谢邀！一、若积分区域D关于x轴对称，记x轴以上的区域为D_{1}.①若此时被积函数f(x, y)是关于y的奇函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若被积函数f(x, y)是关于y的偶函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2 \iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.二、若积分区域D关于y轴对称，记y轴右侧区域为D_{1}.①若此时被积函数f(x, y)是关于x的奇函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若被积函数f(x, y)是关于x的偶函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2 \iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.三、若积分区域D关于x轴和y轴都对称，记D_{1}=\{(x, y) \in D \mid x \geq 0, y \geq 0\}.①若f(-x, y)=-f(x, y)或f(x,-y)=-f(x, y)，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若f(-x, y)=f(x,-y)=f(x, y)，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=4 \iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.四、若积分区域D关于原点对称，记D_{1}=\{(x, y) \in D \mid x \geq 0\}.①若f(-x,-y)=-f(x, y)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若f(-x,-y)=f(x, y)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2 \iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.五、（轮换对称性）若积分区域D关于y=x对称，则\begin{aligned} & \iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma \\ =& \iint\limits_{D} f(y, x) d \sigma \\ =& \frac{1}{2} \iint\limits_{D}[f(x, y)+f(y, x)] d \sigma . \end{aligned}记D_{1}=\{(x, y) \in D \mid y \geq x\}①若f(x, y)=-f(y, x)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若f(x, y)=f(y, x)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2 \iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.六、例题精析}