“地球是人类的摇篮，但是人不可能永远生活在摇篮里。首先他们将小心翼翼地穿出大气层，然后去征服整个太阳系。”　　　　　　　　—— 齐奥尔科夫斯基上一篇：【篇十】 万有引力与天体运动：为天空立法上回说到：仰望星空、探索宇宙是人类与生俱来的渴望。灿烂的星空激发了人类最原初的好奇心与想象力，鼓舞着人类投身于探索大自然物质运动规律的伟大事业之中。亚里士多德、托勒密等在自然直觉的基础上完善的地心体系，是第一个关于行星运动的完善理论；哥白尼、布鲁诺、伽利略等高举日心说的旗帜反叛陈腐的宗教禁锢，成为了科学革命的先驱，震撼了世人，使人类开始重新思考自己在自然界的地位；开普勒在第谷常年的观测基础上发现了行星运动的规律，而牛顿则更进一步揭示了万有引力的存在，并宣告这种引力普遍存在于宇宙中的任何事物之间，自然界的物质性和自然规律的统一性就此得到了鲜明的彰显。在这样的基础上，我们可以计算行星轨道、编制历法、解密潮汐、追溯星系的演化、遥望宇宙的边际…… 大刘（刘慈欣）曾在其作品《朝闻道》中借宇宙高级文明“排险者”之口阐释道：“……这很难理解吗？当生命意识到宇宙奥秘的存在时，距它最终解开这个奥秘只有一步之遥了。……如果说那个原始人对字宙的几分钟凝视是看到了一颗宝石，其后你们所谓的整个人类文明，不过是弯腰去拾它罢了。”——在不远的未来，人类已经有可能登上火星或其他行星，可能在月球上建立观测基地，探索137亿光年之外的星系，查考宇宙创生的历史与未来的命运，寻找地球之外是否存在着生命乃至文明。但不要忘记了，推动人类理性智慧发展、造就科学技术繁荣的最初动力源，或许就是最初仰望星空时那一瞬间的“惊奇”。我们已经知道，支配天体运动的绝对王者——万有引力，是一种有心力，而且还是呈平方反比形式的有心力（即“力具有1/r^2的形式”，或者也可以说成是“势能具有1/r的形式”）。正如我们前面所说的，这种形式的相互作用在物理学中极为常见，引力和电场中的库仑力都是平方反比有心力，这使得有心力场作用下的运动问题几乎伴随着物理学的诞生与成长，也使研究有心力场具备非常普遍、基础性的意义。接下来，我们要继续研究有心力场（尤其是平方反比有心力场）的普遍规律，以及当人类开始使用这些规律的时候，能够创造出怎样的奇迹。【一】 对行星运动问题的深入探讨◆ 质点系的运动定理 · 质心在上一篇中，我们一直假设太阳固定在坐标原点而静止不动，只考虑行星的绕转。你一定能意识到：这必然不够准确，存在误差，毕竟并没有什么“上帝之手”将太阳固定在宇宙中的某个特定位置。力的作用是相互的，太阳给行星引力，行星也给太阳引力，所以太阳在引力的作用下必然也会有运动。接下来我们就来考虑这个问题。这里涉及到两个质点在彼此相互作用下的共同运动，于是正如我们前面所提到的，太阳与行星构成了一个质点系，它们之间的引力则是质点系中的内力。在探讨太阳和行星的运动之前，我们必须先了解一些质点系运动的普遍规律。我们都知道，假如我们掌握的力学方法只能解决单个质点的问题，面对多个质点只能一个一个处理，我们也没办法很好地解决现实世界中的问题——面对宇宙中大量的乃至无数的质点，即便手上拿着最厉害的工具，也是杯水车薪，只能望洋兴叹。因此我们必须要想办法将质点的运动规律推广到质点系——多个质点构成的整体。我们之前其实也讨论过质点系的问题，并导出在质点系不受外力时的动量守恒定律——无外力时系统总动量的导数\dot{\boldsymbol{p}}=\mathbf{0}——我们这里用\boldsymbol{p}来表示质点系的总动量，它的定义是其中所有质点的动量之和，也就是\boldsymbol{p}=\sum_{\left( a \right)}{\boldsymbol{p}^{\left( a \right)}}=\sum_{\left( a \right)}{m^{\left( a \right)}\boldsymbol{v}^{\left( a \right)}}，这里依然用上角标的\left( a \right) 作为指标给每个质点编号，而\boldsymbol{p}^{\left( a \right)}则指每个质点各自的动量。既然我们可以针对质点系去定义“总动量”，我们当然也可以去定义质点系的“总质量”m=\sum_{\left( a \right)}{m^{\left( a \right)}}——非常简单，就是所有质点质量求和。有了“总动量”，有了“总质量”，我们自然会想到还要定义一个“总速度”\boldsymbol{v}——不过呢，这次就不能随便乱定义了，毕竟必须让它自洽地满足动量\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}的形式，于是有：\boldsymbol{v}=\frac{\boldsymbol{p}}{m}=\frac{\sum_{\left( a \right)}{m^{\left( a \right)}\boldsymbol{v}^{\left( a \right)}}}{\sum_{\left( a \right)}{m^{\left( a \right)}}}\\——直接相除，我们的目的有点像让它更加“浑然天成”一点。明明是一堆质点构成的质点系，偏能只把它当成一个质点。现在看来，这个“总的速度”有点像是所有质点速度按照它们各自质量来一个加权平均，质量越大的质点，它的速度会对质点系“总的速度”有更大的贡献。现在“总的速度”也有了，那必然就有“总的位置”——只要我们想办法将\boldsymbol{v}写成\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}的形式，这个\boldsymbol{r}所代表的位置就应该是能够代表这整个质点系的一个特殊位置。你一定猜到了，这个位置就是我们熟悉的质心——它的位置也自然就等于质点系里所有质点位置按质量来一个加权平均：\boldsymbol{r}=\frac{\sum_{\left( a \right)}{m^{\left( a \right)}\boldsymbol{r}^{\left( a \right)}}}{\sum_{\left( a \right)}{m^{\left( a \right)}}}\\为了避免就用一个\boldsymbol{r}太普通了造成混淆，我们常常也把质心的位置记作\boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}，于是质心速度\boldsymbol{v}也可以写作\boldsymbol{v}_{\mathrm{c}}、质心加速度\boldsymbol{a}也可以写作\boldsymbol{a}_{\mathrm{c}}，等等。想象一个质地均匀的实心物体，它的质心就应该是它的几何中心。生活中往往我们更熟悉的是重心的概念（重力作用的中心）。对于地面上的绝大部分物体，我们认为质心就刚好在和重心重合的位置。有了质心的概念，我们可以干脆假设质点系的所有质量都集中在这个质心处，所有外力也都作用在质心上。本来是质点系的运动，现在看来好像是一个质点的运动了，可以证明这里也满足类似牛顿第二定律的\sum{\boldsymbol{F}_{\text{外}}}=m\boldsymbol{a}_{\mathrm{c}}（被称作质心运动定理，这里的\sum{\boldsymbol{F}_{\text{外}}}当然是质点系上所有外力的矢量和）。胆子大点，我们还能够进一步证明关于质点系的角动量的、能量的以下很多结论：◆ 二体问题质点系当然也有简单和复杂之分，最简单的质点系自然便是只有两个质点——这类问题称作二体问题。无论是两个即将碰撞的小球，还是子弹打木块，还是地球绕着太阳转之类的我们本篇之中关注的行星运动问题，都可以当做是二体问题。我们现在很担忧：如果考虑到了太阳本身的运动，情况会不会发生变化？上一篇中推出的开普勒运动公式还能不能适用？为了弄清楚这个问题，现在我们要尝试写出二体问题的拉格朗日量。要写出拉格朗日量，无非是要知道体系的动能和势能。动能自然可以写成两个质点的动能相加，而认为势能的大小只和两质点之间的距离有关。于是总拉格朗日量写成：L=\frac{1}{2}m_1\dot{\boldsymbol{r}}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_2\dot{\boldsymbol{r}}_{2}^{2}-V\left( \left
\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2 \right
