中 P,Q,R 为数量函数且是 A(x,y,z) 在三个坐标轴上的投影。静电场就是由静止电荷激发的矢量场。2.1 库伦定律库伦定律是电磁学第一个定量描述电现象的定律，它是静电场的基础。库伦定律受万有引力定律的启发，是物理学史上第二个平方反比的定律。库伦定律：真空中两个点电荷之间的相互作用力与它们之间的电量成正比，与它们两之间的距离的平方成反比：F = k\frac{q_1q_2}{r^2} \hat{r} 其中， k=8.9880\times 10^9 N\cdot m^2/C^2 。在有些情况下，引入真空介电常数 \varepsilon_0 使得：k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} 那么 \varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}C^2/N\cdot m^2 q_1 对 q_2 的作用力方向与 q_2 对 q_1 的作用力方向相反，大小相等，符合牛顿第三定律。库伦力的叠加原理：两个点电荷之间的相互作用力并不因为第三个点电荷的存在而有所改变，因此，两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力等于各个电荷单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。这个结论称为库伦力的叠加原理。2.2 电场线、电场通量与高斯电场定律根据上面点电荷系对检验电荷的合力 F ，我们定义静电场的电场强度：E = \frac{F}{q} E
称为电场强度，是一个关于位置的矢量函数，单位为 N/C 。电场强度反映了点电荷系的结构，属于该点电荷系产生的电场特有的属性。电场力除以电荷，就是电场强度，因此电场强度也服从叠加原理，称为电场的叠加原理。由静止的电荷产生的电场叫做静电场。点电荷的静电场：E = k\frac{q}{r^2}\hat{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r} 若带点体的电荷是连续分布的，也即电荷量 q 是一个关于空间坐标的连续函数。那么 \mathrm{d}q 可以当成点电荷处理，根据电场的叠加原理，带电体的静电场为：E = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm{d}q}{r^2}\hat{r} 在中学，我们学过关于电场定性的描述：用电场线可以表示电场强度电场线切线方向表示该点电场强度的方向电场线的疏密可以表示电场强度的大小静电场做功只与起点和终点相关，与路径无关选取零势点后，通过静电场做功的特性，可以得到每一点的电势电场线指向电势下降最快的方向电势相等的点可以连成一个曲面称为等势面等势面与电场线正交下面用微积分的知识，定量的描述静电场的上述性质。本节涉及的电场都是静电场，运动电场和感应电场有不同的性质，这里先不介绍了。电场线：为了形象的描述空间任意位置的电场强度大小和电场强度方向，我们引入用电场线。曲线上每一点的切线方向表示该点的场强方向；曲线的疏密表示该点的场强大小。电场线总是从正电荷发出，在负电荷汇聚。我们需要定量的描述电力线疏密与场强大小的关系，类比于密度的定义（单位体积的质量），电力线的疏密可以描述为垂直通过单位面积的电力线数量：E = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}S_{\perp}} 其中， \Phi 称为电场通量（flux），也即通过该有向曲面的电力线数量。当这一曲面非常小时，可以近似为一个有向平面。一个平面有两条法向量 \hat{n} ，而有向平面的方向是我们人为指定的一条法向量的方向用生活中的例子去理解这一定义：有一个开着的花洒，用一个小试管去接水。花洒的水流就是电力线，小试管的管口就是面元，管口与水流方向垂直。在距离花洒近的地方，水流密集，流进试管的水也就越多；在距离花洒远的地方，水流稀疏，流进试管的水也就越少。由上式，可得：\mathrm{d}\Phi = E\mathrm{d}S_{\perp} =
E
\mathrm{d}S \cos\left \langle \hat{n},E \right \rangle
= E\cdot \hat{n} \mathrm{d}S
其中， \mathrm{d}S 是任意有向面元，不一定与电场线方向垂直。电通量是一个标量，但有正负之分，其单位 Nm^2/C 。由定义可知，通量不仅与场强相关，还与电场方向与面元的夹角有关。那么任意曲面的电通量可以把该分割成许多小面元，然后根据计算垂直通过这些小面元的电力线，最后把所有小面元的通量累加起来：\Phi = \int_S \mathrm{d}\Phi = \int_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S 在数学上，此类积分称为第二类曲面积分。特别的，如果 S 是封闭曲面，那么记为：\Phi = \oint_S \mathrm{d}\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S 对于不封闭的曲面，面上各处法向量单位矢量的正向可以任意取这一侧或那一侧。对于封闭曲面，由于它使空间划分成内、外两部分，所以一般规定自内向外的方向为各处面元法向量的正方向。对于封闭曲面，当电力线从内部穿出时，下图 (b) 中 \mathrm{d}S_1 处，通量为正；当电力线从外部穿入时，下图
(b)
