(1)公因数与最大公因数

几个数公有的因数叫作这几个数的公因数，其中最大的一个叫作它们的最大公因数。

a和b的最大公因数-般用(a, b)表示。

(2)公倍数与最小公倍数

几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。

a和b的最小公倍数一般用[a, b]表示。

(1)求最大公因数的方法

①特殊方法:如果两个数互质，那么它们的最大公因数是1。如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最大公因数是较小的那个数。

②分解质因数法:几个自然数的最大公因数，必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此，可先把各个自然数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出来，然后连乘，所得的积就是要求的最大公因数。

③短除法:一般先把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，把除得的商写在对应数的下方，一直除到各个商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。

(2)找最小公倍数的方法

①特殊方法:如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是这两个数的积;如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大的那个数。

②分解质因数法:求两个数的最小公倍数，先把每个数分解质因数，再把这两个数所有公有的质因数和其中每个数独有的质因数全部连乘起来，积就是它们的最小公倍数。

③短除法:把几个数公有的质因数由小到大排列后，依次作为除数，用短除法连续去除这几个数。在连除时，如果某一个数不能被除数整除，就把这个数写在下边，直到得出的商两两互质为止。然后把所有的除数和商乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

分析与解5和9互质，所以它们的最大公因数是1,即(5, 9)=1。最小公倍数是5×9=45,即[5, 9]=45。

求15, 20和45的最大公因数和最小公倍数，用短除法求解，过程如下:

例2有320个苹果， 240个橘子，200 个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中，苹果、橘子和梨各有多少个?

分析根据题目的要求，在分礼物的时候必须正好分尽3样水果，因此礼物的份数必须是320, 240 和200的公因数。现在要求最多可以分成多少份同样的礼物，也就是说要求320, 240和200的最大公因数。

答：最多可以分成40份同样的礼物;在每份礼物中，苹果有8个，橘子有6个，梨有5个。

例3有一堆树苗，每5棵一捆、每6棵一捆或每7棵一捆最后均余3棵，求这堆树苗至少有多少棵。

分析这是一道有关求最小公倍数的变式题。

由题意可知，只要把树苗的总棵数减去3,就可以同时被5，6, 7整除，即只要先求出5, 6, 7的最小公倍數，再加上3，就得到树苗至少有多少棵。

答：这堆树苗至少有213棵。

最大公因数与最小公倍数的性质

两个自然数的最大公因数与它们最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

例：两个数的最大公因数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28，另一个数是多少?

解设要求的数为x，且x=4×y，则有

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最小的自然数：0。自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4，……一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。

自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。

2、偶数：能被2整除的数叫偶数。

3、特别注意：0是偶数。

(2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以除以2,0照样可以，只不过，得数依然是0而已，但是不可以说它(指0)没有缩小)。

1、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。

2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

3、0，1：只有1个因数。

它既不是质数也不是合数。

自然数列的通项公式an=n。

自然数列本质上是一个等差数列，首项a1=1，公差d=1。

不对。最小自然数是0。根据国家标准：2002年1月，我国的大、中、小学数学教材在修订中，规定0也是自然数。自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。

1、自然数列在“数列”，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成自然数列。

任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。

2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式。

第1条射线和其它射线组成n-1个角，第2条射线跟余下的其它射线组成n-2个角，依此类推得到式子：1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2

1、0是最小的自然数。

2、自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。

3、性 质：有序性、无限性

5、分 为：偶数奇数，合数质数

1、自然数列在“数列”，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成自然数列。

任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。

2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式

第1条射线和其它射线组成(n-1)个角，第2条射线跟余下的其它射线组成(n-2)个角，依此类推得到式子

3、求直线上有n个点，组成多少条线段时，也应用了自然数列的前n项和公式

第1个点和其它点组成(n-1)条线段，第2个点跟余下的其它点组成(n-2)条线段，依此类推同样可以得到式子

任何一自然数，可代入下公式，等式始终成立：

1、0是介于-1和1之间的整数。

是最小的自然数，也是有理数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。

2、0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，0的平方根是0,0的立方根是0，0乘任何数都等于0，除0之外任何数的0次方等于1。

0不能作为分母出现，0的所有倍数都是0。0不能作为除数。

3、自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。

自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

1、0是极为重要的数字，关于0这个数字概念在其它地区很早就有。

公元前3000年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。古埃及早在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。玛雅文明最早发明特别字体的0。玛雅数字中0以贝壳模样的象形符号代表。