\right)\\（这里不再有下角标冲突，所以也没有必要非得用上角标加括号来区分两个质点，直接把次序编号写在下角标上。）但是也可以用另一种做法：将两个质点当成一个整体，用质心位置的运动来描摹它们的整体运动，再用两个质点分别相对于质心的运动去表示它们的相对运动。或者说，考虑一个随着质心运动的特殊参考系并称之为质心系，将质点的运动分为相对于质心系的运动（相对运动）和质心系自身的运动（牵连运动）两部分。我们知道，质心的坐标是\boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}=\frac{m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2}{m_1+m_2}，两质点的相对坐标\boldsymbol{r}^{'}=\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2。只需要我们反过来用\boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}和\boldsymbol{r}^{'}去表示出\boldsymbol{r}_1和\boldsymbol{r}_2，再代入原式，会发现此时的拉格朗日量表示为：\begin{eqnarray} L&=&\frac{1}{2}m_1\left( \boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}+\frac{m_2}{m_1+m_2}\boldsymbol{r}^{'} \right) ^2+\frac{1}{2}m_2\left( \boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}-\frac{m_1}{m_1+m_2}\boldsymbol{r}^{'} \right) ^2-V\left( r^{'} \right) \\&=&\frac{1}{2}\left( m_1+m_2 \right) \dot{\boldsymbol{r}}_{\mathrm{c}}^{2}+\frac{1}{2}\left( \frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \right) \left( \dot{\boldsymbol{r}}^{'} \right) ^2-V\left( r^{'} \right)\end{eqnarray} \\将总质量\left( m_1+m_2 \right) 记为m，并给后一个括号\left( \frac{m_1m_2}{m_1+m_2} \right) ——它也具有质量的量纲——一个新名字叫折合质量（或者约化质量），记作m^{'}，即可得到：L=\frac{1}{2}m\dot{\boldsymbol{r}}_{\mathrm{c}}^{2}+\frac{1}{2}m^{'}\left( \dot{\boldsymbol{r}}^{'} \right) ^2-V\left( r^{'} \right) \\——这就是二体运动的拉格朗日量表达式，前一项表示质心运动的动能，后一项表示质点相对质心运动的动能。我们已经知道，根据质心运动定理，\dot{\boldsymbol{r}}_{\mathrm{c}}的变化只可能是外力带来的。如果没有外力，例如在茫茫宇宙中只有两个天体的彼此作用，再无其他天体作用（或者说其他天体距离这两个天体都足够远，以至于外力可忽略），则质心将静止或者匀速直线运动，\dot{\boldsymbol{r}}_{\mathrm{c}}为常量，这一部分运动往往不是我们所关心的。为此，我们常常干脆进入质心系进行研究，只专注于相对运动，此时\dot{\boldsymbol{r}}_{\mathrm{c}}=\mathbf{0}，拉格朗日量成为：L=\frac{1}{2}m^{'}\left( \dot{\boldsymbol{r}}^{'} \right) ^2-V\left( r^{'} \right) \\——从此再没有\boldsymbol{r}_1和\boldsymbol{r}_2，只有单一的变量\boldsymbol{r}^{'}。其实这就是上一篇中我们写出的行星运动的拉格朗日量！区别在于：之前我们用的是行星的质量小m，这里要换成太阳和行星的折合质量m^{'}；之前我们认为太阳固定不动，于是干脆利落地用\boldsymbol{r}来表示行星坐标，现在明确了它是相对于太阳的坐标\boldsymbol{r}^{'}罢了。而要注意，在两天体的质量相差悬殊时（假设m_1是轻质点，m_2是重质点，当满足m_1\ll m_2时），根据折合质量的定义，会有：\begin{eqnarray} m^{'}&=&\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\approx m_1\\\boldsymbol{r}_1&=&\boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}+\frac{m_2}{m_1+m_2}\boldsymbol{r}^{'}\approx \boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}+\boldsymbol{r}^{'}\\\boldsymbol{r}_2&=&\boldsymbol{r}_{\mathrm{c}}-\frac{m_1}{m_1+m_2}\boldsymbol{r}^{'}\approx \boldsymbol{r}_{\mathrm{c}} \end{eqnarray}\\也就是说，此时的折合质量m^{'}可以直接近似等于轻质点的质量m_2，认为重质点m_1几乎完全在质心位置，成为力心，而轻质点则在重质点产生的有心力场中作用。放在太阳与行星的问题里，也就是认为折合质量m^{'}确实可以用行星的质量小m去近似。由于太阳系里最大的行星木星，其质量也不过是太阳质量的\frac{1}{1047}，所以太阳与木星的折合质量与只考虑木星质量两者之比为\frac{1047}{1048}，和1相差无几，因此这种微小差别可以忽略，完全可以放心大胆地将行星质量当做折合质量去使用。——当然，面对两个天体的质量相近或者差距并不大的问题，例如太阳系里一些行星和它们较大卫星的运动或者某些双星的运动，这种差异就不能忽略了。尽管我们说“月球绕地球运动”，实际上是“月球和地球共同绕它们的质心转动”，只是这个质心位置非常靠近地心，在地球内部，导致地球的绕转半径很小，初看很难察觉出来罢了。最后补充一个非常重要的提醒： 从上一篇开始一直到现在，无论是太阳、地球还是月亮，或是其他行星，我们统统都是当成质点看待的。或许你会认为这样做的理由是因为天体自身的大小比起它们自身的距离来说太小了，但有的情况下似乎这样解释不通的——比方说，研究地球对站在地面上的人的引力，显然在这种情况下地球半径不能忽略，但我们在具体操作的时候还是假设地球的质量全部集中在地心位置、作为一个质点来计算引力。其实，我们这样做的真正理由是：绝大部分天体是接近球形的，而球形天体可以看作质点！为什么球形天体可以看作质点？这个问题留给聪明的读者自己验证（笑◆ 开普勒运动中的守恒量经过对两体运动的一番细致分析，我们发现：即便考虑到太阳自身的运动，我们在上一篇针对开普勒运动计算出的轨道也是成立的——因为拉格朗日量的形式并没有任何改变，只是可能需要将行星质量m换成折合质量m^{'}，更何况在太阳的质量远大于行星的情况下这两者的差距甚微！于是，从现在开始，我们可以放心大胆地认为上一篇中推出的结论依然适用，从而可以在它的基础上继续前进。现在让我们来考虑开普勒运动中的守恒量。在上一篇中我们已经知道，在有心力场里永远有质点角动量\boldsymbol{L}（以下依然写成\boldsymbol{p}_{\phi}）守恒，同时在保守力场里还有能量E守恒，除此之外是否还存在其他守恒量呢？实际上，在平方反比力场中，还存在另一个特殊的守恒量。