中 \mathrm{d}S_2 处，通量为负。整个封闭曲面的电通量为穿出与穿入的电力线的条数之差，也即净穿出封闭曲面的电力线的总条数。点电荷的电场通量：对空间中一点电荷作封闭球，球心在点电荷所在的位置，那么该球面的电场通量为：\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = \oint_S\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\mathrm{d}S=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\oint_S\mathrm{d}S=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} 所以点电荷的通量只与曲面包围的电荷有关，与封闭曲面的形状，电荷所在的位置无关。如果封闭曲面不包围点电荷，根据电力线的连续性可知，穿入曲面的电力线与穿出曲面的电力线相同，也即：\Phi = \oint_{S^{\prime}} E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = 0 点电荷系的电场通量（高斯电场定律）：根据电场叠加原理：E = E_1 + E_2 + \cdots + E_n 那么任意包围点电荷系的封闭曲面的通量为：\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = \oint_S E_1\cdot \hat{n}\mathrm{d}S + \oint_S E_2\cdot \hat{n}\mathrm{d}S+\cdots +\oint_S E_n\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{enc} 在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该封闭面所包围的电荷的电量的代数和的 1/\varepsilon_0 倍。这一定律称为高斯电场定律：\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}\mathrm{d}S =
\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{enc} 电场高斯定律是麦克斯韦方程组的第一个方程，它描述了静电场的性质。2.3 电势与静电环路定律在某一电场中，一点电荷受电场力的作用在空间中作曲线运动，那么电场对该点电荷所作的功是：W = \int_l F \cdot \mathrm{d}l = q\int_l E\cdot \mathrm{d}l 在数学上， \int_l E\cdot \mathrm{d}l
称为第二类曲线积分。下面考察点电荷电场强度的曲线积分，下面中， l 的起点距离 q 为 r_1 ，终点距离 q 为 r_2 ：\int_l E \cdot \mathrm{d}l = \int_l \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \hat{r}\cdot
\mathrm{d}l = \int_l \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3} r \mathrm{d}l\cos<\hat{r},\mathrm{d}l> \\= \int_{r_1}^{r_2} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}
\mathrm{d}r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}) 对于点电荷系的场强的第二型曲线积分：\int_l E\cdot \mathrm{d}l = \int_l E_1 \cdot \mathrm{d}l + \int_l E_2 \cdot \mathrm{d}l + \cdots +\int_l E_n \cdot \mathrm{d}l \\= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\sum q_{enc} 该式子表面，点电荷的场强的第二型曲线积分与路径无关，只与起点和终点有关。记为：U_1 - U_2 = \int^{r_2}_{r_1}E\cdot \mathrm{d}l 其中 U_1 - U_2 称为电势差，因此称静电场是一种有势场或保守场。在给定的静电场中，任意两点的电势差具有完全确定的值。其单位 N\cdot m/C,\ J/C 或伏特，记为 V 。有势场（保守场）的第二型曲线积分与路径无关，只与起点和终点有关。电势：我们可以指定电场中一点 P_0 为电势零点，那么其他任何点 P 以电势零点为参考，可得静电场中任意一点的电势：U = \int^{p}_{p_0}E\cdot \mathrm{d}l 电势是空间坐标的标量函数 U(x,y,z) ，电势也可看成一个标量场。电势叠加原理：电势同样拥有叠加原理。一个电荷系的电场中任一点的电势等于每个带电体单独存在时在该点所产生的代数和。静电场的环路定律：对于静电场中任意两点 r_1,\ r_2 ， l 为任意从 r_1 到 r_2 的曲线， l^{\prime} 为任意从 r_2 到 r_1 的曲线，根据静电场场强曲线积分的性质：\int_l E\cdot \mathrm{d}l = -\int_{l^{\prime}} E\cdot \mathrm{d}l 因为 l 和 l^{\prime} 构成一闭合环路 c ，那么从 r_1 到 r_2 再回到 r_1 的环路积分：\oint_c E\cdot
\mathrm{d}l = \int_l E\cdot
\mathrm{d}l +\int_{l^{\prime}} E\cdot
