推荐Springer的一本Inside Interesting Integrals, Paul J. Nahin写的，简称III（bushi）书里列举了不少特殊的积分、有趣的积分和实用的积分方法。一章涉及一个积分方法，例如留数定理、级数计算定积分等，当然也少不了大名鼎鼎的"Feymann's trick"(对积分号内参数求导的办法)，另外还浅浅的涉及了一些Zeta函数和Gamma函数、Beta函数的东西。这本书需要的数学很少，可能高中数学就够了（？）反正我高中的时候就用Kindle看这本“闲书”消遣。不过很可惜我长大后没成为一个积佬（逃）随便摘几个书中的积分吧：\[\int_0^\infty\frac{\ln x}{b^2+x^2}\,\mathrm dx=\frac{\pi\ln b}{2b}\] \int_{\sqrt{2}}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{{x}+{x}^{\sqrt{2}}}=(1+\sqrt{2}) \ln \left(1+2^{\frac{1}{2}(1-\sqrt{2})}\right) \int_0^\infty\frac{\mathrm dx}{x^4+1}=\int_0^\infty\frac{x^2\,\mathrm dx}{x^4+1}=\frac{\pi\sqrt{2}}4 \int_0^\pi\frac{\ln(1+b\cos x)}{\cos x}\,\mathrm dx=\pi\arcsin b \int_0^{\pi}\ln(1-2\alpha\cos x+\alpha^2)\,\mathrm dx= \begin{cases} 0&,\alpha^2<1\\ \pi\ln(\alpha^2)&,\alpha^2\geqslant 1
\end{cases} \int_0^{\frac\pi 2}\frac{\mathrm dx}{\sqrt{\sin x\cos x}}=\frac{1}{2\sqrt\pi}\Gamma^2\left(\frac 14\right) \int_0^\infty\frac{\sin bx}{x^p}\,\mathrm dx=\frac{b^{p-1}\pi}{2\Gamma(p)\sin\frac{p\pi}{2}} \int_0^\infty\frac{\mathrm e^{-rx}\cos px-\mathrm e^{-sx}\cos qx}{x}\,\mathrm dx=\frac 12\ln\frac{q^2+s^2}{p^2+r^2} \int_0^1\ln(1+x)\ln(1-x)\,\mathrm dx=(\ln2)^2-2\ln 2+2-\frac{\pi^2}6 \int_0^\infty\mathrm e^{-x}\ln x\,\mathrm dx=-\gamma \int_0^{\frac\pi 2}\arccos\left(\frac{\cos x}{1+2\cos x}\right)\,\mathrm dx=\frac{5\pi^2}{24} btw, 上面这个积分叫Coxeter积分，书中用了整整七页算这一个积分，是全书最长的计算了。。\int_0^\pi\int_0^\pi\int_0^\pi\frac{\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw}{1-\cos u\cos v \cos w}=\frac 14\Gamma^4\left(\frac 14\right) \int_0^{\frac\pi 2}x\ln\sin x\,\mathrm dx=\frac 7{16}\zeta(3)-\frac{\pi^2}8\ln 2 \int_0^\infty\frac{\sin^{2n-1}x}{x}\,\mathrm dx=\int_0^\infty\frac{\sin^{2n}x}{x^2}\,\mathrm dx=\frac{\pi}{2^{2n-1}}\binom{2n-1}{n-1} \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin ax\sin bx}{x^2}\,\mathrm dx=\pi\min\{a,b\} \zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\sin\frac{\pi s}2\Gamma(1-s)\zeta(1-s) 很多是有点fancy但是trivial的结论，也不乏几个不那么trivial的结论，但我觉得还是把这些积分算出来的过程最有趣，所以我把这本书称为闲书（这本书真的从积分的基本定义一路讲到围道积分，高中生读下来也能感觉十分顺畅。这书确实是做到了标题里的三个I——Inside, Interesting, Integral. 顺带一题，这本书是有习题和习题答案的，意味着你真的能学到东西（）放一下Inside Interesting Integrals的目录吧查了一下发现这是Springer出版的Undergraduate Lecture Notes in Physics 系列的其中一本，所以这还是本物理闲书（逃}