为了找到这个守恒量，我们来先来考虑\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{p}_{\phi}的时间变化率：\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \boldsymbol{v}\times \boldsymbol{p}_{\phi} \right) &=&\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}\times \boldsymbol{p}_{\phi}=m\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t}\times \left( \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{v} \right) \\&=&-\frac{GMm}{r^3}\boldsymbol{r}\times \left( \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{v} \right) \\&= &-\frac{GMm}{r^3}\left[ \boldsymbol{r}\left( \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{r} \right) -\boldsymbol{v}\left( \boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{r} \right) \right] \\&=&-\frac{GMm}{r^3}\left( \boldsymbol{r}rv_r-\boldsymbol{v}r^2 \right) \\&=&-GMm\left( \frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}-\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \right) \\&=&GMm\left[ \boldsymbol{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{1}{r} \right) +\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \right] \\&=&GMm\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\boldsymbol{r}}{r} \right) \\&=&GMm\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_r}{\mathrm{d}t} \end{eqnarray}\\（以上的第三行利用了矢量代数中的公式\boldsymbol{A}\times \left( \boldsymbol{B}\times \boldsymbol{C} \right) =\boldsymbol{B}\left( \boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{C} \right) -\boldsymbol{C}\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B}\\\end{array} \right)，后面的几行都比较自然就不一一解释了，要注意\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}和\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t}的意义是截然不同的。）由此也就是：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \boldsymbol{v}\times \boldsymbol{p}_{\phi}-GMm\boldsymbol{e}_r \right) =\mathbf{0}\\所以，括号里的内容：\boldsymbol{R}=\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{p}_{\phi}-GMm\boldsymbol{e}_r\\是个不折不扣的守恒量，它的名字叫拉普拉斯-龙格-楞次矢量，简称LRL矢量，符号在不同书中各不相同，这里记作\boldsymbol{R}。有趣的是：尽管煞费介事地用了三个人的名字为它命名，但其实它并不是这三位先生发现的！这个矢量在历史上曾被重复地发现过许多次。我们可以观察到：\boldsymbol{R}应当位于垂直于角动量的平面内，而且与\boldsymbol{r}共面（所以它也就在行星轨道的平面内！）。进一步会发现，\boldsymbol{R}的方向应当是力心指向近日点的方向。所以，\boldsymbol{R}是守恒量也就等效地认为近日点的位置始终不变，换句话说就是尽管行星在旋转，却也只是沿着同样的轨道周而复始，轨道的形状和方位始终没有改变——轨道是闭合的。利用\boldsymbol{R}的守恒性，可以得到关于开普勒运动的许多结论。例如我们可以利用它，以更简单的方法计算行星的轨道：由于\boldsymbol{R}是守恒量且在轨道平面内，我们不妨直接取它作为极坐标的极轴方向，这样的话\boldsymbol{R}和\boldsymbol{r}的夹角自然也就是\phi 。只需要拿\boldsymbol{R}直接点乘\boldsymbol{r}，就能得到：\begin{eqnarray} \boldsymbol{r}\cdot \boldsymbol{R}&=&\boldsymbol{r}\cdot \left( \boldsymbol{v}\times \boldsymbol{p}_{\phi}-GMm\boldsymbol{e}_r \right) \\&=&\boldsymbol{p}_{\phi}\cdot \left( \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{v} \right) -GMmr\\&=&\frac{p_{\phi}^{2}}{m}-GMmr \end{eqnarray}\\（第二行利用了矢量公式\boldsymbol{A}\cdot \left( \boldsymbol{B}\times \boldsymbol{C} \right) =\boldsymbol{C}\cdot \left( \boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B} \right) =\boldsymbol{B}\cdot \left( \boldsymbol{C}\times \boldsymbol{A} \right) ）又由于将\boldsymbol{R}和\boldsymbol{r}的夹角记作\phi ，直接就得出了：Rr\cos \phi =\frac{p_{\phi}^{2}}{m}-GMmr\\稍微变形：r=\frac{p_{\phi}^{2}}{GMm^2}\frac{1}{1+\frac{R}{GMm^2}\cos \phi}\\——这就是我们得出的圆锥曲线轨道通用表达式，其中\frac{p_{\phi}^{2}}{GMm^2}就是l，\frac{R}{GMm^2}就是e。寥寥几步，却得出了与上一篇完全相同的结论。我们在篇七中已经介绍了诺特定理，诺特定理告诉我们：一种对称性对应一个守恒量，同时一个守恒量也对应一种对称性。于是我们自然就会想到：现在找到了一个新的守恒量，是否自然地意味着体系存在一种新的对称性？这种新的守恒量又只对平方反比力场适用，是不是意味着平方反比力场比起其他形式的力场具有更高的对称性呢？答案是肯定的，只是这里的对称性不再是传统意义上的时空对称性，而是一种动力学对称性——具体的解释其实很玄妙，和轨道的简并性有关（相关的思想可以被用在量子力学的建立上），等价于“四维空间里的某种旋转对称”，还可以用之前提到的哈密顿-雅可比方程等等证明（这里限于篇幅暂时不多解释，未来如果有修订再做补充）——但是我们可以自然地联想到：既然LRL矢量的方向指向近日点的方向，那就意味着，假如是其他形式的力场（稍微偏离平方反比力场一点点），导致LRL矢量不再守恒，有微小的变动，那意味着：近日点存在漂移，行星的轨道也就不再是闭合的椭圆，每绕一圈都会往某个方向旋转一点。这种现象称为行星轨道的进动。行星的近日点进动（图源：维基百科，现象被极度夸大。）对于太阳系中的行星来说，尽管太阳的引力是绝对主宰，但其他行星对它也可能产生引力作用。尽管微小，却可能使这颗行星实际感受到的势能稍微偏离1/r势，造成行星轨道的进动，其中水星的轨道进动就是一个典型的例子。水星的轨道大约有每世纪偏离5600''（相对于地球，下同）的进动，人们考虑了所有其他行星引力对水星轨道的影响（主要是金星、地球和木星），仍只解释了其中5557''，还有一部分无法用任何理论解释，成为了一个不解之谜，人们甚至猜测水星的内侧会不会还有一颗未发现的行星。最终的解释是由爱因斯坦的广义相对论给出的，爱因斯坦预测出由于广义相对论会导致水星的轨道再有约43''每世纪的额外偏差，刚好是之前所差的值。因此，对水星进动现象的解释成为了爱因斯坦广义相对论成功经受检验的证据。◆ 三体问题与摄动理论到这里，天体运动里的二体问题终于被我们研究清楚，开普勒定律和万有引力定律为天体编制了优美的圆锥曲线轨道。解决了N=2的质点系运动，物理学家们自然会将目光投向N=3乃至任意多N的质点系。在他们眼中，就算质点数再多，支配它们运动的万有引力也还是那么清晰，问题尽管形式上复杂了但并没有产生什么本质上的差别。经典力学的巨大成功使得大家对用微分方程描述世界的理念充满信心——甚至有些在物理学家看来，只要将方程列出来就已经大功告成，后面的求解方程无非是一些繁琐、无聊的数学技巧而已。然而，正如你应该猜到的：物理学家们很快遭遇了滑铁卢。