2、表示物体个数的数叫自然数，自然数一个接一个，组成一个无穷集体。

自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。

3、现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。

这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。

自然数集是全体非负整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。因此，最小的自然数是0。整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。

(1)奇数：不能被2整除的数叫奇数。

(2)偶数：能被2整除的数叫偶数。

也就是说，除了奇数，就是偶数

二、按因数个数分，可分为质数、合数、1和0。

(1)质 数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。

(2)合 数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

(3)1：只有1个因数。

它既不是质数也不是合数。

(4)当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。

“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。

我国传统的教科书所说的自然数都是指正整数。在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。

现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集也叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。

“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。

我国传统的教科书所说的自然数都是指正整数。在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。

现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集也叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。

自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

数学中，自然数指一般指非负整数。是 ISO 80000-2 标准中所采用的定义。用于计数(如“桌子上有三个苹果”)和定序(如“国内第三大城市”)的数字。用于计数时称之为基数，用于定序时称之为序数。在数论中，非零自然数指正整数 数学家一般以N代表以自然数组成的集合。自然数集是一个可数的，无上界的无穷集合。

0包括在自然数的争议：

对于“0”，它是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。在国外，有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。

现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。

我们在数物体的时侯，用来表示物体个数的1、2、3、……叫做自然数，或叫做正整数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

自然数起源于数(shu)，是由于计数(shu)物体的需要，经过很长的历史阶段，逐渐产生的。

远古时代，由于人类在最初要分配劳动工具和劳动果实，产生了计数物体的需要。人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中，有时有收获，有时没有收获，这样，逐渐形成了“有”和“无”的概念；有时收获够分配，有时收获不够分配，这样，逐渐形成了“多”和“少”的概念。例如，人们出去打猎的时候，要数一数一共出去了多少人，拿了多少件武器；回来的时候，要数一数捕获了多少只野兽等。这样就产生了数。

由于生产的发展，劳动的收获增加了，人们有了计数的需要。起初，人们用实物来计数。例如，用手指或脚趾，用结绳或刻痕，用石子或木棒。计数采用一一对应的方法。例如，为了表示捕获的三只羊，就弯曲三个手指；为了表示捕获的三条鱼，也弯曲三个手指。又经过较长的时间，人们知道把彼此等价的东西归为一类，并在每一类中找出一个“标志”来表示这类物体的共同特征。逐渐地，把表示数量的那些实物的名称如“手指”、“石子”等，脱离它的原始意义，变为单纯的数的名称，自然数就这样产生了。

“1”是自然数的单位。任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的。自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。

我们在数物体的时侯，用来表示物体个数的1、2、3、……叫做自然数，或叫做正整数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

自然数起源于数(shu)，是由于计数(shu)物体的需要，经过很长的历史阶段，逐渐产生的。

远古时代，由于人类在最初要分配劳动工具和劳动果实，产生了计数物体的需要。人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中，有时有收获，有时没有收获，这样，逐渐形成了“有”和“无”的概念；有时收获够分配，有时收获不够分配，这样，逐渐形成了“多”和“少”的概念。例如，人们出去打猎的时候，要数一数一共出去了多少人，拿了多少件武器；回来的时候，要数一数捕获了多少只野兽等。这样就产生了数。

由于生产的发展，劳动的收获增加了，人们有了计数的需要。起初，人们用实物来计数。例如，用手指或脚趾，用结绳或刻痕，用石子或木棒。计数采用一一对应的方法。例如，为了表示捕获的三只羊，就弯曲三个手指；为了表示捕获的三条鱼，也弯曲三个手指。又经过较长的时间，人们知道把彼此等价的东西归为一类，并在每一类中找出一个“标志”来表示这类物体的共同特征。逐渐地，把表示数量的那些实物的名称如“手指”、“石子”等，脱离它的原始意义，变为单纯的数的名称，自然数就这样产生了。

“1”是自然数的单位。任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的。自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。

任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的。所以1是自然数的单位。如：8是由8个1组成的，25是由25个1组成的。

1是最小的自然数，0不是自然数。

自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过程是相当长的。在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。例如：表示捕获了3只羊，就伸出3个手指；用5个小石子表示捕捞了5条鱼；一些人外出捕猎，出去1天，家里的人就在绳子上打1个结，用绳结的个数来表示外出的天数。这样经过较长时间，随着生产和交换的不断增多以及语言的发展，渐渐地把数从具体事物中抽象出来，先有数目1，以后逐次加1，得到2、3、4……，这样逐渐产生和形成了自然数。因此，可以把自然数定义为，在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6……叫做自然数。自然数的单位是“1”，任何自然数都是由若干个“1”组成的。自然数有无限多个，1是最小的自然数，没有最大的自然数。

