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偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数),(zyxfu 例如，例如，处，处，在在 ),( zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx

之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情

4、,02;xxfyxffx 23,0,212,2,02yyfxyffy YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续。连续。连续。连续。偏导数存在偏导数存在 连续连续. .例例如如在在点点YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如

5、图如图xTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念几何意义几何意义: : 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的轴的斜率斜率. 偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴的轴的斜率斜率.YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念二、全微分的定义二、全微分的定义),(),(yxfyxxf x

6、yxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念全增量的概念全增量的概念).,(),(yxfyyxxfz YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念全微分的定义全微分的定义.

YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在例如，例如，2222220( , ).00 xy

即即0说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。分存在。YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念证证),(),(yxfyyxxfz

全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.uuududxdydzxyz则则通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的之和这件事称为二元函数的微

yyfxyfxyxfxyyxy 2 考考察察极极限限YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念 000030,xyxy（ ）如如果果上上式式极极限限为为 ，则则在在点点可可微微，如如果果极极限限不不存存在

15、在，则则在在点点不不可可微微。练习练习 sin,0,0,0 xyxyxyfx yxy 设设 ,0 0fx y证证明明在在， 点点可可微微。YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续

设设若若及及在在点点都都连连续续，则则证明：证明：作辅助函数作辅助函数 ,.x yyx yx yfxx yfx y 而而其其中中,xy由由于于 是是固固定定的的，所所以以对对 应应用用中中值值定定理理 有有YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全

18、微分的概念 111,yyyx yyyfxx yyfx yy 其其中中0 1.0 1.x对对 再再用用一一次次中中值值定定理理，就就有有 212,01yxfxx yyx y xyxy如如果果在在上上述述过过程程中中改改变变关关于于 和和 的的顺顺序序，即即先先对对后后对对 施施行行同同样样的的手手续续，可可得得YunnanUniversity1.