尽管我们可以轻松愉快地列出三个乃至更多个天体在彼此引力作用下的运动方程（或拉格朗日量、或哈密顿量），但我们无法用开普勒问题解出能用解析式表达的轨道。换言之，这个方程可以列出来，但解不出来，我们被迫用数值方法亦步亦趋地去研究体系的运动。更惊人的结论等待着我们：只需要将天体的个数增加到三个（即所谓三体问题，例如研究太阳、地球和月球的相互作用），轨道就不再是简单的曲线，甚至很难找到统一的规律，而是穿插交错、变化无常，难以预测——这就离了大谱！传说中蕴含着绝对决定论，像钟表一般精密的牛顿力学理论，居然在区区三个天体面前败下阵来，只能承认：三体运动的轨道无法预测，三体问题无法解析求解。尽管三体运动中仍有少数极特殊的情况能形成稳定轨道（最典型的例子便是三颗一模一样的天体排列成一个等边三角形），但是面对绝大多数的一般状况，我们依然无法获得精确的轨道。三体运动的例子（图源：维基百科。由于总动量守恒，因此质心位置不变，此为质心系中观察。）你或许会很好奇：这究竟是为什么？这是完全经典的领域，并没有进入量子的地界，支配天体运动的牛顿第二定律和万有引力定律更是完全决定性的定律，这种随机性究竟是从哪来的？原来，这本质上的原因是：三体系统是一个“对初值极度敏感”的系统。我们都知道，解微分方程需要初始条件，必须知道体系现在这一时刻的状态才有可能预测体系未来的运动，而假如体系蕴含着巨大的不稳定性，使得“初始条件极其微小的扰动都可能被不断放大，酿成系统演化的巨大差别”，则体系的未来就很难预测，因为我们的实验测量精度总是受限的，不可能捕捉到那些微小的差别，恰似著名的蝴蝶效应——“一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。”哪怕“三体人”通过超级（人列）计算机无比精细地计算出了自己的三颗太阳在未来百万年来的运动情况，任何一个小扰动（例如发射一枚火箭，甚至计算过程本身）就可能将一切彻底扰乱，此前计算的艰辛努力付诸东流。庞加莱对三体运动的研究催生了混沌理论，证明三体系统是一个混沌系统，于是开启了一个崭新的、超出我们之前所有想象的研究领域。再等不久（大约是第十七篇左右吧，如果我不鸽的话= =），我们就会专门介绍它。“三体问题”已经举步维艰了，更不用说更复杂的N体问题，但我们又必须想到解决这类问题的方法，因为宇宙中何止千亿星辰！我们研究任何天体的运动，都不可能只受到一个天体引力的影响，周围无数的天体都对它有引力作用。怎么办呢？正如虽然一般的“三体问题”很难解，但经过改造的“限制性三体问题”（假定其中一个天体的质量比另外两个小得多，以至于小天体对大天体轨道的影响可忽略）却有办法求解一样，只要其他天体引力带来的影响比占主导地位的天体引力带来的影响小很多，我们也可以用类似的办法——先计算主导天体影响下的二体运动轨道，再在此基础上考虑其他天体的微小影响，对轨道作小幅度修正，我们把这种微小影响称为摄动，而这套方法也便称作摄动理论。例如，研究地球的运动，显然要以太阳的引力作为主导去计算轨道，来自其他行星或卫星（例如月球）的影响只作为摄动修正；海王星对天王星轨道的影响也是一种摄动，勒维烈和亚当斯正是通过计算这种摄动带来的轨道偏差而发现海王星的存在的。【二】 碰撞与散射◆ 碰撞在前面我们曾经提到，有心力场中的运动按能量E的符号分为有限运动和无限运动两类，若E<0则做有限运动、E\ge 0则做有限运动。其实，不管是不是有心力场，我们总能将质点的运动分为有限运动和无限运动两类，只要质点的坐标始终被束缚在有限范围内就是有限运动，而质点可以逃逸到无穷远处则称为无限运动。之前我们主要研究了椭圆轨道之类的有限运动，现在开始我们来研究无限运动的规律。无限运动中最简单的例子就是碰撞——两个台球接近并相碰，在极短时间内发生相互作用，之后又相互分离。由于碰撞过程时间很短，可以认为与相碰物体之间巨大的内力相比，外力的冲量微不足道，可忽略不计，因此一般认为碰撞过程中满足动量守恒。在此基础上，如果碰撞后两个物体都能恢复原有的形态，整个过程中没有机械能的损失，则称为弹性碰撞，碰撞前后机械能也守恒；如果碰撞过程中存在机械能的损失（例如转换为热能），而且发生无法恢复的变形，则称为非弹性碰撞，机械能也就不守恒了；极端情况，还有碰撞后两个物体从此就黏在一起了的，机械能损失达到最大，称为完全非弹性碰撞，等等。计算碰撞后的物体速度的方法也很简单——列守恒方程、联立，高中时代的我们都会觉得非常繁琐，其实有一个非常简单的方法：换到质心系来研究。由于碰撞过程中动量守恒，即碰撞过程中质心速度不变，即：\boldsymbol{v}_{\mathrm{c}}=\frac{m_1\boldsymbol{v}_{10}+m_2\boldsymbol{v}_{20}}{m_1+m_2}=\frac{m_1\boldsymbol{v}_1+m_2\boldsymbol{v}_2}{m_1+m_2}\\——这里面带下脚标0的量表示初速度，不带下脚标0的量表示末速度。同时，在考虑对心碰撞的情况下，如果只考虑两者之间的相对运动，碰撞后的相对速度\boldsymbol{v}^{'}=\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2会与碰撞前的相对速度\boldsymbol{v}_{0}^{'}=\boldsymbol{v}_{10}-\boldsymbol{v}_{20}方向相反，而大小满足：\boldsymbol{v}^{'}=-e\boldsymbol{v}_{0}^{'}\\——注意这里的e便不再是指离心率，而是指材料的恢复系数，和不同材料的性质有关。对于完全弹性碰撞e=1，对于完全非弹性碰撞e=0，对于其他一般情况则介于0和1之间，我们仅考虑完全弹性碰撞的情况。求出了\boldsymbol{v}_{\mathrm{c}}和碰撞后的\boldsymbol{v}^{'}，再利用\boldsymbol{v}_1=\boldsymbol{v}_{\mathrm{c}}+\frac{m_2\boldsymbol{v}^{'}}{m_1+m_2}和\boldsymbol{v}_2=\boldsymbol{v}_{\mathrm{c}}-\frac{m_1\boldsymbol{v}^{'}}{m_1+m_2}就可以得到两球各自在实验室系中的碰撞后速度：\begin{cases} \boldsymbol{v}_1=\frac{\left( m_1-m_2 \right) \boldsymbol{v}_{10}+2m_2\boldsymbol{v}_{20}}{m_1+m_2}\\ \boldsymbol{v}_2=\frac{2m_1\boldsymbol{v}_{10}+\left( m_2-m_1 \right) \boldsymbol{v}_{20}}{m_1+m_2}\\\end{cases}\\不过，碰撞问题并不都意味着实打实的“碰撞”，有的时候并没有任何实物彼此碰触，却也可以用碰撞问题的方法来解决，所以它也是广义的碰撞问题。远方而来的彗星向地球和太阳飞来又从另一个方向飞走便是一例，尽管并没有接触（否则地球可能面临危险），但彗星确实在地球的作用下发生了轨道的“转折”，改变了运动方向，就好像抛到地面上的弹珠被高高反弹一样，恰好可以玩“三维弹球”的游戏。例如，假设这颗彗星以初速度\boldsymbol{v}_0从无限远处向太阳系奔赴而来，初速度延长线与太阳之间的距离为b（称作瞄准距离），则这颗彗星将会走出一条怎样的轨道？对于引力场而言，满足角动量守恒和能量守恒，由于这颗彗星初始能量E=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}>0（在无穷远处就有正的能量），因此轨迹将是双曲线，只能是无限运动。彗星离开太阳走向深空到无限远时，速度大小依然为v_0、初速度延长线与太阳之间的距离依然为b，只是换了个方向。它的轨道形状自然也可以用开普勒运动的规律计算，即：r\left( \phi \right) =\frac{l}{1-e\cos \phi}\\其中：\begin{cases} l=\frac{p_{\phi}^{2}}{GMm^2}=\frac{v_{0}^{2}b^2}{GM}\\ e=\sqrt{\left( \frac{p_{\phi}}{GMm} \right) ^2\frac{2E}{m}+1}=\sqrt{\left( \frac{v_{0}^{2}b}{GM} \right) ^2+1}>1\\\end{cases}\\——这里的b其实就是双曲线一般方程\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1中的b。我们还感兴趣的是：和最开始相比，经历了与太阳的“擦肩而过”，这颗彗星的运动方向到底发生了多大的变化？其实就是求出初速度方向和末速度方向之间的夹角，也就是所谓的偏转角\theta 。