“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。自然数是整数(自然数包括正整数和零)，但整数不全是自然数，例如：-1

而不是自然数。自然数是无限的。总之，自然数就是指大于等于0的整数。

希望我的回答让你满意，如果满意请采纳，谢谢！

自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。

表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

0既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。当某个数X大于0(即X>

0)时，称为正数；反之，当X小于0(即X

0既不是正数也不是负数，而是介于-1和+1之间的整数。

0是最小的完全平方数。

0的相反数是0，即，-0=0。

0的绝对值是其本身，即，∣0∣=0。

0乘任何实数都等于0，除以任何非零实数都等于0,任何实数加上0等于其本身。

0没有倒数和负倒数，一个非0的数除以0在实数范围内无意义。

0的正数次方等于0，0的负数次方无意义，因为0没有倒数。

除0外，任何数的的0次方等于1。

0的0次方是悬而未决的，在某些领域定义为1，某些领域未定义。不定义的理由是以连续性为考量，不定义不连续点。

0不能做对数的底数和真数。

0也不能做除数、分数的分母、比的后项。

0在多位数中起占位作用，如108中的0表示十位上没有，切不可写作18。

0不可作为多位数的最高位。

当0不位于其他数字之前时表示一个有效数字。

0始终是直角坐标系的原点。

0是正数和负数的分界点。

分式中分母为0无意义。

自然数集是全体非负整数组成的集合，常用 N 来表示。自然数有无穷无尽的个数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。因此，最小的自然数是0。整数包括自然数，所以自然数一定是整数，且一定是非负整数。

自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

所有整数不是奇数(单数)，就是偶数(双数)。若某数是2的倍数，它就是偶数(双数)，可表示为2n；若非，它就是奇数(单数)，可表示为2n+1(n为整数)，即奇数(单数)除以二的余数是一。

关于偶数和奇数，有下面的性质：

(1)两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

(2)奇数与奇数的和或差是偶数；偶数与奇数的和或差是奇数；任意多个偶数的和都是偶数；单数个奇数的和是奇数；双数个奇数的和是偶数；

(3)两个奇(偶)数的和或差是偶数；一个偶数与一个奇数的和或差一定是奇数；

(4)除2外所有的正偶数均为合数；

(5)相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半；

(6)奇数与奇数的积是奇数；偶数与偶数的积是偶数；奇数与偶数的积是偶数；

(7) 偶数的个位一定是0、2、4、6或8；奇数的个位一定是1、3、5、7或9；

(8)任何一个奇数都不等于任何一个偶数；若干个整数的连乘积，如果其中有一个偶数，乘积必然是偶数；

(9)偶数的平方被4整除，奇数的平方被8除余1。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么， 是素数或者不是素数。如果 为素数，则 要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

1、如果 为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。

因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。

2、其他数学家给出了一些不同的证明。

欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。

质数具有许多独特的性质：

(1)质数p的约数只有两个：1和p。

(2)初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

(3)质数的个数是无限的。

(4)质数的个数公式 是不减函数。

(5)若n为正整数，在 到 之间至少有一个质数。

(6)若n为大于或等于2的正整数，在n到 之间至少有一个质数。

(7)若质数p为不超过n( )的最大质数，则 。

(8)所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。

从前的教科书说“0不是自然数”，那么1就是最小的自然数。

现在的教科书说“0是自然数”那么0就是最小的自然数。

但是，从历史来看，说0不是自然数。更合理一些。

用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)， 一个接一个，组成一个无穷的集体。

表示物体个数的数0、1、2、3、4、5、6、……叫自然数。

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。下面是小编为大家整理的上册知识点，希望能帮助到大家。

(1)射线只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长。

(1)两点之间线段最短。

(2)连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。

(3)直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。

直线没有距离。射线也没有距离。因为，直线没有端点，射线只有一个端点，可以无限延长。

3、梯形：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底;也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。不平行的两边叫腰;夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

第一单元 【大数的认识】

1、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

2、数位：个位、十位、百位、……亿位等等，都是数位。数位名称就是在相应的计数单位后添一个“位”字，如：万?万位。

3、数级：个级、万级、亿级……都是数级，一个数级包括四个数位。个级包括个位、十位、百位、千位;万级包括万位、十万位、百万位、千万位;亿级包括亿位、十亿位、百亿位、千亿位。