\mathrm{d}l = 0 此式表面，在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分为零，该定理称为静电场的环路定律。静电场的这一特性称为无旋性。无旋性的命名非常直观，无旋性与有势性是等价的。无旋性重点刻画在静电场对作环路运动的电荷做功为零；有势性刻画的是在电场对作沿任意曲线运动的电荷做功只与起点和终点有关，与路径无关。根据万有引力定律导出的重力场也是一个无旋场。与无旋相对的是有旋场，比如磁场就是一个有旋场。无旋场与有旋场从生活中的例子区别无旋场和有旋场，无旋场就像定向流动的水流，一艘潜艇在水流中沿任意闭合曲线运动，水流对潜艇做的功为零。有旋场就像有漩涡的水流，一艘潜艇沿水流旋转方向做曲线运动，水流对潜艇做正功；沿水流旋转反向做曲线运动，水流对潜艇做负功。无旋场的场线是起点和终点不重合的射线，有旋场的场线是起点和终点重合的有向闭环。2.4 电势的梯度在电场中选取非常接近的两点，这两点的电势差为：U_2 - U_1 = E\cdot dl 因为 U_2 = U_1 + \mathrm{d}U ，那么 \mathrm{d}U 为 U 沿 \mathrm{d}l 方向的增量，所以：\mathrm{d}U = E\cdot \mathrm{d}l= Edl\cos\left \langle E, \mathrm{d}l \right \rangle
由上式得：E\cos\left \langle E, \mathrm{d}l \right \rangle = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l} 这称为电势沿着 \mathrm{d}l 方向的变化率，也称为电势沿着 \mathrm{d}l 的方向导数。可以看到，当 \cos<E, \mathrm{d}l>=1 时，即 \mathrm{d}l 沿着 E 的方向时，变化率
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l}
有最大值，这也就解释了电场强度方向指向电势变换最快的方向，该方向称为电势 U 的梯度（gradient），此时：E = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l} = \frac{\partial U}{\partial x} \hat{x}+\frac{\partial U}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{z} 称为电势的沿梯度方向的方向导数，其中：E_x = \frac{\partial U}{\partial x}\quad E_y = \frac{\partial U}{\partial y}\quad E_z = \frac{\partial U}{\partial z} 是电势沿坐标轴方向的变化率，称为电势的偏导数，那么 (E_x, E_y, E_z) 就是电势的梯度。我们记：\nabla = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) 称为哈密顿算子，那么电势的沿梯度方向的方向导数可以记为：E =\nabla U 对一个电势求梯度可以得到电场强度，也即对一个标量函数求梯度可以得到一个矢量函数。某一点的静电场中某一点电势的梯度记为 \mathrm{grad}(U)(x_0,y_0,z_0) 等势面是电势相等的点连接而成的面，其与电场强度方向垂直。为了方便叙述，我们有一个二维平面电场 E(x,y) 其电势为 U(x,y) 。其等势面是一条等势线，为： U(x,y) 和平面 U = U_0 的交集。电势在 (x_0,y_0,U_0) 处的全微分为：\mathrm{d}U|_{x_0,y_0} = \frac{\partial U}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial U}{\partial y}\Delta y 我们知道，一元函数的微分的几何意义是某点处的切线方程，那么二元函数的全微分的几何意义是某点处的切平面方程。我们知道平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 中向量 (A,B,C) 即为平面的法线。我么对二元函数的全微分稍加整理：\frac{\partial U}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial U}{\partial y}\Delta y - dU|_{x_0,y_0} = \frac{\partial U}{\partial x}(x-x_0) + \frac{\partial U}{\partial y}(y-y_0) - (U(x,y)-U(x_0,y_0)) = 0 那么 (\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, -1) 就是二元函数在 (x_0,y_0,U_0) 处的法线。该法线在 U=U_0 平面的投影即是梯度，也就是场强方向，其自然垂直于 U(x,y) 和平面 U = U_0 的交集，也就是垂直于等势线（面）。2.5 电场强度的散度哈密顿算子的形式如下：\nabla = (\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) 它可以看成一个向量，如果其与一个标量函数相乘，可以理解成向量的数乘，得到一个向量函数。比如作用在电势上，可以得到电势的梯度，一个矢量函数 —— 电场强度：E = \nabla U 如果哈密顿算子作用在一个矢量函数上，也即与一个矢量函数点乘，可以得到一个标量函数，称为矢量函数的散度（divergence）。静电场的电场强度是一个矢量场，它可以写成：E(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) 其中 P,Q,R 是标量函数且是 E(x,y,z) 在三个坐标轴上的投影。那么电场强度的散度为：\nabla \cdot E = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 电场强度的散度有什么意义呢？根据 E(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) ，电场高斯定律可以写成：\Phi = \oint_S E\cdot \hat{n}dS =
