假设我们已经熟悉了函数的基本概念，进入到了微积分体系的学习。函数是微积分的研究对象，也是打开微积分大门的钥匙。其中一个核心概念，就是函数的有界性。有界函数有界就是指全体函数值（值域）在有限范围内，比如N点和M点之间：由此，可以推出有界函数的定义１：设 y=f(x), x\in D ; \exists N \leq M, \forall x\in D, 都有N\leq f(x) \leq M ，称 f(x) 是D上的有界函数。\exists 表示存在， \forall 表示任意或一切N称为 f(x) 的一个下界；f(x) 有无数个下界，凡是比N小的都是它的下界。下界中的最大值是N，N是下确界。M称为f(x)的一个上界；f(x)有无数个上界，凡是比M大的都是它的上界。上界中的最小值是M，M是上确界。几何意义：图像只能在M和N之间，不能超出范围，彻底被框住了拓展定义1：\exists N, \forall x\in D, 都有N \leq f(x) ；称 f(x) 为有下界函数；\exists N, \forall x\in D, 都有f(x) \leq M ；称 f(x) 为有上界函数；拓展定义2：可以使用绝对值概念结合有界函数，然后就可以很好的与三角函数等概念再结合。先学会这个拓展定义，两个常数N、M太多，我们可以用一个常数来处理这种绝对值情况：\exists M>0, \forall x\in D ,都有\left
f(x) \right
\leq M \Leftrightarrow -M\leq f(x) \leq M 此时，称函数 f(x) 在D上有界。这个定义可以用来判断函数有界性。理解起来可能还是有困难，来看个例题：结合三角函数概念：结合几何平均数概念：无界函数弄懂了有界函数，无界函数也就好理解了，它完全是有界函数的对立面。定义2：\forall M > 0,
\exists x_{M} \in D, but \left
f(x) \right
> M ，称 f(x) 是D上的无界函数。这里补充一个证明题的分析方法：条件 => 结论}

假如f(x)的定义域是D,数集X是D的子集.如果存在正数M使得 f(x)的绝对值小于等于M对任一x属于X都成立,就称f(x)在X上有界.如果这样的M不存在,那么就称无界.相应的函数就可以分为是有界函数还是无界函数了.另外,单调函数我举单调增加的函数的例子.f(x)定义域是D,区间I是它的子集.如果对于区间I上的任意两点x1,x2,当x1 小于 x2 时,恒有f(x1) 小于f(x2) ,就说函数f(x)时在I上单增函数.也就是单调函数中的一种.对于单减函数通理.我想说的 是,你必须明白,单调一定是在某个区间上的 单调.比如上面的I.比如整个函数可能先增后见减.所以我们要在相应的区间谈单调才对.解析看不懂？免费查看同类题视频解析查看解答}

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