4、数位顺序表：含有数级、数位和相应的计数单位的表格叫数位顺序表，如下。

5、每相邻两个计数单位之间的进率都是“十”。

10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。

6. 数字表示：某个数位上的数字表示几个这个数位的计数单位。

如：12367 中的2在千位上，表示 “2个千”

某个数级上的数字表示几个这个数级的计数单位。

如：中的3647在万级上，表示 “3647个万”

7.大数的读法：可以先分级，再读数。(1)含有两级数的读法：先读万级，再读个级;(2)含有三级数的读法：先读亿级，再读万级，最后读个级。每级末尾不论有几个0，都不读;每一级中间和前面有一个0，或连续几个0，都只读一个0.

8、大数的写法：可以先分级，再写数。(1)含有两级数的写法：先写万级，再写个级;(2)含有三级数的写法：先写亿级，再写万级，最后写个级。哪一位上一个计数单位也没有，就在哪一位上写0。

9.读写数检验：读数和写数可以互相检验，即读数后再写出来和原数比对，而写数后可以自己读出。

10、比较亿以内数的大小：位数不同时，位数多的数大;位数相同时，从最高位比起，最高位上的数大，这个数就大;如果最高位上的数相同，就比较下一位，直到比较出大小为止。

11、改写成不同计数单位的数：

(1)整万、整亿的数：将个级的4个0改写成“万”，将万级、个级共8个0改写成“亿”

注意：整万、整亿的数的改写属于准确数，要用“=”连接.

(2)非整万的数改写成以“万”为单位的数：将万位以后的数作为尾数，对尾数的最高位(千位)四舍五入，再改写成以“万”为单位的数

(3)非整亿的数改写成以“亿”为单位的数：将亿位以后的数作为尾数，对尾数的最高位(千万位)四舍五入，再改写成以“亿”为单位的数

12、省略尾数(求近似数)：先分级，再看省略的最高位上的数，用四舍五入法进一或舍去。省略亿位后面的尾数时，要看千万位，省略万位后面的尾数时，要看千位。(用 “≈”)0~4为“舍”，尾数清零且精确数位的数字不变，5~9为“入”，尾数清零且精确数位上的数字加1。注意：四舍五入后的结果是近似数，所以符号一定要用“≈”.

准确数和近似数的区分：

⑴在实际问题中，有些数据是与实际完全符合的准确数。如：四甲班有44个男同学，29个女同学。这里的“44”“29”都是准确数。

⑵还有些数据，只是与实际大体符合的近似数。我们在测定物体的长度、质量时，由于测量工具的限制，必然会产生误差，所得的结果都是近似数。如：小明身高140厘米，体重35千克。这里的“140” 、“35”都是近似数。

⑶在对大的数目在进行统计时，一般也只需要用它的近似数来表示。如：平常说一个城市有50万人，一个钢铁厂去年产钢120万吨。这里的“50万”、“ 120万”都是近似数。

“四舍五入”法：4、3、2、1、0舍去;5、6、7、8、9舍去后向前一位进1。

用“=”和“≈”的区别：

12、自然数：表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……都是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

13、十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫十进制计数法。

14、计算工具的认识：

古时： “实物”、“结绳”“刻道”等方法来记数的。

(1)算盘：14世纪，中国发明了算盘。算盘有上下两档，上档每颗珠子代表5，下档每颗珠子代表1，每根杆相当于一个数位，如“万位上的一颗上珠”表示“5个万”。

(2)计算器：CE或者AC是“清除键”，ON/C是“开关及清屏键”。OFF是关闭键。

15、会用计算器计算和探索规律。

第二单元 【公顷和平方千米】

计量较大的土地面积时，常用 “ 公顷”和“平方千米(km2)”作单位。

第三单元 【角的度量】

1.线段：是直线的一部分，具有2个端点，可以度量长度，不可延长。

2、射线：是直线的一部分，只有1个端点，可以向一端无限延长，不可度量。

3、直线：没有端点(或者说“有0个端点”)，可以向两端无限延长，不可度量。

4、 角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这一点叫做角的“顶点”，两条射线叫做角的两条“边”。 角的符号用“∠”表示。

5. 过点画直线的数量：

过一点可以画无数条射线、无数条直线。

因为“两点可以确定一条直线”，所以过两点只能画出一条直线。

6、角的度量：工具是量角器。

角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。把半圆分成180等份，每一份所对的角的大小是1度，记作1°。