\oint_S P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dxdz + R(x,y,z) dxdy = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{enc}其中某点法线 \hat{n} 也可表示为 (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) ，分别表示与 x,\ y,\ z 轴的夹角的余弦。那么 (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) \mathrm{d}S = (\mathrm{d}y\mathrm{d}z, \mathrm{d}z\mathrm{d}x, \mathrm{d}x\mathrm{d}y) ，等号右边每个分量表示微元面积 \mathrm{d}S 在 x = 0,\ y = 0,\ z = 0 平面的投影面积。 设封闭曲面 S 的体积是 V ，那么曲面 S 的“平均电通量”，或者说“平均电通密度”为：\frac{\oint_S P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dxdz + R(x,y,z) dxdy}{V} = \frac{\sum q_{enc}}{\varepsilon_0V} 等式右边表示包围电荷的平均密度，或者说是单位面积平均包围的电荷数。如果 V 无限小，收缩成一点，那么 V 近似成一个立方体 V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \to 0 。那么：\lim_{V\to 0}\frac{\oint_S P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dxdz + R(x,y,z) dxdy}{V}\\ = \frac{P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+Q(x,y,z)dxdy}{dxdydz}\\ = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{\rho}{\varepsilon} 其中 \rho 表示电荷密度，或者说单位体积包含的电荷数，或者说电荷数关于体积的变化率。那么某点电场散度就等于该点电荷密度的 1/\varepsilon_0 倍，这就是高斯电场定律的微分形式：\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0} 这里的推导并不严谨，只是帮助理解，还是推荐阅读数学分析上的相关定理的证明从上面的推导中可以看到，电场强度的散度就是无穷小封闭曲面的通量和该封闭曲面的体积之比。对一个矢量函数求散度，会得到一个标量函数。某一点的散度记为 \mathrm{div}(E)(x_0,y_0,z_0)。 如果 \mathrm{div}(E)(x_0,y_0,z_0) > 0 那么有电场线从这一点流出，称这一点为源，那么该点一定有正电荷。如果 \mathrm{div}(E)(x_0,y_0,z_0) < 0 那么有电场线流入这一点，那么该点一定有负电荷，称这一点为汇。如果 \mathrm{div}(E)(x_0,y_0,z_0) = 0 ，那么该点没有电荷。有源场与无源场：在一个矢量场中，有散度不为 0 的点，那么称这个场为有源场；反之如果该矢量场中的散度处处为 0，那么称这个矢量场为无源场。静电场是一个有源场，磁场是一个无源场。从生活中的例子理解散度，如果把一根气球扔到一个散度不为 0 的点，那么这个气球可能被撑大，也可能被挤扁。如果气球被撑大，说明这一点是源；如果气球被挤扁，说明这一点是汇。高斯公式：在数学上，矢量函数沿封闭曲面的第二型曲面积分可以转化为散度的三重积分：\oint_SP(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dxdz + R(x,y,z) dxdy \\=\iiint_V \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z =
\iiint_V \nabla \cdot f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z 这一定理称为高斯公式。高斯公式提供了计算矢量函数沿封闭曲面的第二型曲面积分的方式。3 电流电流：在中学，重点介绍了电流以及电路的相关知识。在中学，对电流的定性的描述是：电荷的定向运动称为电流。电流准确的定义是：单位时间通过导体某一截面的电量，称为通过该界面的电流，用 I 表示，单位安培，记为 A ：I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} 电流是一个标量，通常说电流方向是正电荷运动的方向。在导体中，这些电荷称为载流子。金属导体中载流子是电子，所以电流方向与载流子运动方向相反。在电解液中，在载流子是正、负离子电流密度：刻画了电流在导体中各处分布的情况，在导体中某处作一垂直于载流子运动放方向的面元 \mathrm{d}S_{\perp} ，如果通过 \mathrm{d}S_{\perp} 的电流为 \mathrm{d}I ，则该处的电流密度大小为：J = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_{\perp}} 电流密度的单位是： A/m^2 。电流密度是一个矢量，导体中某点的电流密度的方向沿该点正电荷定向运动速度的方向。由电流密度的定义，我们可以得到通过任意界面 S 的电流：I = \int_S J\cdot \mathrm{d}S 电流密度与载流子运动速度的关系：电流是载流子定向运动而形成的，所以电流密度与载流子定向运动密切相关。在导体中作一小圆柱体，其轴线沿着载流子定向运动速度方向
u ，底面积为 \mathrm{d}S_{\perp} ，长等于载流子在
\mathrm{d}t
