按计划应该还是写点数论的，但椭圆曲线太难，最近还在补基础，就写点这个过程中的新知识吧，顺便当复习了。这篇还是科普向，所以省略了不少细节，想看严格讨论的请见参考列表。目录全新的几何平行线的交点射影平面和贝祖定理黎曼面全新的几何在距今2300多年的埃及，几何诞生了。数学史上最重要的人物之一，公理化的鼻祖——欧几里得靠着一本几何原本奠定了几何的基础。五条公理成为了后世两千年里几何研究的核心，人们在欧几里得的平面上证明了一个又一个优雅的几何定理。对欧式几何的研究，也催生了解析几何乃至一部分微积分的思想。但我们今天要说的不是这个。到了19世纪，人们开始渐渐质疑欧几里得第五条公理的合理性。\textbf{Axiom} 过平面上一点只能做一条直线使其跟一条已知直线不相交。以上便是欧几里得的第五条公理。这条公理在我们的现实生活中是非常合理的，因为我们一般处理的都是平面的问题，而这条公理在平面上是非常自然的。但黎曼和罗巴切夫斯基两人独立地提出了对这条公理的质疑，罗巴切夫斯基将这条公理换成了：过面上一点至少有两条条直线使其跟一条已知直线不相交，便建立了同样自洽的双曲几何。双曲几何黎曼则将这条公理改成了：过面上一点没有直线使其跟一条已知直线不相交。这也就形成了后来椭圆几何的基础。椭圆几何历史证明，黎曼几何更加适合描述我们所生活的这个宇宙，广义相对论便是以其为基础建立的。而罗氏几何与物理世界联系不大，所以现在远远不如黎曼几何有名。但我们今天要讲的依然不是它们。2. 平行线的交点可能在小学的时候大家就思考过这样一个问题，既然平行线是无限延长的，它们会不会在无穷远处相交呢？黎曼几何给出了一个替代欧几里得第五公理的公理，但它并没有说明两条线应该相交于几个点。一个最自然的想法来自于此：我们知道，在平面中，两点确定一条直线，同时两条相交的直线也只相交于一点，如果我们假设，每条直线都相交在无穷远处的一点会有什么样的效果呢？历史上，最早提出类似想法的是古希腊数学家帕普斯，没错，依旧是开挂的古希腊。到了文艺复兴时期，大名鼎鼎的物理学家，天文学家开普勒开始发展所谓“无穷处的点”的想法。同时期还有一位数学家，他虽然不如开普勒有名，却对射影几何的发展提供了更大的促进作用。吉拉德·德萨格是生活在16-17世纪的法国数学家，他利用欧式几何的一些辅助线技术（这块实在不知道如何翻译），成功地推广了相交的概念，从而建立了一种自洽的，平行线相交于无穷远处的几何。因为这个发现，德萨格也被人尊为射影几何的创始人之一。他对圆锥曲线的研究，还吸引了当时年仅16岁的帕斯卡（Pascal）的注意，帕斯卡很快就提出了著名的帕斯卡定理，即\text{Theorem} 对于一个光滑的圆锥曲线（圆，椭圆或者双曲线）以及它上面的六个点，用这六个点组成一个六边形，那么三组对边的交点共线。当然这个定理在欧式平面中必须要出去某一组对边平行的情况，但在射影几何中则是完全成立的。之后，直到19世纪，才有人重新审视这些超前的想法。黎曼，马克斯·诺特等人从这些想法中发展了更一般的代数曲线理论，其中黎曼创造性地用黎曼面的概念去讨论代数曲线的拓扑结构，最终于1864年，由黎曼的学生罗赫最终在黎曼的研究的基础上，证明了大名鼎鼎的黎曼-罗赫定理。再之后，代数曲线理论的研究转向了更加代数的方向，意大利代数几何学派希望从代数的角度重建代数曲线论。他们成功于1889年完成了黎曼-罗赫定理的代数证明。代数曲线理论的完善，最终成为了20世纪轰轰烈烈的代数几何大发展一部分，代数曲线理论也被更加一般的代数几何所包含了。3. 射影平面和贝祖定理我们知道，在一般的平面几何中，我们会用 (x,y) 来表示一个点的坐标。为了让两条直线能够相交于一点，我们需要使用一种新的坐标：齐次坐标。所谓齐次坐标，大致上就是比普通坐标多出来了一个坐标，比如平面上的一个点我们就会用三个坐标来表示： [x_{0},x_{1},x_{2}] 。同时，我们定义一种等价关系：\text{Definition }