步骤：(1)(量角器的)中心点与 (角的)顶点重合

(2)(量角器的其中一条)0刻度线与(角的)一条边重合

(3)角的另一条边所对应的量角器上的刻度就是这个角的度数

7、角的大小比较：角的大小与角的两边的长短没有关系。角的大小要看两条边张开的大小，张开得越大，角越大。

8、会求一个已知角的余角、补角和对顶角：

(2) 1个平角=2个直角; 1个周角=2个平角=4个直角

10、 钟面时间问题(求时针与分针的夹角)：因为周角是360°，而钟面上有12个整点刻度，所以每两个整点刻度间的夹角是360°÷12=30°

A、用量角器画角(如画65°的角)

(1)画一条射线，作为角的顶点和一条边

(2)使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合

(3)在量角器(与0刻度线同圈的)65°刻度线的地方点一个点

(4)以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线(因为“两点确定一条直线”，用端点和刚画的点来确定另外一条边的位置)

B、用三角板画角(如画75°的角)

画角方法和用量角器的相同，只是标注方法不同，需要标出这个角是由哪几个三角板上的角组合(加或减)而成的。

用三角板可画出所有15°倍数的角，如75°、105°、120°、135°、150°、165°

而用“一副(两个)三角板”可“拼出”75°、105°、120°、135°、150°这几个角

第四单元 【三位数乘两位数】

2、 三位数(末尾有0)乘一位数的口算乘法：(如160×3)把末尾0的部分先不看，看成16×3，口算出得48，再在得数的末尾添上所有去掉的0，160末尾有1个0，所以添上1个0得480，所以160×3=480。

3、 笔算乘法的方法：

先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的个位对齐;再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位与两位数的十位对齐;最后把两次乘得的积加起来。

(1) 将0前面的数对齐，先把0前面的数相乘。

(2) 再看因数末尾一共有几个0，就在积的末尾添几个0.

5、 因数中间有0的乘法：注意用两位数去乘三位数时，三位数中间的0也要乘，不要忘记加上进上来的数。

6、积的变化规律和积不变的规律：

两个数相乘，其中一个因数不变，另一个因数乘(或除以)几(0除外)，积也乘(或除以)几。

两个数相乘，其中一个因数乘几(0除外)，另一个因数除以几(0除外)，积不变。

一要注意要符合实际情况，接近准确值。 215×58≈12000

二是要将其中一个因数或两个因数“四舍五入”成相近的整十、整百数，简化计算。

交换因数的位置再乘一次，看乘得的积是不是跟原来的积相同。

9、常见的数量关系 ：

单价 × 数量= 总价 ;总价 ÷ 数量= 单价 ;总价 ÷ 单价= 数量

单价单位：元 / 数量单位(复合单位)

每件28元表示为：28元/件 ，每本5元表示为：5元/本

速度单位：路程单位 / 时间单位 (复合单位)

如：每小时80千米表示为：80千米/时 读作：80千米每时。

工作效率 × 工作时间= 工作总量

工作总量 ÷ 工作时间= 工作效率

工作总量 ÷ 工作效率= 工作时间

例：小明的爸爸每分钟能打50个字(工作效率)，如果打6分钟(工作时间)，能打多少个字(工作总量)?

做应用题时应特别注意速度的单位，例如：王叔叔从县城出发去120千米外的王庄乡送化肥，用了2小时，问平均每小时行多少千米?

问题是“平均每小时行多少千米?”问的是速度，所以要知道路程和时间。

9、“买N送一”问题的解决：

例：每棵树苗16元，买3棵送1棵。一次买3棵，每棵便宜多少钱?

解决方法1：先算实际付的钱数： 16×3=48(元)

再算实际得到的棵数：3+1=4(棵)

接着算平均每棵实际付的钱数：48÷4=12(元)

最后算每棵便宜的钱数：16-12=4(元)

解决方法2：先算总共便宜的钱数：16×1=16(元)

再算总共得到的棵数： 3+1=4(棵)

最后算每棵平均便宜多少钱：16÷4=4(元

10、“够不够”问题的解决：

例1：一个计算器24元，李老师要买4个。他带了100元，钱够吗?

计算过程除了应该算出共需多少钱 24×4=96(元) 之外，还应当与带来的钱数进行比较，即 100元>96 元 ，可不用带单位但要注意同样单位的才能比较。

例2：小军家距离学校420米，小军上学时平均每分钟走62米，6分钟内他能走到学校吗?