时间内运动的距离 u\mathrm{d}t 。设导体中载流子密度为 n ，电量为 e ， \mathrm{d}t 时间内通过 \mathrm{d}S_{\perp} 的电量为：\mathrm{d}q = enudS_{\perp}\mathrm{d}t 通过 \mathrm{d}S_{\perp} 的电流为：\mathrm{d}I = enu\mathrm{d}S_{\perp} 由此可得电流密度的另一形式：J = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_{\perp}} = enu = \rho u \rho 称为载流子电荷密度。
4 稳恒磁场稳恒磁场类似于静电场，我们可以定义磁场线与磁场通量来刻画稳恒磁场的磁感应强度。磁感应强度与磁感线：磁感应强度刻画了磁场对放入其中的磁铁、电流或运动电荷力的作用，是磁场自身的属性，记为 B ，单位特斯拉，记为 T 。我们同样用磁感线形象的刻画磁感应强度在空间的分布。磁感线在某点处的切线方向表示该点处磁感应强度的方向，磁感线在某点处的疏密程度表示该点处磁感应强度的大小。在磁铁外部，磁感线总是从 N 极指向
S
极；在磁铁内部，磁感线总是从 S 级指向 N 极。磁铁的南北极总是成对出现，因此磁感线都是封闭的曲线。洛伦兹力：运动电荷在磁场中会受一个磁场力，称为洛伦兹力：F_m = qv\times B 也即洛伦兹力垂直于电荷运动方向和磁场方向所在的平面。当运动方向与磁感应强度方向相同时，不受洛伦兹力。根据洛伦兹力公式，可以设计实验确定空间中任意一点的磁感应强度，其大小为：B = \frac{F_m}{qv\sin\left \langle B, v \right \rangle} 当 \sin\left \langle B, v \right \rangle = 0 时，磁感应强度方向与电荷移动方向平行，没有洛伦兹力。当 \sin\left \langle B, v \right \rangle = 1 时，磁感应强度方向与电荷移动方向垂直，洛伦兹力最大。安培力：通电导线在磁场中会受到一个磁场力，称为安培力。安培力是洛伦兹力的宏观表现。取导体中一电流元 I\mathrm{d}l ，导体中电子以速度 v 作定向运动，其方向与电流方向相反，电流元中电子的数量为 \mathrm{d}N ，那么电流所受的安培力是其中所有电子的洛伦兹力的合力：\mathrm{d}F = \mathrm{d}N (-ev\times B) 根据电流的定义：I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\frac{e\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} 那么：I\mathrm{d}l = \frac{e\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}l = e\mathrm{d}N\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}=(\mathrm{d}N)ev 因为电流方向与电子运动方向相反，所以 I\mathrm{d}l = -(\mathrm{d}N)ev ，则安培力为：\mathrm{d}F = I\mathrm{d}l \times B 那么有限长载流导线的安培力为：F = \int_L\mathrm{d}F =\int_L I\mathrm{d}l \times B 磁通量与高斯磁场定律：同样，在磁场中作一曲面，通过该曲面的磁感线的数量称为该曲面的磁通量，记为 \Phi_m ，单位韦伯，记为 Wb 。那么磁感应强度大小可以定义为垂直通过单位面积的磁感线数量：B = \frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}S_{\perp}} 那么通过某面元的磁通量为：\mathrm{d}\Phi_m = B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S =
B|\mathrm{d}S\cos\left \langle B, \hat{n} \right \rangle 通过任意曲面 S 的磁通量为：\Phi_m = \int_S \mathrm{d}\Phi_m = \int_S B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S =\int_S
B|\mathrm{d}S\cos\left \langle B, \hat{n} \right \rangle 若曲面是一个封闭曲面，那么磁通量为：\Phi_m = \oint_S B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S 因为磁感线都是封闭曲线，所以穿入封闭曲面的磁感线和穿出封闭曲面的磁感线数量相同，净穿出为 0，所以磁场中封闭曲面的磁通量为 0，也即：\oint_S B\cdot \hat{n}\mathrm{d}S = 0 该定律称为磁场高斯定律，是麦克斯韦方程组的第二个方程，它刻画了磁场的属性。磁场同样是一个矢量场，那么磁感应强度的散度也恒为 0，也即：\nabla \cdot B = \lim_{V\to 0}\frac{\oint _SB \cdot \hat{n}dS}{V} = 0 所以磁场是无源场。5 电磁感应1831 年，英国物理学家法拉第通过大量实现，发现了变化的磁场可以产生电流，电流的产生是因为通过导体电流环路的磁通量发生变化，并产生感应电动势，由感应电动势驱动导体内电荷定向运动。电动势是非静电力移动单位电荷所作的功，以区别电势，比如电池的电动势就是其内部的化学反应产生能量，将负极的正电荷源源不断地搬到正极，从而形成稳定的电流。电动势的单位同样是伏特，用以纪念第一个发明电堆的人。电堆的发明使人们的获得稳定的电流，从而促进了电磁学的发展。法拉第电磁感应定律：通过导体回路的磁通量发生变化，回路中会产生感应电动势。