通过观察可以发现，它其实就是双曲线的两条渐近线之间的夹角，利用双曲线的几何性质，直接写出：\cot \left( \frac{\theta}{2} \right) =\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{a}=\sqrt{e^2-1}=\frac{v_{0}^{2}b}{GM}\\——也就是说，初速度v_0越大则碰撞导致的偏转越小，与太阳的距离b越远则碰撞导致的偏转越小。反过来说，速度越快，或者与太阳的距离越近，则越容易导致大角度的偏转。我们虽然可以把\theta 视作是v_0和b的函数，但我们也可以反过来，把b视作是v_0和\theta 的函数。这样描述就是：对于速度为v_0的入射质点，要想造成至少\theta 角度的偏转，那么入射速度的延长线与力心距离必须小于等于b才行。如果我们画一个半径为b的圆，就成了一个“靶子”，于是我们就知道了：只有射在b为半径的靶子上，才能造成\theta 角度以上的偏转。这个“靶子”的面积被我们称作总碰撞截面，记作\sigma ，显然有\sigma \left( \theta \right) =\pi b^2。当然，我们有时更关心的并不是非常笼统的“造成\theta 角度以上的偏转”，而是更加明确的“偏转角就是\theta ”，或者稍微宽松一点“偏转角在\theta 到 \theta + \mathrm{d} \theta”的小区间内，此时对应的进入“靶子”的位置便只能是以b\left(\theta \right)为外半径、以b\left( \theta +\mathrm{d}\theta \right)为内半径的“圆环”区域，这个“圆环”区域的面积\mathrm{d}\sigma便被称作微分碰撞截面，显然它等于\mathrm{d}\sigma =\left
2\pi b\mathrm{d}b \right|。整个总碰撞截面就是一环一环的微分碰撞截面嵌套出来的，这样一看，确实更像一面“靶子”，“环数”越高（入射位置越接近靶心），偏转角就会越大。◆ 散射过去的物理学研究碰撞问题，往往关注宏观物体之间的碰撞，这不但包括像台球碰撞这种硬表面之间的碰撞，也包括像彗星被引力改变方向这样糅合的“碰撞”。而当今的物理学更多研究的是微观粒子之间“碰撞”，由于实验技术上的困难，我们很难测量单个粒子的瞄准距离，所以如果只发射一个粒子去研究它的碰撞，那就完全是瞎撞碰运气，达不到我们所想要的目标。因此，实际研究中总是安排大量具有同样速度的同种粒子组成“束流”，再去“打靶”。由于一次轰击大量粒子，尽管初速度v_0控制不变，但不同粒子会有不同的b，因此会偏转不同的角度\theta ，所以这些粒子出射时便不再是如入射般整齐划一，而是方向各异、四散开来。这种现象叫做散射。散射当然也是前文中所说的碰撞，前文得到的总碰撞截面\sigma 和微分碰撞截面\mathrm{d}\sigma 的概念同样适用，我们更喜欢将它们分别称作总散射截面和微分散射截面。同理，偏转角\theta 也可以叫做散射角。考虑到微观粒子散射的情况，尽管依然认为力场是有心力场，但却不一定是万有引力，因此我们将势能写成普遍形式V\left( r \right) ，求出V\left( r \right) 对于研究微观粒子的具体性质至关重要。怎么求出V\left( r \right) 呢？一个很常见的方法便是一次轰击大量粒子令它们发生散射，通过观察出射粒子速度方向的空间分布——也就是不同\theta 角处粒子的比例，就可以得到粒子被散射到不同\theta 角处的概率，继而推测出V\left( r \right) 。让我们尝试一下：首先，对单个粒子，无疑满足之前已经推导出的有心力场中的运动方程，即：\phi \left( r \right) =\int{\frac{p_{\phi}}{\sqrt{2m\left[ E-V\left( r \right) \right] -\left( \frac{p_{\phi}}{r} \right) ^2}}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}}+C\\其中，粒子的总角动量p_{\phi}=mv_0b、总能量E=\frac{mv_{0}^{2}}{2}均为已知（默认无穷远处为势能零点），可直接代入。因此，只要我们知道了粒子距离力心最近位置处的距离r_{\min}（相当于近日点），对r从r_{\min}到无穷远处积分，我们就能立刻知道粒子从距离力心最近的位置逃逸到无穷远处这个过程中\phi 方向的改变\Delta \phi ：\Delta \phi =\phi \left( \infty \right) -\phi \left( r_{\min} \right) =\int_{r_{\min}}^{\infty}{\frac{b}{\sqrt{1-\frac{b^2}{r^2}-\frac{2V\left( r \right)}{mv_{0}^{2}}}}\frac{\mathrm{d}r}{r^2}}\\而r_{\min}可以轻松地根据角动量守恒和能量守恒联立求解得出：（这样做的理由是：在最近的位置，粒子速度只可能有切向分量）\begin{cases} \frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv_{\min}^{2}+V\left( r_{\min} \right)\\ mv_0b=mv_{\min}r_{\min}\\\end{cases}\\只要求出了\Delta \phi ，我们就可以一眼看出需要的散射角\theta ，因为\theta 与\Delta \phi 满足一个非常简单的几何关系：\theta =\pi -2\Delta \phi \\因此，只要知道了具体的相互作用势能V\left( r \right) 的形式便可以求出对应的散射角\theta ，反过来也可以根据散射角\theta （当然还要已知b）去求出V\left( r \right) 的形式。当我们用大量粒子形成的束流去轰击某个靶粒子，设单位时间内的粒子总数为N，我们定义一个新概念——若束流在圆截面内均匀分布，则认为单位时间内通过垂直于束流方向单位面积的粒子数量称为粒子束强度，也叫入射流强，记作J（可以类比电流强度的定义），则粒子恰好落入某一个“环”（即某个微分散射截面\mathrm{d}\sigma ）的数量\mathrm{d}N应当和\mathrm{d}\sigma 面积成正比。所以，如果我们去数一数单位时间内出射的粒子，则散射角刚好在\left( \theta , \theta +\mathrm{d}\theta \right) 范围内的数量应该等于：\mathrm{d}N=n\mathrm{d}\sigma =n\left
2\pi b\mathrm{d}b \right|=n\left
2\pi b\left( \frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta} \right) \mathrm{d}\theta \right|\\有时，为了更加明确这粒子到底朝空间中的哪个方向跑去了，我们会定义一个叫立体角的概念，它其实就是把我们平面上“角”的概念类比到了三维空间中。首先回忆平面角的定义：在平面上以原点为圆心画一个圆，则在圆上取一段弧长，与原点构成一个扇形，定义弧长与圆半径之比为该扇形所形成的一个平面角 \theta ，单位为弧度（\mathrm{rad}），整个圆周一共是2\pi \,\,\mathrm{rad}（单位符号经常省略不写）。所以我们自然也可以在空间中定义：在空间中以原点为球心画一个球，则在球上取一小块面积，与原点构成一个锥体，定义那一小块面积与球半径的平方之比为该锥体所形成的一个立体角 \varOmega ，单位为球面度（\mathrm{sr}），整个球面上下左右前后加起来一共是4\pi \,\,\mathrm{sr}（也能省略）。由于对于散射角在\left( \theta , \theta +\mathrm{d}\theta \right) 范围的所有粒子而言，尽管在\theta 方向存在一定分布，但在其他方向依然是各向同性的，因此可以认为是均匀、对称地散布到了\mathrm{d}\varOmega =2\pi \sin \theta \mathrm{d}\theta 的立体角中。代入上面的公式，我们可以将\mathrm{d}\sigma 写成一个比较简明的形式：\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\varOmega}=\frac{1}{\sin \theta}\left