答：6分钟内他不能走到学校。

1、书包每只零售25元，批发买4只送一只。按批发价平均每只只需多少钱?

2、小刘骑自行车的速度是225米/分，他想到7千米外的某地野餐，30分能骑到吗?

3、校服秋装每套58元，冬装每套82元。四甲班共有学生30名，每人各订一套秋装和冬装，共需多少钱?

4、汽车每时可行80千米，普通列车比汽车每时快26千米，普通列车30时可行多少路程?

5、周巷镇中心小学四年级在校中餐生约有210人，按每生每餐200克米饭计算，那么准备一期中餐(共25餐)约需多少千克大米?

6、鸡场一周收鸡蛋576千克，每18千克装一箱，已经卖掉24箱。

(1)还剩多少千克? (2)还剩几箱?

7、小明服药，一天2次，每次3片。一瓶药装有50片，可吃几天?还剩几片?

8、小邵带500元去买《数学小灵通》，买了25套，还剩50元。每套价钱多少?

9、买4个需116元。照这样计算。

(3)再买3个排球，共需多少钱?

10、小明原有30本书，他给小英4本书后，两人的本书同样多。小英原有几本书?

11、小明原有40本书，小英原有30本书。小明给小英多少本书后，两人同样多?

12、小明和小英共有70本书，小明给小英3本书后，两人就同样多，原来各几本?

第五单元 【平行四边形和梯形】

1、同一平面内两条直线的位置关系：相交和不相交两种。

2、平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

3、垂直：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

4、画垂线的方法：边线重合、平移到点、画线标号。

5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 垂直线段 的 长度 叫 距离。

6、平行线的画法：一贴、二靠、三移、四画。

7、平行线的性质：两条平行线之间的距离处处相等。

这个性质可以用来证明长方形对边相等且平行。

8、画长方形和正方形时的要点：用垂直和平行的方法画图，注意标注：长方形要标出一组邻边的长度(长和宽)，正方形要标出两条边长的长度，或者在旁边写出“长方形”、“正方形”。

9、平行四边形和梯形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;

只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

四边形具有“容易变形”的特性，具有“不稳定性”。 应用：推拉门

把长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。

11、平行四边形的底和高：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高，但是从一个顶点向对边只能画一条高。画高要用虚线。并做出垂足记号

12 梯形的底、高和腰：从梯形上底上的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高，梯形有无数条高。但是从底的一个顶点向另一个底只能画一条高。

梯形的底是固定的两条边——————上底和下底(互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底);不平行的一组对边叫做梯形的腰。

特殊的梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。等腰梯形不可能是直角梯形，直角梯形也不可能是等腰梯形。

12、集合图：用集合图来表示四边形之间的关系

四边形包括平行四边形和梯形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。因为它们具有平行四边形的特征。正方形又是特殊的长方形。

14、四边形内角和：四边形的内角和都是360°。

(1) 平行四边形：平行四边形可以被裁剪成两个完全相等的三角形、平行四边形或和梯形

方法：先确定中心点，两条对角线的交点就是中心点，然后画一条通过中心点的虚线，这样就一定能把这个平行四边形平均分成两个完全一样的图形。

(2) 梯形：梯形可以被裁剪成两个梯形、一个平行四边形和一个三角形、两个三角形

16、 图形的拼组(请自己画画看)：

(1) 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

(2) 两个完全一样的平行四边形可以拼成一个平行四边形。

(3) 两个完全一样的长方形可以拼成一个长方形。

(4) 两个完全一样的正方形可以拼成一个长方形。

(5) 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

(6) 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形。

长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形只有1条对称轴。平行四边形没有对称轴。

第六单元 【除数是两位数的除法】

1、 除法的意义：已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算.

2、 在以下4种情况的时候需要用到除法：

(2)已知一个数的几倍是多少,求这个数. 一个数的3倍是270,求这个数?: 270÷3

(4)求将总数平均分成几份.如 求把240平均分成6份，每份是多少: 240÷6

3、 除法中的数量关系(有余数的除法)：

被除数÷除数=商……余数 被除数=商×除数+余数(验算的方法)

除数=(被除数-余数)÷商 商=(被除数-余数)÷除数

余数=被除数-除数×商

4、 口算除法：整十数除整十数或几百几十数的口算,可以想乘法算除法,也可以先去掉被除数和除数末尾相同个数的0,再计算.(如160÷20=)① 想:20×8=160,所以160÷20=8.

