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初二年级春季数学竞赛讲义

本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。 注：有(*) 标注的为选做内容。 本次培训具体计划如下，以供参考：

第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲

如何做几何证明题 平行四边形（一） 平行四边形（二） 梯形

中位线及其应用 一元二次方程的解法 一元二次方程的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的应用

专题复习一：因式分解、二次根式、分式 专题复习二：代数式的恒等变形 专题复习三：相似三角形 结业考试（未装订在内，另发）

第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲

初二年级春季数学竞赛讲义

第一讲：如何做几何证明题

1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【例题精讲】

【专题一】证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例1】已知：如图所示，?中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。 ABC 求证：DE＝DF

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【巩固】如图所示，已知?为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连ABC结CE、DE。 求证：EC＝ED

【例2】已知：如图所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。 求证：∠E＝∠F

【专题二】证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

【例3】如图所示，设BP、CQ是?的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 ABC 求证：KH∥BC

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【专题三】证明线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 【例5】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B＝60°，AB＝BC， 且∠DEC＝60°； 求证：BC＝AD＋AE

【巩固】已知：如图，在?中，?，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。 ABCB?60? 求证：AC＝AE＋CD

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

【专题四】证明几何不等式：

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第二讲：平行四边形（一）

【知识梳理】 1、平行四边形：

平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： （1）平行四边形对角相等； （2）平行四边形对边相等； （3）平行四边形对角线互相平分。

除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法： （1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、特殊平行四边形： 一、矩形

（1）有一角是直角的平行四边形是矩形 （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等。

（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 二、菱形

（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2）定理1:菱形的四条边都相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. （4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2 （5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形

（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 三、正方形

（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 （2）性质：①四个角都是直角，四条边相等

②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形

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（2） 对角线互相平分

（4） 对角线互相垂直

（5） 四个角都是直角

（6） 每一条对角线平分一组对角

（7） 对边相等且平行

1、下列说法中错误的是（ ） ．．

平行四边形具有的是： 矩形具有的是： 菱形具有的是： 正方形具有的是： A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形

2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形 3、下面结论中，正确的是（ ）

A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：

①四边形AEDF是平行四边形；

②如果?BAC?90，那么四边形AEDF是矩形； ③如果AD平分?BAC，那么四边形AEDF是菱形；

④如果AD?BC且AB?AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形.

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【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE． 四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

求证：四边形AECD是菱形．

【例4】如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE． （1）求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

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（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．

【例5】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.

（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；

BOCEAD第三讲：平行四边形（二）

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由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。

另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。 【例题精讲】

【例1】四边形四条边的长分别为m、n、p、q，且满足m2?n2?p2?q2?2mn?2pq，则这个四边形是（ ）

A.平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形 C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形

【例2】如图①，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

(2) 当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．

(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

F分别是BC、DC边上的点，【巩固】如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、且AE?EF，

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（1）求EC∶CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13－2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；

（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。

【例4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC。

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于F。求证：AE＝CF。

【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H。求证：AH＝CG。

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与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。

通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：

1、 平移腰：过一顶点作一腰的平行线；

2、 平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3、 过底的顶点作另一底的垂线。 熟悉以下基本图形、基本结论：

(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。

【例1】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上

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ADBC【例4】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

1、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

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3、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.

【例5】已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE.

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【巩固】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AD＋BC＝AB 求证：DE⊥AE。

AEDBFC第五讲：中位线及其应用

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1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5、有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半

②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

【例题精讲】 【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，试说明BD=2EF。

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【巩固】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。

（1）求证：四边形MENF是菱形；

（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。

【例3】梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点。求证：MN＝

【巩固】如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点。

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1(AB?CD)，问：四边形2ABCD为什么四边形？请说明理由。

【例4】四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F。求证：∠BEH=∠CFH.

【例5】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，

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且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。

【巩固】已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN AM N

第六讲：一元二次方程的解法

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形如ax2?bx?c?0?a?0?的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

?b?b2?4ac求根公式x?内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了

2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 【例题精讲】

【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：

北师大版八年级下册数学期末试卷及答案2017

　　每次期末考试已结束，很多同学都是特别关注关于试卷的正确答案，下面由yjbys就由小编为大家整理的2017北师大版八年级下册数学期末试卷及答案，供大家参考!

　　(本试卷满分150分，考试时间120分钟)

　　一、选择题：(本大题共12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了

　　代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将各小题所选答案的标号填入对应的表格内.

　　1.若分式 ，则的值是( )

　　2.下列分解因式正确的是( )

　　3.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )

　　4.方程 的解是( )

　　5.根据下列表格的对应值：

　　判断方程 一个解的取值范围是( )

　　6.将点P(-3，2)向右平移2个单位后，向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为( )

　　7.某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率. 设平均每次降价的百分率为，可列方程为( )

　　8.如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD

　　交于点O，若 ，则 是( )

　　9.已知 是关于的一元二次方程

　　的根，则常数的值为( )

　　10.如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD交于点O，菱形

　　ABCD周长为32，点P是边CD的中点，则线段OP的

　　11.如图，以下各图都是由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有1个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，……，则第⑦ 个图形中完整菱形的个数为( )

　　12.如图，□ABCD中，∠B=70°，点E是BC的中点，点F在

　　二.填空题(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将正确答案填入对应的表格内.