b\left( \frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta} \right) \right|\\◆ 卢瑟福散射公式讲到散射，便不得不提及一个在科学史上意义非凡的故事，便是原子核式结构的发现。由于关于原子物理的相关知识还需要后续章节的基础，我们只对历史背景作一个简单的介绍：探索世间万物的组成向来是科学家们孜孜不倦的目标之一。随着气体分子运动论和化学的发展，人们渐渐意识到：分子是组成物质的基本单位，而分子又由原子组成。那原子难道就是组成万物的最小颗粒吗？我们意识到：原子也有很多种类，不同种的原子有着不同的质量，如果我们由每一种原子构成的物质称作一种元素，并且将这些元素按原子质量顺序排列起来，就形成了一张元素周期表。——不同种元素的原子除了质量不同以外，还表现出不同的化学性质，这已经是在向我们疯狂暗示“原子有更复杂的内部结构”。1897年，英国物理学家汤姆孙发现了原子内存在着带负电的粒子——电子，于是引发了人们对原子内部结构的猜想。众所周知，原子整体不带电，对外显电中性。既然原子内部有那么多带负电的电子，那为了维持电中性，必须要有等量的带正电的部分来中和。1904年，汤姆孙想象了一种“葡萄干蛋糕模型”：原子内部有许多带负电的电子，它们悬浮在带正电的、连续分布的物质中，就好像镶嵌在蛋糕里的葡萄干。为了验证这一模型的正确性，1909年，英国物理学家卢瑟福设计了一个实验——用α粒子（即氦核）轰击一张超薄（仅仅只有几个原子厚度）的金属箔纸，则α粒子必将和箔纸中的金属原子碰撞并发生散射。如果汤姆孙的模型真的正确，则绝大多数α粒子应当能够安稳地通过金属箔，只发生稍微的、均匀的偏转，基本上不可能大于6^{\circ}。可事实并非如此——卢瑟福的助手盖革和学生马斯顿做了这个实验后发现：绝大多数α粒子能直直地穿过金属箔、不改变原来的前进方向（最多偏差2^{\circ}\sim 3^{\circ}），但也有一小部分改变了原来的方向，甚至有极少数的α粒子（大约1/8000）居然散射角大于90^{\circ}，有的甚至完全反弹了回来！卢瑟福对这个结果感到惊奇：“这就好像一枚15英寸的炮弹打到一张纸上居然被反弹回来了一样”，看来原子内部远远要比想象中空旷，带正电的部分只能是集中在原子核内非常小的一个区域。据此，卢瑟福在两年后提出了原子核的核式结构模型（也叫“行星模型”或“太阳系模型”）：原子中带正电的部分集中在很小的区域，位于原子中心，称作原子核，就好像太阳系中位居中心的太阳，而带负电的电子则像行星一样绕着原子核转动。我们现在来讨论这个问题。我们知道，α粒子（氦核）带两个单位正电，即带电量q_1=+2e（其中e为元电荷量，即一个质子的带电量），而金属原子核也带正电，带电量q_2=+Ze（其中Z为该种金属的原子序数）。两个带同种电荷的物体之间受到的将是库仑力的作用，而且并不是引力，而是斥力！所幸，这种斥力依然满足平方反比关系，即\boldsymbol{F}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{q_1q_2}{r^2}\boldsymbol{e}_r——或者用高中生更熟悉的写法，\boldsymbol{F}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\boldsymbol{e}_r，对应的电势能为V=-\partial \boldsymbol{F}=k\frac{q_1q_2}{r}，因此也具有1/r势能。对于平方反比力，尽管是斥力，也可以通过比耐公式计算出其轨道，注意这里的F为正值。故α粒子的轨道依然是圆锥曲线：r\left( \phi \right) =\frac{l}{1-\varepsilon \cos \phi}\\唯一不同的是，在决定半通径和偏心率时，要把-GMm换成kq_1q_2\begin{cases} l=\frac{p_{\phi}^{2}}{-kq_1q_2m}=-\frac{mv_{0}^{2}b^2}{2kZe^2}\\ \varepsilon =\sqrt{\left( \frac{p_{\phi}}{kq_1q_2} \right) ^2\frac{2E}{m}+1}=\sqrt{\left( \frac{mv_{0}^{2}b}{2kZe^2} \right) ^2+1}>1\\\end{cases}\\（这里为了避免偏心率的e和元电荷的e混淆，用\varepsilon 表示偏心率。）所以轨道也还是一条双曲线。不过呢，哪怕不是散射问题，由于对于平方反比斥力而言V为正值，故E也永远为正，偏心率始终大于1，所以它的轨道也只能是双曲线，不可能是抛物线或椭圆。直接套用之前的结论，写出偏转角：\cot \left( \frac{\theta}{2} \right) =\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{a}=\sqrt{\varepsilon ^2-1}=\frac{mv_{0}^{2}b}{2kZe^2}\\移项得到b\left( \theta \right) ：b=\frac{2kZe^2}{mv_{0}^{2}}\cot \left( \frac{\theta}{2} \right) \\代入散射截面的公式得到：\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\varOmega}=\frac{k^2Z^2e^4}{m^2v_{0}^{4}\sin ^4\left( \frac{\theta}{2} \right)}\\——这被称为卢瑟福散射公式，这种散射称为卢瑟福散射。需要说明的是，以上一直假设原子核固定不动，那是因为金属箔中的原子核远比α粒子要重，因此质心系和实验室系的差别可以忽略。如果不能做这种近似，卢瑟福散射公式依然是适用的，但是\theta 、m和v_0都必须转化到质心系中。利用卢瑟福散射公式可以解释卢瑟福散射实验的结果，证明原子内带正电的原子核确实集中在一个极小的区域内，甚至还可以根据实验与公式的符合程度来估计原子核的大小。在卢瑟福之后，散射方法成了研究物质微观结构、进行材料分析的普遍手段，对近代实验物理产生了深远影响。我们后面还会再回到这里。【三】 宇宙航行◆ 人类飞向太空的步伐从星海仰望，到自由飞翔，是每一个孩子幼稚却真切的幻想。从嫦娥奔月的神话，到万户期望利用火箭飞天的壮举，人类“想飞”的执念亘古未变——人类获得挣脱地心引力、飞向浩瀚太空的能力，是人类实现自身的彻底自由和解放的必由之路。100 多年前，俄国科学家齐奥尔科夫斯基提出利用火箭作为登天之梯。尽管在当时的条件下他的理想不可能实现，却给人类带来了希望。但要想实现宇宙飞行甚至是载人航天，要克服无数的困难。航天事业前进的每一步，都熔铸着无数人的汗水甚至鲜血。1957年10月4日，人类第一颗人造卫星由苏联发射升空；1961年4月12日，苏联宇航员加加林乘坐东方一号进入太空，自此在历经数十亿年的进化之后，地球上终于有一个智慧物种——人类得以突破大气层的界线，进入生物圈之外的领域；1969 年7月20日，“阿波罗11号”登陆月球，美国宇航员阿姆斯特朗成为登月第一人，他那著名的“个人一小步、人类一大步”随着他的脚印一起永远留在另一个星球之上；行星探测器、航天飞机、国际空间站…………写出《星际航行概论》的中国航天之父——钱学森，也是中文中“航天”一词的首创者。他提出将人类冲出地球大气层以外的飞行活动称为航天，以区别于在稠密大气层内飞行的航空。例如，发射火箭、卫星、飞船、导弹等属于航天，我们日常乘坐的飞机则属于航空，两者一般以100\ \mathrm{km}高度的卡门线为界。更进一步，如果能够飞出太阳系、进入更广阔的宇宙空间，则可称作航宇。1970 年 4 月24日，中国的第一颗人造卫星“东方红一号”升空，无数人在夜幕中寻找“我们的星星”，这一天是中国航天的起点，被定为“中国航天日”；2003年10月15日，杨利伟乘坐“神舟五号”飞船进入太空；2007 年10 月24日，中国“嫦娥一号”探月卫星发射升空进行月球探测；2008 年 9 月27日，中国“神舟七号”航天员翟志刚实现太空行走；2011 年 9 月20日，中国第一个太空实验室轨道飞行器“天宫一号”发射升空；……2019年1月3日，“嫦娥四号”踏足月球背面；2019年12月27日，寄托无数期待的“长征五号”火箭成功发射；2020年7月23日，“天问一号”向遥远的火星出发；2020年7月31日，“北斗三号”系统完成全球组网；2020年12月3日，“嫦娥五号”满载着月球样品启程返航；2021年4月29日，“天宫”空间站的首个舱段——“天和”核心舱成功发射；2021年12月9日，中国航天员王亚平在“天宫”空间站中再次为太空授课，此次任务里航天员将实现六个月的在轨驻留；……诚然，在探索太空的道路上，有过无数的磨难甚至牺牲，如美国的“挑战者号”和“哥伦比亚号”两次航天飞机爆炸事件。但是，这一切并没有阻挡人类前进的步伐。因为，对星空的追求，对自由飞翔的向往，根植在人类的心灵里，亘古不变。◆ 三个宇宙速度究竟怎样才能飞向太空？很早以前，“牛顿大炮”就给了我们答案：关键在于速度！只要速度足够，获得足够大的动能，就能尽最大可能挣脱引力势能的束缚，改变如苹果般落回地面的命运，冲向浩瀚太空。