②把160和20末尾的0各去掉一个，相当于算16÷2=8，所以160÷20=8. 理由见“商不变规律”

5、 “除以”和“除”的不同： 读法、意思有不同，常作为考点

6、 除法估算的方法：根据被除数和除数的特点，先把不是整十数或几百几十的数看成与它接近的整十数或几百几十数，再计算。

7、 除数是整十数的笔算除法分为五步：一看，确定商的位置;二试，确定首先商几;三乘减，把商和除数乘起来再用被除数来减乘积;四比，比除数和余数的大小，余数一定要比除数小;五落，把被除数的个位落下来。

8、 除数接近整十数的除法，一般按“四舍五入”法把除数看作和它接近的整十数来试商。用四舍法试商，商容易偏大，要把商调小;用五入法试商，商容易偏小，要把商调大。

9、 除数不接近整十数的除法，既可以按照四舍五入法试商，也可以采取把除数看作和它接近的几十五的方法来试商。

一二丢，八、九收;四六当五来动手

四舍商大减去一;五入商小加一好

同头无除商八、九;除数折半商四五

11、 除数是两位数的除法的计算方法：

(1)从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果它比除数小，再试被除数的前三位;

(2)除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面;

(3)每次除后余下的数必须比除数小。

最后根据竖式补充完横式，注意要写余数。

12、 直接判断商是几位数的方法：

三位数除以两位数，比较被除数的前两位与除数的大小，除数大商就是一位数，除数小商就是两位数。

典型考题：□38÷53，要使商是一位数/两位数，□可以填几?

13、 商的变化规律：

(1)在除法算式中，除数不变，被除数乘以(或除以)几(0除外)，商也要乘(或除以)几。

(2)在除法算式中，被除数不变，除数乘以(或除以)几(0除外)，商反而要除以(或乘以)几。

(3)在除法算式中，被除数和除数同时乘以(或除以)相同的数(0除外)，商不变。这叫做“商不变规律”(或商不变性质)。简便记法：“被除数不变时，除数和商是反向变化的，其余都是同向变化的”

14、 运用商不变规律简化竖式：

当被除数和除数末尾都有0时，可以运用商不变规律简化竖式，在被除数和除数末尾划掉相同个数的0，按照划掉0后的竖式进行计算，得出的余数如果不是0，还要再添上0，原来各去掉几个就添上几个

先将除数看成近似的整十数，再将被除数看成除数估成的整十数的倍数，以此估算出商。

15、 笔算除法验算的方法：

笔算除法的验算一定要用乘法，不可用除法验算!

用除数与商相乘，再加上余数，看是否等于被除数。

16、 解决问题应当注意的要点：

单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×工作时间=工作总量

总价÷数量=单价 路程÷时间=速度 工作总量÷工作时间=工作效率

总价÷单价=数量 路程÷速度=时间 工作总量÷工作效率=工作时间

其中速度单位是常考点，如：

叔叔开车从A地送货到B地，去时每小时行60千米，用了5小时，回来时少用了2小时，回来时的平均速度是多少?

解决方法：①求回来的平均速度，速度=路程÷时间

先算出两地路程，也就是去时的路程，同时也是回来时的路程

再算出回来时的时间 ：5-2=3(小时)

最后算出回来时的速度，注意速度单位 ： 300÷3=100(千米/时)

例题：4箱蜜蜂一年可以酿300千克蜂蜜。小林家养了这样的蜜蜂12箱，一年可以酿多少千克蜂蜜?

解法一： 可以先算出每一箱蜜蜂一年可以酿多少蜂蜜

再算12箱蜜蜂一年可以酿多少蜂蜜 75×12=900(千克)

解法二： 也可以算12箱是4箱的几倍 12÷4=3 倍数作为单位不用写出来

再算出同样时间内蜜蜂能酿出的蜂蜜 300×3=900(千克)

(3)最优方案(用同样的钱买最多的商品) 课本80页第19题

解决方法： 先看哪种方案更优，尽量使用这种方案来买，最后如果有剩余再考虑其他方案

例题： 商场卖衬衫，一件29元，两件49元，老师有185元，最多可以买多少件?还剩几元?

