这个问题我之前答过，但不妨碍我水（手动滑稽）

这个的严格证明得用到拉格朗日中值定理：

若函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 连续，在开区间 (a,b) 可导，则至少存在一点

证明这个定理先需要罗尔定理：

接下来就可以证明题主的问题了：若函数 f(x) 在区间 I 上可导，则 f(x) 在 I 上单调递增（减）的充要条件是 f'(x)\geq0(\leq0)

对于严格增减性适当改变条件即可

（是的，就是复制粘贴我另一篇回答）：