为此，对于人造卫星等航天器，我们定义了三个“宇宙速度”：第一宇宙速度（环绕速度）：使航天器可以环绕地球运动所需的最小发射速度。我们假设卫星轨道为圆，轨道半径为r，M_{\mathrm{E}}和R_{\mathrm{E}}分别为地球质量和半径。利用万有引力提供向心力，我们可以轻松求出环绕速度v=\sqrt{\frac{GM}{r}}。显然，r越小则所需要的v越大。但注意这是环绕运动的速度，并不是发射速度，要求出发射速度v_0，必须根据发射过程中的机械能守恒，即：\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-\frac{GM_{\mathrm{E}}m}{R_{\mathrm{E}}}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GM_{\mathrm{E}}m}{r}\\解出：v_0=\sqrt{GM_{\mathrm{E}}\left( \frac{2}{R_{\mathrm{E}}}-\frac{1}{r} \right)}\\因此r越小则所需要的v_0又变成越小了。因此要想取到最小发射速度，必须使r尽可能小，最小也就是使得r=R_{\mathrm{E}}（几乎贴着地面飞，这就是所谓近地卫星），此时得到的发射速度便是第一宇宙速度v_1=v_0=\sqrt{\frac{GM_{\mathrm{E}}}{R_{\mathrm{E}}}}——对于近地卫星而言，它也刚好等于环绕速度，约为7.9\ \mathrm{km}/\mathrm{s}。如果我们能以超过7.9\ \mathrm{km}/\mathrm{s}的速度打出一只网球，忽略空气阻力，那么它将不会掉下来，成为一颗绕着地球旋转的卫星。第二宇宙速度（脱离速度）：使航天器可以完全脱离地球所需的最小发射速度。所谓“完全脱离地球”，是指只考虑地球引力场的情况下，卫星不仅仅能乖乖地绕着地球旋转，还能彻底脱离地球的引力场，飞到更遥远的地方，想飞多远就飞多远。在临界状况下，卫星飞到无穷远处，动能为零，引力势能也为零，根据机械能守恒：\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-\frac{GM_{\mathrm{E}}m}{R_{\mathrm{E}}}=0\\直接解得此时的v_2=v_0=\sqrt{\frac{2GM_{\mathrm{E}}}{R_{\mathrm{E}}}}，约为11.2\ \mathrm{km}/\mathrm{s}，即第二宇宙速度。可以发现，第二宇宙速度刚好是第一宇宙速度的\sqrt{2}倍。当卫星达到了第一宇宙速度，将绕地球做圆周运动；当卫星超过第一宇宙速度但还不满第二宇宙速度时，卫星的轨道是偏心率各不相同的椭圆，仍属于束缚运动；当卫星终于达到第二宇宙速度，则卫星轨道成为抛物线，终于实现了无限运动，卫星得以通过抛物线飞向无穷远处；当卫星超过第二宇宙速度，则卫星轨道为双曲线，依然是无限运动。如果我们发射的卫星不满足于绕着地球转圈，而是想探访太阳系中其他的行星“邻居”，则必须至少要达到第二宇宙速度。对很多天体都可以这样计算它们的第二宇宙速度，例如黑洞。黑洞的质量、密度巨大，它的第二宇宙速度等于光速c，这意味着引力强到连光都逃不出去，更不用说其他物体了。这样定义出的黑洞半径R=\frac{2GM}{c^2}，称为史瓦西半径。第三宇宙速度（逃逸速度）：使航天器可以完全脱离太阳系地球所需的最小发射速度。卫星事实上除了受到地球引力影响外，还受到太阳和其他天体的引力影响，上面我们仅仅计算了地球的引力场。如果我们希望再飞出太阳系，奔向更遥远的宇宙空间，则还需要脱离太阳系中其他天体的引力。简便起见，我们假设卫星在脱离地球引力场后只受太阳引力作用。很多人的想法是“如法炮制”，认为只要根据v_{2\mathrm{S}}=\sqrt{\frac{2GM_{\mathrm{S}}}{d}}（其中M_{\mathrm{S}}为太阳质量、d为日地距离）就可以直接计算出针对于太阳的逃逸速度为v_{2\mathrm{S}}=42.2\ \mathrm{km}/\mathrm{s}，但真的需要这么快吗？别忘了，地球在绕着太阳公转，本身的轨道速度便有v_{\mathrm{E}}=29.8\ \mathrm{km}/\mathrm{s}。假若我们发射卫星刚好顺着地球公转的方向，相当于充分利用了地球公转的速度，让地球本身“带我们一程”，则卫星自身相对于地心参考系的速度只需要v^{'}=v_{2\mathrm{S}}-v_{\mathrm{E}}=12.4\ \mathrm{km}/\mathrm{s}就够了。相比于42.2\ \mathrm{km}/\mathrm{s}来看，要求大大降低了。再换到地心参考系中，就是要求卫星发射直到脱离地球引力场后，其速度至少要有v^{'}=12.4\ \mathrm{km}/\mathrm{s}。同样根据机械能守恒求解发射速度v_0：\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-\frac{GM_{\mathrm{E}}m}{R_{\mathrm{E}}}=\frac{1}{2}{mv^{'}}^2\\解得所需最小的发射速度v_3=v_0=\sqrt{v_{2}^{2}+{v^{'}}^2}=16.7\ \mathrm{km}/\mathrm{s}，即第三宇宙速度。继续推广，我们甚至能将脱离银河系、飞向深空所需的最小发射速度称为第四宇宙速度。由于关于银河系的大小、质量等还没有精确的数据，现在还只能对它进行估算，至少应在525\ \mathrm{km}/\mathrm{s}以上。目前还没有任何人类航天器能达到如此高的速度。◆ 航天器的轨道转移在看中国航天的一些新闻时，经常会提及“变轨”，也就是航天器在不同轨道之间的转移。我们平常坐的飞机需要一直通过发动机提供动力前进，但是航天器却不然——当它达到预定轨道后，可以关闭发动机推力，使它只在引力作用下自然前进，就可以一直维持它沿着特定轨道的运动，也不需要消耗任何燃料。只有当需要转移到别的轨道，或为了抵抗稀薄空气的阻力，或需要进行姿态调整时，才需要打开发动机进行推进。我们举一个简单的例子：我们知道，如果发射近地卫星（即高度很低，当然也不能太低，至少要距离地面几百公里，才不致于大气过于稠密使得卫星坠落），所需要的发射速度最低，只需要达到7.9\ \mathrm{km}/\mathrm{s}即可。但实际上很多情况下我们需要去更高的轨道，例如：通信卫星、导航卫星和气象卫星中，有很多希望绕地球一圈的周期刚好等于一昼夜，这样就能永远静止在地球表面某一点的上空，在地面上的人眼里这些卫星仿佛在空中静止不动，这些卫星也可以不用转动天线就可以瞄准地面上某一区域进行通讯，称为地球同步卫星。能让卫星实现同步运动的轨道确实存在，那就是地球赤道面上方约35786\ \mathrm{km}高度的圆形轨道（很容易就可以计算出），被称作地球静止轨道（也称地球同步轨道，不过同步轨道还可以有别的意义）。这条静止轨道只有一条，资源宝贵，容量有限，向来是兵家必争之地。国际电信联盟（ITU）负责协调不同国家卫星之间的轨道分配。以在赤道上垂直发射卫星为例。同步轨道上卫星的环绕速度是v_{\mathrm{G}}=3.069\ \mathrm{km}/\mathrm{s}，要想将卫星发射到同步轨道上，可直接计算出所需要的发射初速度v_0=10.74\ \mathrm{km}/\mathrm{s}。但是，实际上常用的做法是：先将卫星发射到较低的某条圆轨道上（称为停泊轨道），卫星在停泊轨道上运行到某点\mathrm{A}时打开推力，使其加速，进入到一条新的椭圆轨道（称作转移轨道），其中\mathrm{A}点为这条椭圆轨道的近地点，而其远地距离刚好等于同步轨道的半径。当卫星到达远地点\mathrm{B}时，再次打开推力加速，使其恰好切入圆形同步轨道。这种变轨方式称为霍曼转移，而转移轨道也专称作霍曼转移轨道。霍曼转移途中只需要两次引擎推进，相对节省燃料。设低轨道半径为r_1、高轨道半径为r_2，利用能量守恒可以计算出：利用霍曼转移轨道，两次加速各自的速度增量是：\Delta v_1=\sqrt{\frac{GM_{\mathrm{E}}}{r_1}}\left( \sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1 \right) \\\Delta v_2=\sqrt{\frac{GM_{\mathrm{E}}}{r_2}}\left( 1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}} \right) 利用开普勒第三定律，还可以算出航天器在霍曼转移轨道上所花的时间为：t_{\mathrm{H}}=\pi \sqrt{\frac{\left( r_1+r_2 \right) ^3}{8GM_{\mathrm{E}}}}\\霍曼转移轨道同样可以用于降低航天器的轨道，这种情况下的两次推进都应该是减速。