感应电动势的大小和磁通量变化率成正比，其方向与磁场方向和它的变化有关，用 \mathscr{E} 表示感应电动势，那么有：\mathscr{E} = -\frac{d\Phi_m}{dt} 根据楞次定律可以确定感应电流的方向：感应电流的方向总是使得它自身所激发的磁场产生的磁通量阻碍引起感应电流的磁通量的变化。感应电动势具体的有以下两种：动生电动势：磁场不变，导体回路的面积发生改变感生电动势：导体回路的面积不变，磁场发生改变5.1 动生电动势如果导体回路所围的面积增大，也会使磁通量发生变化，这时也会产生感应电动势，称为动生电动势。比如如下经典的模型：当导体棒作切割磁感线运动时，回路的磁通量发生变化，生成动生电动势。因为导体棒作速度为 v 的运动时，棒内的自由电子的速度也是 v ，那么会受洛伦兹力的作用：F = -e(v\times B) 洛伦兹力会驱动金属棒内的电子定向运动，那么导体棒两端的电动势为：\mathscr{E} = \int^b_a (v\times B)\cdot dl = Blv = \frac{Blv dt}{dt}=\frac{BdS}{dt} = -\frac{d\Phi_m}{dt} 5.2 感生电动势感生电场：如果导体回路的面积不变，也即导体不会做切割磁感线的运动，导体内的自由电子不会受定向的洛伦兹力的作用。所以感生电动势产生电流的原因磁通量的变化激发了一个电场，称为感生电场，由感生电场驱动自由电子定向运动形成电流。感生电场不同于静电场，记为 E_k ，感生电场移动单位电荷所作的功就是感生电动势。麦克斯韦在研究大量实验后，对法拉第定律做出了重要补充，从而得到电磁感应现象的一般叙述：变化的磁场将在其周围空间产生具有闭合电场线的感生电场：\oint_L E_k \cdot dl = -\frac{d\Phi_m}{dt} = -\frac{d}{dt}\int_S B\cdot dS 该式子就是麦克斯韦方程组的第三个方程，它刻画了电磁感应现象。这个式子中我们还可以看到感生电场的环路积分不为 0，所以感生电场是一个有旋场静电场是一个无旋场，其沿任意环路，积分总为 06 电流的磁效应电流的磁效应发现早于电磁感应，物理学家奥斯特发现了电流的磁效应之后，引起了极大的关注。通电导线激发的磁场方向可以用安培右手定则确定：安培定则一（通电直导线激发的磁场）：右手拇指指向电流方向，四指弯曲的方向就是磁场方向安培定则二（通电螺线管的磁场）：四指指向电流方向，拇指指向的方向就是磁场的方向物理学家肯定不满足定性的描述，在物理学家毕奥、萨伐尔，数学家拉普拉斯的努力下，总结出了电流产生磁场的基本定律 —— 毕奥-萨伐尔定律。6.1 毕奥-萨伐尔定律毕奥-萨伐尔定律：闭合导线中电流是连续的，按照微积分的思想，取导线中一小段电流元 I\mathrm{d}l ，电流元到空间中任意一点 P 之间的位矢为 \hat{r} ，那么电流元在 P 点产生的磁场为：\mathrm{d}B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\times \hat{r}}{r^3} 其中 \mu_0 为真空磁导率，其大小为： \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c} = 4\pi\times 10^{-7} N/A^2 可以看到该定律也是一个平方反比的定律，根据磁场叠加原理，那么整条导线激发的磁场为：B=\int_l \mathrm{d}B = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_l\frac{I\mathrm{d}l\times \hat{r}}{r^3} 电流是由运动电荷所形成的，电流元 I\mathrm{d}l 的截面面积为 S ，此电流元中单位体积内有 n 个定向运动的正电荷，每个电荷量均为 q ，且定向运动速度均为 v ，可知此电流元的电流密度为 J=nqv ，那么：Idl = JSdl = nqvSdl 那么可以导出运动电荷所激发的磁场：dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{nqvSdl \times \hat{r}}{r^3} 其中 Sdl = dV 为电流元的体积， ndV = dN 为电流元中做定向运动的电荷数，那么一个以速度 v 运动的电荷，在距离它为 r 处产生的磁感应强度为：B = \frac{dB}{dN} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{qv\times \hat{r}}{r^3} 6.2 安培环路定律安培在毕奥-萨伐尔定律的基础，研究磁感应强度沿任一闭合环路 L 的第二型曲线积分，提出了著名的安培环路定律。其形式类似于电场的高斯定律，电场的高斯定律说明了静电场的有源性，而安培环路定律说明磁场的有旋性。安培环路定律：磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭合环路 L 的线积分，等于穿过环路所有电流 I 的代数和的 \mu_0 倍，即：\oint_L B\cdot \mathrm{d}l = \mu_0\sum I_{enc} 左图为环路包围电流，右图为环路不包围电流安培环路定律不仅说明了磁感应强度环路积分的特性，还说明了电流周围如何激发磁场，也即电流的磁效应。6.3 安培-法拉第定律安培环路定律有一个问题，如果有如下电路电路中有一个电容，不管是在充电还是放电的过程中，电流都不能再电容器两板 AB 之间流过。根据电流密度的定义，安培环路定律还可以表示为：\oint_L B\cdot dl = \mu_0 \int_S J\cdot dS 其中， S 是以 L 为边界的曲面。L 是一个环路，以 L 为边界，可以在电路中作两个曲面 S_1 和 S_2 。 S_1 与导体线相交， S_2 不与导体线相交并且在电容器两板之间。当电路接通时，导体中会产生电流，根据安培环路定律，通过 S_1 的电流密度为：\oint_L B\cdot dl = \mu_0 \int_{S_1} J\cdot dS = I 因为