两个点 [x_{1},y_{1},z_{1}], [x_{2},y_{2},z_{2}] 是等价的，记作 [x_{1},y_{1},z_{1}]\sim[x_{2},y_{2},z_{2}] ，当且仅当 x_{i} = \lambda y_{i}, \lambda \neq 0 对于 i = 1,2,3 。也就是说，如果两个点的坐标互为倍数，它们就被认为成同一个点。举个例子， [1,2,3] 和 [\pi, 2\pi, 3\pi] ，前一个点的每个坐标乘上 \pi 就等于后一个点的坐标，所以它们满足这个定义中的描述，于是在齐次坐标中，我们就说它们是等价的。这个等价关系是射影几何和欧式几何最大的区别，在欧式几何中，我们用 \|x-y\
= \sqrt{\sum (x_{i}-y_{i})^{2}} 来表示两个点指点的距离，但正是因为这种等价关系，距离这个概念在射影几何中是不存在的！当齐次坐标的三个参数都不为0的时候，我们说这个点是在（复）射影平面中的。当第三个坐标 x_{2} = 0 的时候，我们说这个点是无穷远处的点。这些齐次坐标加上这个等价关系，就得到了我们的射影平面（记作 \mathbb{P}^{2} ），也就是射影几何最重要的研究对象。准确来说，射影平面是 \mathbb{C}^{3}-\{0\}/\sim 。也就是说每个坐标都是复数，且不能都是0。选取 \mathbb{C} 作为我们的域是必要的，因为它的代数性质能保证每个多项式都有解。在正常的平面中，我们用 ax + by + c= 0 表示一条直线。当 a/b = a'/b' 时，两条直线 a'x + b'y + c' = 0 和 ax + by + c= 0 是平行的，且它们要么重合要么没有交点。在射影平面中，直线的方程是 ax_{0} + bx_{1} + cx_{2} = 0 ，那么当两条直线平行的时候，依然会有一个 x_{2} = 0
的点满足两条直线的方程，也就是说，平行线会在无穷远处相交。射影平面似乎解决了我们关于平行线相交的问题，但是这种不合常理的定义有什么用呢？首先，我们要了解一下我们平时用的欧式平面有什么不合理之处。我们考虑一条直线和一个圆的交点。一条直线跟一个圆有三种相交的可能性：三种相交模式我们的直觉是，两条曲线的交点数量应该等于它们次数的乘积。比如圆 x^{2} + y^{2} = r^{2} 是二次的，直线是一次的，那么第三种情况就很符合我们的直觉。第二种情况显得不那么自然，但其实如果我们定义相切的时候的“相交次数”为2（因为两个交点重合了），那么一样是符合直觉的。但第一种情况就显得不那么正常。但是在射影平面上，由于我们考虑了坐标为复数的点以及无穷远处的点，我们还是能够找到两个交点，使得我们的直觉符合我们的数学理论。从代数方向看，给定一个多项式 P(x_{0},x_{1},x_{2}) \in \mathbb{C}[x_{0},x_{1},x_{2}] ，我们定义射影平面上的曲线（代数曲线）为： \{[x_{0},x_{1},x_{2}] \in \mathbb{P}^{2}: P(x_{0},x_{1},x_{2})
= 0\} 。也就是这个多项式的零点的集合。回到前面说的相交点的问题，我们有如下的结果：\text{Theorem} 对于两条不重合的代数曲线，它们的交点数量，在计算了相交次数之后，等于它们次数的乘积，即如果 I(x,C,D) 表示点 x 在曲线 C,D 上的相交次数，那么\sum_{x \in C\cap D} I(x,C,D) = deg(C)\cdot deg(D) 这是一条非常有用的定理，将我们上面提到的直觉严格化了。这条定理被命名为贝祖定理，原因不得而知，因为贝祖此人，既不是最早提出这条定理的，也没能正确地证明它[1]。它的证明最终还是有高斯，勒让德等人完成的。