有时，我们不但要从围绕地球的低轨道转移到高轨道，还想要飞向其他的星球，这当然也可以利用和霍曼转移同样的方法，只不过这里的转移椭圆轨道将是围绕太阳的轨道。例如：要将我们的“嫦娥一号”探测器发射到月球，首先让探测器绕地球运动，通过4次变轨，不断增加椭圆轨道的远地点高度，让这个椭圆越来越“扁”，最终到达地月转移轨道飞向月球。被月球引力捕获后，再进行3次制动，不断降低椭圆轨道的远地点高度，最终变为圆轨道，成为环绕月球的卫星。而到了“嫦娥五号”或“天问一号”，由于我们终于有了“胖五”（“长征五号”火箭），有足够的动力，便可以直接发射进入地月转移轨道 / 地火转移轨道，不需要再在地球周围进行反复的变轨。嫦娥1号变轨示意图（图源：搜狐新闻）◆ “引力弹弓”助推对于更加遥远的行星探测，固然可以利用霍曼转移轨道来节省能量，但会面临如下两个问题：第一，需要选择非常恰当的时机使得地球和目标天体的运行位置刚好达到发射要求，这种时机称为发射窗口，例如火星探测的发射窗口大约两年多一次（26个月），错过就要再等两年；第二，由于霍曼转移需要花费的时间较长，在这段时间内天体也会运动，故而轨道需要不断调整修正。有没有既能省燃料又能省时间的方法呢？科学家们想到了“借”太阳系中其他的大行星“一臂之力”，也就是所谓的“引力弹弓”效应实现引力助推。“引力弹弓”效应有点类似于前面提到的完全弹性碰撞。以“旅行者2号”探测器为例，假设它以速度\boldsymbol{v}_{10}接近正在迎面运动而来的木星，木星公转的轨道速度为\boldsymbol{v}_{20}，则“旅行者2号”绕过木星时将在木星引力的作用下调转方向被“甩出去”，根据我们已经求出的末速度的通用表达式，注意木星质量m_2远大于探测器质量m_1，并由于两者相向运动，将\boldsymbol{v}_{20}用-v_{20}代入，写出末速度的标量式：\begin{cases} v_1=\frac{\left( m_1-m_2 \right) v_{10}+2m_2\left( -v_{20} \right)}{m_1+m_2}\approx -\left( v_{10}+2v_{20} \right)\\ v_2=\frac{2m_1v_{10}+\left( m_2-m_1 \right) \left( -v_{20} \right)}{m_1+m_2}\approx -v_{20}\\\end{cases}\\——也就是，木星运动基本不受影响，但探测器却增加了木星公转轨道速度的两倍速度。假设探测器原本的速度v_{10}=12\ \mathrm{km}/\mathrm{s}，木星公转轨道速度v_{20}=13\ \mathrm{km}/\mathrm{s}，在经历了这样一场“弹弓”式的相遇后，探测器速度提高到了38\ \mathrm{km}/\mathrm{s}！获得了显著加速。这就是“引力弹弓”效应，借助行星的引力来给航天器加速或减速，可以大大节省燃料和时间。从地球上发射航天器到外太阳系乃至飞出太阳系，必须使航天器器飞掠木星和土星等巨行星，借助这些行星的“引力弹弓”效应来加速。水手10号、旅行者1号、伽利略号、尤利西斯号、信使号、卡西尼号、新视野号、朱诺号等探测器都曾借助过“引力弹弓”效应。“引力弹弓”的概念在《星际穿越》和《火星救援》等电影中都有提及。在小说和电影《流浪地球》中，被推动的地球之所以需要冒险接近木星，就是为了借助木星的“引力弹弓”效应为地球加速从而飞出太阳系。电影中主要情节背景为在此过程中出现意外致使地球被木星引力俘获，而原著小说中并无此情节，小说中的原始设定更加复杂，需要同时借助太阳和木星的引力缓慢修正地球轨道。◆ 拉格朗日点最后，让我们关注航天新闻中常见的“拉格朗日点”的概念。它并不是一个点，而是五个点，事实上它是前文中提到的“限制性三体问题”中的五个特解，其中欧拉发现了前三个，拉格朗日发现了后两个，但现在一般统称“拉格朗日点”。假设存在两个引力作用下的天体（例如太阳和地球，或者地球和月球），相互环绕运行，现在往这个体系中再放入第三个质点（例如航天器，质量与前两个天体相比小到可以忽略不计），我们知道放入绝大部分位置都会导致难以预测的混沌轨道，但是存在着五个特殊位置，在这五个点上来自两个天体的引力可以平衡离心力，使得三个天体维持相对静止。这五个特殊点便是拉格朗日点。第一个拉格朗日点（\mathrm{L}_1）位于大小两个天体的连线上，且在它们之间；第二个拉格朗日点（\mathrm{L}_2）也位于大小两个天体的连线上，且在小天体的背侧；第三个拉格朗日点（\mathrm{L}_3）还位于大小两个天体的连线上，却在大天体的背侧；第四和第五个拉格朗日点（\mathrm{L}_4和\mathrm{L}_5）在以两个天体连线为一条边的等边三角形的第三个顶点上，轨道的前方和后方两侧各存在一个。通过拉格朗日方程和有效势能方法，可以求解出拉格朗日点的具体位置。五个拉格朗日点的位置示意图（图源：维基百科，同时绘制出了有效势能的等势面。）如果我们求解出有效势能，并通过微分展开研究其二阶导数，我们就可以推测出航天器在拉格朗日点附近运行的稳定性。具体来说，\mathrm{L}_1、\mathrm{L}_2和\mathrm{L}_3都不是稳定点，在这三个点上的航天器若有微扰则会被推离，但其实返回需要消耗的能量也较小，而且奇怪的是——这三个点明明空无一物，航天器却能绕这三个点旋转（好像存在一个中心天体一样），称之为晕轮轨道。\mathrm{L}_4和\mathrm{L}_5却是稳定点，这一特性使得它们所在的位置容易聚集大量的小天体，例如太阳系中太阳-木星系统的\mathrm{L}_4和\mathrm{L}_5上就聚集了大量的小行星（称作“特洛伊小行星”）。拉格朗日点在航天事业中有着广泛应用。例如“嫦娥四号”的通讯卫星“鹊桥号”就被提前布置在了地月系统的\mathrm{L}_2点上，负责地面和月球背面的通讯；日地系统的\mathrm{L}_2点则常被用于放置空间望远镜，因为这里永远背向太阳，能保护镜头不被强烈的阳光烧坏；“嫦娥五号”在登月任务完成后，由于轨道器仍有充足燃料，已经奔赴日地系统的\mathrm{L}_1点，进行太阳探测的拓展任务。……“多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。”时光流转，人类已经实现了先辈们乘巨槎、驾长风、铺天桥、闯星海的亘古理想，经典的力学理论和现代科学技术，正在把过去的无数只能存在于幻想中的神话变成现实。未来的中国，在航天道路上意气风发：我们将要建设起预期在轨寿命十年以上、60\sim 180吨级的空间站，邀请全世界开展科研合作；我们将要继续“嫦娥”探月工程，建设无人月面基地；我们还计划在2024年进行小行星探测、2028年左右实现火星“绕落回”、2030年前后开展木星系探测和天王星飞越探测；我们还将进行“觅音计划”，去搜寻太阳系近邻中可能存在的宜居行星。航天事业将增进人类对宇宙和地球环境的理解。在航天事业大发展之前，人们无法从外界观察地球，也无法想象直接到月球上去采集岩石标本或者“身临其境”地到火星上去考察，而航天技术的发展使这一切成为可能。1990年4月24日，哈勃望远镜发射升空，在外太空中观测宇宙比起在地球上有难以想象的优势，在此后的三十年里它传回了大量清晰的深空照片，带来了无比丰硕的成果。2015年12月17日，中国第一个用于探测暗物质的空间望远镜——“悟空号”发射升空。“悟空”，就是领悟太空。航天事业将促进民生的发展和国家综合实力的提升。或许有人问：给航天事业投入经费的意义何在，为什么不去直接拿那些钱来帮助贫困儿童？但须知，航天事业的发展与国计民生紧密相关，除了手机里导航用的GPS/北斗、每天要关注的天气预报、网络通信等等，还有更多的民用技术（例如医院里的生命维持系统、太空育种、遥感测绘，甚至家用的尿不湿、方便面蔬菜包，还有冬奥会开幕式上的火炬）都来源于航天工程。更不用说航天事业还和军事紧密相连，五百年前我们曾失去了大海，五百年后我们不能再失去星空。航天事业更是拓展人类认知和生存疆域的历史必然。宇宙那么大，谁不想去看看？到未来，当人类文明发展到一定高度，或是地球资源不堪重负、面临灾难，走向星辰大海、成为跨行星物种几乎是人类唯一的选择。“百忙之中走一步闲棋是很有必要的。”这就好像有人问一位登山者“你为什么要攀登珠峰？”答：“因为珠峰就在那里！”不要认为眼前看似“没用”的事情一定就“没用”，否则，数十亿年前，鱼类挣扎着上岸又有什么用呢？我们的征途是星辰大海，我们的未来在星辰大海。航天事业是年轻的事业，也是年轻人的事业。接下来，我们将继续我们的旅程。首先，我们想寻找一种神奇的方法，以倾听来自遥远星空、包括大千世界的“声音”。欲知后事如何，请听下回分解～ ^_^下一篇：专栏简介与总目录：喜欢麻烦动动手指点个赞～（别只收藏qaq）　欢迎在评论区留言 ^_^
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