　　15.如图，已知函数 与函数 的图象交于点

　　P，则不等式 的解集是 .

　　16. 已知一元二次方程 的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则

　　△ABC的周长为 .

　　17. 关于的方程 的解是负数，则的取值范围是 .

　　上，且BP=BC，点M在线段BP上，点N在线段BC

　　的延长线上，且PM=CN，连接MN交BP于点F，过

　　三.解答题(本大题3个小题，19题12分，20,21题各6分，共24分)解答每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.

　　20. 解不等式组：

　　21. 如图，矩形ABCD中，点E在CD边的延长线上，且∠EAD=∠CAD.

　　四.解答题(本大题3个小题，每小题10分，共30分)解答每小题都必须写出必要的演算过程或推 理步骤，请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.

　　22.先化简，再求值： ，其中满足 .

　　23.某蔬菜店第一次用400元购进某种蔬菜，由于销售状况良好，该店又用700元第二次购进该品种蔬菜，所购数量是第一次购进数量的2倍，但进货价每千克少了0.5元.

　　(1)第一次所购该蔬菜的进货价是每千克多少元?

　　(2)蔬菜店在销售中，如果两次售价均相同，第一次购进的蔬菜有2% 的损耗，第二次购进的蔬菜有3% 的损耗，若该蔬菜店售完这些蔬菜获利不低于944元，则该蔬菜每千克售价至少为多少元?

　　24.在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE.

　　五.解答题(本大题2个小题，每小题12分，共24分)解答每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.

　　25 . 为深化“携手节能低碳，共建碧水蓝天”活动，发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用.今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨.月处理成本(元)与月份之间的关系可近似地表示为： ，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元. 若该单位每月再生资源处理量为(吨)，每月的利润为(元).

　　(1)分别求出与，与的函数关系式;

　　(2)在今年内该单位哪个月获得利润达到5800元?

　　(3)随着人们环保意识的增加，该单位需求的可再生资源数量受限.今年三月的再生资源处理量比二月份减少了%，该新产品的产量也随之减少，其售价比二月份的售价增加了 %.四月份，该单位得到国家科委的技术支持，使月处理成本比二月份的降低了 %.如果该单位四月份在保持三月份的再生资源处理量和新产品售价的`基础上，其利润比二月份的利润减少了60元，求的值.

　　26. 如图1，菱形ABCD中，AB=5，AE⊥BC于E，AE=4.一个动点P从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA-AD于点Q，边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当P点到达C点时，运动结束.设点P的运动时间为秒( ).

　　(1)求出线段BD的长，并求出当正方形PQMN的边PQ恰好经过点A时，运动时间的值;

　　(2)在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写

　　出S与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围;

　　(3)如图2，当点M与 点D重合时，线段PQ与对角线BD交于点O，将△BPO绕点O逆时针旋转 ( )，记旋转中的△BPO为△ ，在旋转过程中，设直线 与直线BC交于G，与直线BD交于点H，是否存在这样的G、H两点，使△BGH为等腰三角形?若存在，求出此时 的值;若不存在，请说明理由.

　　八年级下册数学期末试卷北师大版参考答案

　　21..证明：∵四边形ABCD是矩形

　　∴△ADC≌△ADE. ……………… 5分

　　23.解：(1)设第一次所购该蔬菜的进货价是每千克元，根据题意得

　　…………………………3分

　　经检验 是原方程的根，

　　∴第一次所购该蔬菜的进货价是每千克4元; 5分

　　(2)由(1)知，第一次所购该蔬菜数量为400÷4=100

　　第二次所购该蔬菜数量为100×2=200

　　设该蔬菜每千克售价为元，根据题意得

　　∴该蔬菜每千克售价至少为 7元. 10分

　　∴∠CBG=∠CDF. ……………………………………2分

　　∴BG=DF=4. ……………………………………3 分

　　∴在Rt△BCG中，

　　∴CG= . …………………………4分

　　∴△CBM≌△CDE ……………………………………6分

　　∴△ CME是等腰直角三角形 ……………………………………7分

　　又∵△CBG≌△CDF

　　∴△CMG≌△FCE ……………………………………9分

　　∴EF+EG= CE ……………………………………10分

　　∴Rt△DBK中，BD= ……………………2分

　　∴当点Q与点A重合时， . …………3分

　　(2) …………8分

　　(3)当点M与点D重合时，

　　∴ . ……………………………………9分

　　∴此时，点G与点C重合，点H与点D重合

　　∴ . ……………………………………10分

　　∵∠HBG=∠ ，

　　综上所述，当 、 、 、 时，△BGH为等腰三角形.

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