解决方法：比较两种方案，“两件49元”的更便宜(一件只要不到25元)，所以先尽量用“两件49”的方法买，可以买3套(共6件)，算式为185÷49=3(套)……38(元)，2×3=6(件)，发现最后的余数还可以买一件29元的，38-29=9(元)，6+1=7(件)。所以最后可以买到7件，剩余9元。

统计表和条形统计图都可以清楚地表示出数量的多少，但条形统计图比统计表更形象直观。更能看出数据之间的关系。

1、 条形统计图常用1格代表2个单位，有时还要用半格来代表1个单位。如果要表示的数据比较大，可以用一格代表5个单位或更多的单位，一个代表几个单位，要根据具体情况来确定，这样比较方便。

2、 由统计表画统计图的步骤和注意要点：

(1) 观察表中项目，确定数据项(一般为数量)和类别项(小组名称、年份、时间等)

(2) 确定横纵轴、刻度以及图的类型(横向或纵向)。

(3) 画条形，标数据，注意条形的高度要符合刻度，纵向统计图的顺序是从左往右，横向统计图的顺序是从下往上。

(4) 添上图例，根据图例补充完条形的条纹以示区别。

(6) 检查要素是否齐全。

4、学会统计图中提取信息，发现问题，进行合理的判断、预测和决策，并能解决生活中的简单问题。

第八单元 【数学广角】

1、 解决合理安排时间问题需要按以下步骤进行：

(1)明确完成一项工作要做哪些事情。

(2) 知道每项事情各需要多长时间。

(3) 明确先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做就尽量同时做，这样最省时间。

在每次只能烙两张饼，两面都要烙的情况下：

①烙3张饼：先烙1，2号饼的正面，接着烙1号饼的反面和3号饼的正面，最后烙2，3号饼的反面。

②烙多张饼：如果要烙的饼的张数是双数，2张2张的烙就可以了，如果要烙的饼的张数是单数，可以先2个2个的烙，最后3张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。

饼个数×2÷同时可以烙的个数=需要烙多少次

需要烙多少次×每一面的时间=至少需要的时间

公式： 烙饼所需的最短时间=烙饼张数×烙每面饼所需的时间(烙一张除外)

例如 烙5张饼的时间，每面要烙3分钟， 5×3=15(分)

烙8张饼的时间，每面要烙3分钟， 8×3=24(分)

3、田忌(对策论)：解决同一问题可以用不同的策略，要学会寻找最优方案。在与对方比赛时，要选择一个利多弊少的最优策略，从而获得胜利。

田忌用下等马对齐王的上等马，用上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马。三场两胜，田忌胜出。

提高课堂效益,就是在有效的时间内通过师生的默契配合,形成合力,从而达到取得最佳教学效果,让学生在最短的时间内获得最大的收获。今天，朴新小编给大家带来小学四年级数学。

从实际出发,让学生感受自身价值

首先让学生懂得,他们的一言一行、方方面面,无不体现着自身价值。把好的方面展示给大家,得到大家的认可,是让人多么高兴的事啊!从现在开始,你们按照我的要求去做用不了多长时间,你们的进步会很大,进步就说明你们的价值提高了。

教师健康的情绪、积极的情感是产生课堂良好气氛的前提条件。因为情绪、情感具有感染性。为此,教师从走进教室的那一刻起,所有注意力都应集中到学生身上,用热情亲切的目光环视学生,向学生问好宣布“上课”,每说一句话都得认真投入情感。课堂上教师的高度投入,会使学生受到潜移默化的影响,积极主动地参与学习,而学生的积极参与又使教师不断调整教学行为,以适合学生主动参与的情绪状态,创设良好的教学氛围和最佳的教学环境。

学生和学生之间形成和谐、融洽的关系,能使学生在良好的交往中逐渐养成自尊、自爱、自信、自强,真诚与他人友好相处的优良品质。在课堂教学中,组织学生进行合作学习,满足学生的心理需要,学生在小组讨论中发表自己的看法,交流自己的见解,拓展思维,既提高语言表达能力,又培养了学生的合作精神。在合作学习中互相帮助、互相激励,大大提高了课堂效益。

采用游戏教学方法,激发学生的学习兴趣

在课堂上,教学方式应该是形式多样、丰富多彩的。教学方式多种多样有机地结合在一起,为学生提供动手实践、自主探究和合作交流的时间和空间。在教学中,我实行“低起点,多归纳,勤练习,快反馈”的课堂教学方法。在课堂教学中尽量做到“生生互动,师生互动”。俗话说“教无定法,贵在得法。”只要能激发学生的学习兴趣,提高学生学习积极性的方法就都是好方法。

四年级数学上册知识点相关：