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展开全部从一点发出的两条射线所级成的图形。定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共点叫角的顶点，两条射线叫角的边。定义二：一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所形成的图形叫角。①.角的静态定义：具有公共点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。②.角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
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题型1：直线间的距离问题例1．已知正方体的棱长为1，求直线DA'与AC的距离。　　 解法1：如图1连结A'C'，则AC∥面A'C'D'，连结DA'、DC'、DO'，过O作OE⊥DO'于E因为A'C'⊥面BB'D'D，所以A'C'⊥OE。又O'D⊥OE，所以OE⊥面A'C'D。　　 因此OE为直线DA'与AC的距离在Rt△OO'D中，，可求得点评：此题是异面直线的距离问题：可作出异面直线的公垂线。　　 解法2：如图2连接A'C'、DC'、B'C、AB'A'，得到分别包含DA'和AC的两个平面A'C'D和平面AB'C，　　 又因为A'C'∥AC，A'D∥B'C，所以面A'C'D∥面AB'C。　　 故DA'与AC的距离就是平面A'C'D和平面AB'C的距离，连BD'分别交两平面于两点，易证是两平行平面距离　　 不难算出，所以，所以异面直线BD与之间的距离为。点评：若考虑到异面直线的公垂线不易做出，可分别过两异面直线作两平面互相平行，则异面直线的距离就是两平面的距离题型2：线线夹角例2．如图1，在三棱锥S-ABC中，，，，，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。图1　　 解法1：用公式　　 当直线平面，AB与所成的角为，l是内的一条直线，l与AB在内的射影所成的角为，则异面直线l与AB所成的角满足。以此为据求解　　 由题意，知平面ABC，，由三垂线定理，知，所以平面SAC。　　 因为，由勾股定理，得　　 。　　 在中，，在中，。　　 设SC与AB所成角为，则，　 解法2：平移过点C作CD//BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则是异面直线SC与AB所成的角，如图2。又四边形ABCD是平行四边形。由勾股定理，得：。图2在中，由余弦定理，得：。点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：(1)恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角；(2)证明这个角(或其补角)就是异面直线所成角；(3)解三角形(常用余弦定理)，求出所构造角的度数题型3：点线距离例3．(2009天津卷理)(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD,
AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD　　　 (I)　 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)　
证明平面AMD平面CDE；(III)求二面角A-CD-E的余弦值。　　
本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：(Ⅰ)解：由题设知，BF//CE，所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°　　 (II)证明：因为(III)由(I)可得，　　　 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得　 　　(I)　 　　　所以异面直线与所成的角的大小为.(II)证明：　，　　　 (III)　　 又由题设，平面的一个法向量为　　　 题型4：点面距离例4．(2009重庆卷理)(本小题满分12分，(Ⅰ)问5分，(Ⅱ)问7分)如题(19)图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：(Ⅰ)点到平面的距离；(Ⅱ)二面角的大小．　 　　.　
　(19)(本小题12分)解法一：(Ⅰ)因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中(Ⅱ)如答(19)图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.由于E为BS边中点，故,在中，,因，又故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得因此而在中，　.　
　在中，可得，故所求二面角的大小为解法二：(Ⅰ)如答(19)图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点A在xoz平面上，因此又因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.ΔBCS为直角三角形 ,知 设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B(0，2，2)，所以E(0，1，1) .在CD上取点G，设G()，使GE⊥CD . .　 　由故　　 ①　又点G在直线CD上，即，由=()，则有　②联立①、②，解得G＝　,故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为　 .因为=，,所以.　 　　故所求的二面角的大小为 .点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力题型5：线面距离例5．(2009重庆卷文)(本小题满分13分，(Ⅰ)问7分，(Ⅱ)问6分)如题(18)图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：(Ⅰ)直线到平面的距离；(Ⅱ)二面角的平面角的正切值．解法一:(Ⅰ)平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离在中，由平面，得AD，从而在中，。即直线到平面的距离为。(Ⅱ)由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，为二面角的平面角，记为.在中, ,由得,,从而在中, 　,故所以二面角的平面角的正切值为.解法二: (Ⅰ)如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)　 C(2,2,0)　 D(0,2,0)　 设可得,由.即,解得　 ∥，面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而,此即　 解得　①　,知G点在面上,故G点在FD上.,故有　 ②　 联立①,②解得, 　.　
　为直线AB到面的距离.　 而　 所以(Ⅱ)因四边形为平行四边形,则可设, .由得,解得.即.故由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。题型6：线面夹角例6．2009湖南卷文)(本小题满分12分)　
如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.(Ⅰ)证明：平面平面;　　 (Ⅱ)求直线AD和平面所成角的正弦值解:(Ⅰ)如图所示，由正三棱柱的性质知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE⊥平面.又DE 平面，故平面⊥平面.　(Ⅱ)解法 1:　 过点A作AF垂直于点,连接DF.由(Ⅰ)知，平面⊥平面，所以AF平面,故是直线AD和平面所成的角。　　 因为DE，所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因为，所以E= =
4,　 　　　　　　,　
.即直线AD和平面所成角的正弦值为　　 .解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),　 (2,0,),
D(-1, ,0),　 E(-1,0,0).易知=(-3，，-)，=(0，-，0)，=(-3，，0).设是平面的一个法向量，则解得.故可取.于是　　 =　　
.　 　　　　　由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为　　 .点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力题型7：面面距离例7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离。(1)证明：由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1，同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1。(2)解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离。易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=，则sinA1BC1=，则S=。由于，则S·d=·BB1，代入求得d=，即两平行平面间的距离为。(3)解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于。点评：立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来。在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面。这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了。题型8：面面角例8．如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，。(Ⅰ)求证：面；(Ⅱ)求二面角的大小。(Ⅲ)求三棱锥的体积。解析：(Ⅰ)证明：取的中点，连结　 ∵分别为的中点，∵，∴面，面　　 ∴面面　
∴面(Ⅱ)设为的中点∵为的中点　 ∴　
∴面作，交于，连结，则由三垂线定理得。从而为二面角的平面角在中，，从而。在中，，故二面角的正切值为。(Ⅲ)，作，交于，由面得，∴面，∴在中，，∴。点评：求角和距离的基本步骤是作、证、算。此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续。如求二面角，只有根据推理过程找到二面角后，进行简单的运算，才能求出。因此，求角与距离的关键还是直线与平面的位置关系的论证。}