S_2 在电容器两板之间，没有电流密度通过，所以：\oint_L B\cdot dl = \mu_0 \int_{S_2} 0\cdot dS = 0 由同一条环路，却得到了两个互相矛盾的结果，这自然意味着安培环路定律的缺陷。为了调和这一矛盾，麦克斯韦提出了位移电流假说，并得到实验验证，为经典电磁学拼上了最后一块拼图。安培-麦克斯韦环路定律：\oint_L B\cdot \mathrm{d}l = \mu_0 (\sum I_{enc}+I_d) = \mu_0(\sum I_{enc} + \varepsilon_0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S E\cdot dS) = \mu_0 (\sum I_{enc} + \varepsilon_0\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}) 安培-麦克斯韦环路定律是麦克斯韦方程组组后一个方程，它刻画了电流的磁效应，也即变化的电通量产生磁场和电流会产生磁场。6.4 有旋场的旋度磁场和感应电场都是有旋场，因为其中存在第二型曲线积分不为 0 的环路。在之前，用哈密顿算子定义了静电场的散度，刻画了电场线从一点发散（汇聚）出去数量，当电荷密度越大，散度也越大。这里我们再用哈密顿算子刻画有旋场旋转的“快慢”，称为旋度（curl）。下面以磁场的旋度为例。磁场也是一个矢量场，可以写成：B(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) 那么磁场的旋度就是：\nabla \times B = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) 其中，可以看称两个三维向量的叉乘，磁场的旋度依然是一个矢量函数，也即矢量函数的旋度仍然是矢量函数。为什么这个矢量函数就能刻画磁场旋转“快慢”的程度呢？不考虑位移电流的安培环路定律：\oint_L B\cdot \mathrm{d}l = \oint_L P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz = \mu_0 \int_S J \cdot dS 其中 dx,dy,dz 就是 dl 在三个坐标轴上的投影。静电场的散度是无穷小封闭曲面的通量和该封闭曲面的体积之比，那么旋度就是无穷小封闭环路和该环路围成的面积之比：\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint_L P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz}{\Delta S} = \mu_0 J\cdot \hat{n} 也即当环路收缩到一个点，考虑这个点的环路积分，这里的 \Delta S 应该理解为有向曲面，其法线为 \hat{n} ，那么：\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint_L P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz}{\Delta S} \\= (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) \cdot \hat{n}
= \nabla \times B \cdot \hat{n}= \mu_0 J\cdot \hat{n} 为什么
\mu_0 J 就能表示有旋场的旋度？为什么 \mu_0 J 在 \mathrm{d}S 的法线上的投影就能表示曲线积分？笔者愚钝，我没有找到很好的解释，不过有介绍斯托克斯公式证明的解释，证明思路是把曲线投影到三个坐标平面上，通过格林公式证明。数学分析书上是用刚体定轴转动理解一下旋度为什么要用叉乘定义。比如有如下一个平面刚体，绕定轴转动，角度为 \omega ，方向穿过平面向上。刚体上任意一点的线速度是 v 与平面平行。 OP 之间的矢径为 \hat{r} ，那么 P 点的线速度为： \omega \times \hat{r} = v 我的理解是旋度刻画了随着边界上矢径的不同，边界上点的限度也不同的，因此有旋场的旋度是一个矢量场，且不恒为 0。那么无旋场的旋度自然是处处为 0。比如静电场的旋度就是处处为 0： \nabla \times E = 0 。那么用旋度可以重新表示法拉第电磁感应定律和安培-麦克斯韦定律：\nabla \times E_k = -\frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla \times B = \mu_0(J + \varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}) 斯托克斯公式：在数学上，矢量函数沿封闭曲线的第二型曲线积分可以转化为旋度的二重积分：\oint_{L} P \mathrm{d} x+Q \mathrm{d} y+R \mathrm{d} z\\=\iint_{S}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\= \iint_S (\nabla \times (P,Q,R))\cdot \mathrm{d}S 这一定理称为斯托克斯公式。斯托克斯公式提供了计算矢量函数沿封闭曲面的第二型曲面积分的方式。7 电磁波在定义梯度，散度和旋度的时候，用到了哈密顿算子 \nabla = (\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}) 。