这个定理的证明比较长，最困难的部分在于如何定义相交次数 I(x,C,D) ，一般常用的方法是先找一个local ring，quotient之后看它的dimension，也有一些书上是用的Resultant的方法。完整证明见[1], [2]，[3]。而这个定理在欧式平面上显然是不成立的，这就体现出了射影平面在几何研究中的巨大优势。4. 黎曼面除了把射影平面看成 \mathbb{C}^{3}-\{0\}/\sim 这样的一个集合，我们还可以从拓扑的角度去研究它。射影平面首先是一个紧的（compact）空间，它里面的每一个代数曲线也是紧的，这是因为无穷远处的点将射影平面紧化了。这使得它与仿射平面的拓扑性质变得不同，事实上，射影平面是一个一维紧的联通的复流形，也是一个紧的黎曼面。所谓黎曼面，是一个联通的豪斯多夫的拓扑空间，并且局部同胚于 \mathbb{C} ，再加上一个全纯的atlas。局部同胚，直观上说就是对于一个黎曼面上的一点，它的邻域跟 \mathbb{C} 上的一个开集是“相同的”。而射影平面上的代数曲线，同样也是黎曼面，并且他们看上去就像是有洞的图形。有两个洞的图形拓扑上描述洞的数量的概念是类（genus），有时也叫亏格，不过亏格是一个比较老的翻译了。这个概念是通过所谓欧拉示性数描述的。有些读者可能见过欧拉的多面体公式，也就是V-E+F = 2，其中V是顶点的数量，E是棱的数量，而F是面的数量。但这个公式其实非常深刻，如果我们把“棱”，“顶点”和“面”的概念用三角化推广，那么对于一些几何物体，比如射影平面，或者代数曲线，我们都可以定义欧拉示性数为 \chi = V -E +F ，利用这个定义，我们可以定义类，即 g = \frac{1}{2}(2-\chi) 。所以，欧拉的多面体公式，其实描述的是这些多面体中间都没有洞！也就是说他们的类是0。\mathbb{P}^{2} 中的代数曲线同胚于一些带洞的圆球，比如椭圆曲线中一般研究的三次曲线，就同胚于一个圆环（torus）。这使得我们可以去研究洞的数量，也就是代数曲线的类，和他们的次数的关系，这里我们有一个非常重要且有用的定理：degree-genus formula。 \text{Theorem} 对于一个光滑的 n 次代数曲线 C ，它的类是：g(C) = \frac{1}{2}(d-1)(d-2) 。准确来说，它同胚于一个紧的曲面，曲面的类由上面的公式描述。这个证明比较复杂，我这里也就不描述了，以后有机会可以写一篇专门的。黎曼对代数曲线的研究开启了新的时代，几何从此超越了解析几何和平面几何的范围，代数和分析与几何的融合开始进行，在人们心中，黎曼也因为这些研究以及其他流形方面的研究成为了现代几何学的奠基人。Reference:Kirwan, Frances, 1991, Complex Algebraic Curves,
London Mathematical Society Student Texts 23, Cambridge University PressSilverman, J.H., Tate, J., 1994, Rational Points on Elliptic Curves, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, New YorkSemple, J.G., Kneebone, G.T., 1959, Algebraic Curves, Oxford University Presshttps://en.wikipedia.org/wiki/Projective_geometry 本文的定义和定理主要来自[1]和[2]以及某学校的代数曲线课程，代数曲线的发展史主要来自[3]和[4]。感谢阅读。GJ，2020参考^此处有争议，有人说贝祖其实证明了，只是方法非常复杂。}