在数学上，哈密顿算子还有如下定理：若 u,\ v 是数量函数，则：\nabla(u+v)=\nabla u + \nabla v\\ \nabla(uv)= v\nabla u + u\nabla v 若 u 是数量函数， \varphi,\ \sigma 是向量函数，则：\nabla \cdot (\varphi+\sigma) = \nabla \cdot \varphi + \nabla \cdot \sigma\\ \nabla \cdot (\varphi u) = \varphi \nabla \cdot u + u \cdot \nabla \varphi 若 u 是数量函数，则：\nabla \cdot \nabla \varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} 算符 \nabla 的内积 \nabla \cdot \nabla 常记作 \Delta ，则称为拉普拉斯算子，于是有： \nabla \cdot \nabla = \Delta \varphi若 u,v 是向量函数，则：\nabla \times (u+v) = \nabla \times u +\nabla \times v\\ \nabla (u\cdot v) = u\times (\nabla \times v) + v\times (\nabla \times u) + (u\cdot \nabla )v + (v\cdot \nabla)u\\ \nabla \cdot (u\times v) = v\cdot \nabla \times u - u\cdot \nabla v\\ \nabla \times (u\times v) = (v\cdot \nabla)u- (u\cdot \nabla)v + (\nabla \cdot v)u - (\nabla\cdot u)v 若 u 是数量函数， \varphi 是向量函数，则： \nabla\times (\varphi u) = u(\nabla \times \varphi) + \nabla u \times \varphi\\ \nabla \cdot (\nabla \times \varphi) = 0\\ \nabla\times \nabla u = 0\\ \nabla \times (\nabla\times \varphi) =\nabla(\nabla\cdot \varphi)-\nabla^2\varphi = \nabla(\nabla\cdot \varphi)-\Delta \varphi 在真空中， \rho=0,\ J=0 时的麦克斯韦方程组的微分形式：\begin{align} \left\{\begin{matrix} \nabla \cdot E
&= 0 \\ \nabla \cdot B
&= 0 \\ \nabla \times E
&= -\frac{\partial B}{\partial t} \\ \nabla \times B
&= \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \end{matrix}\right. \end{align} 从中可以推导出电磁波的波动方程。对法拉第定律等式两边求一次旋度：\nabla \times (\nabla \times E) = \nabla(\nabla\cdot E) - \Delta E
=\nabla\times -\frac{\partial B}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times B) 将方程一和方程四带入上式：\Delta E
= \mu_0\varepsilon_0( \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}) 其中 \Delta E = \frac{\partial^2E}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2E}{\partial y^2} + \frac{\partial^2E}{\partial z^2} ，所以：\frac{\partial^2E}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2E}{\partial y^2} + \frac{\partial^2E}{\partial z^2} =
\mu_0\varepsilon_0( \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}) 与经典波动方程作对比：\frac{\partial^2f}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f}{\partial z^2} =
\frac{1}{u}( \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}) 形式完全一样，同样的，对安培-麦克斯韦定律等式两边求一次旋度，可得磁场的波动方程：\frac{\partial^2B}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2B}{\partial y^2} + \frac{\partial^2B}{\partial z^2} =
\mu_0\varepsilon_0( \frac{\partial^2 B}{\partial t^2}) 也即当电场（或磁场）发生发生周期性变化时，会在其垂直方向上激发一个周期变化的磁场（或电场），这样不断相互激发，就将振动状态以波动的方式传递了出去，这个波就是电磁波。由电磁波的波动方程，我们可以计算出电磁波的波速：u = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 2.99792458\ m/s 恰好等于实验测得的真空中光波的传播速度，因此麦克斯韦大胆预测光是一种电磁波，并最终得到实验验证。至此经典电磁学理论大厦被建立起来，同时与宣告着经典物理的结束。在即将到来的二十世纪，相对论和量子力学将称为现代物理学的基石。}
