第1篇：二元一次方程组同步练习题

导语：二元一次方程组是初中数学的一个知识点。下面，是小编收集来的二元一次方程组同步练习题，希望大家能够通过做题来巩固基础！

1、是方程组的解…………（）

2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（）

3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（）

4、方程组，可以转化为（）

6、若x+y=0，且|x|=2，则y的值为2…………（）

7、方程组有唯一的解，那么m的值为m≠-5…………（）

8、方程组有无数多个解…………（）

9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组…………（）

10、方程组的解是方程x+5y=3的解，反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解………（）

12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则（）

13、任何一个二元一次方程都有（）

（a）一个解；（b）两个解；

（c）三个解；（d）无数多个解；

14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）

（a）5个（b）6个（c）7个（d）8个

15、如果的解都是正数，那么a的取值范围是（）

（a）a<2；（b）；（c）；（d）；

16、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（）

（a）2；（b）-1；（c）1；（d）-2；

17、在下列方程中，只有一个解的是（）

18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）

19、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

20、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）

21、若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于（）

（a）（b）（c）1（d）-1

22、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）

（a）无解（b）有唯一一个解

（c）有无数多个解（d）不能确定

24、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（）

若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；

28、若是方程组的解，则；

47、*、乙两人在解方程组时，*看错了①式中的x的系数，解得；乙看错了方程②中的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；

49、代数式ax2+bx+c中，当x=1时的值是0，在x=2时的值是3，在x=3时的值是28，试求出这个代数式；

50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a的值。

51、当a、b满足什么条件时，方程(2b2-18)x=3与方程组都无解；

53、m取什么整数值时，方程组的解：

（2）是正整数？并求它的所有正整数解。

54、试求方程组的解。

五、列方程（组）解应用题

55、汽车从*地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求*、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？

56、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？

57、*、乙两人练习赛跑，如果*让乙先跑10米，那么*跑5秒钟就可以追上乙；如果*让乙先跑2秒钟，那么*跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？

58、*桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入*桶，*桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把*桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则*桶剩下的水恰好是*桶容量的，求这两个水桶的容量。

59、*、乙两人在a地，*在b地，他们三人同时出发，*与乙同向而行，*与*、乙相向而行，*每分钟走100米，乙每分钟走110米，*每分钟走125米，若*遇到乙后10分钟又遇到*，求a、b两地之间的距离。

60、有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的是11的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。

一、1、√；2、√；3、×；4、×；5、×；6、×；

7、√；8、√；9、×；10、×；11、×；12、×；

53、（1）m是大于-4的整数，（2）m=-3，-2，0，，，；

五、55、a、b距离为450千米，原计划行驶9.5小时；

56、设女生x人，男生y人，

57、设*速x米/秒，乙速y米/秒

58、*的容量为63升，乙水桶的容量为84升；

59、a、b两地之间的距离为52875米；

60、所求的两位数为52和62。

第2篇：解二元一次方程组初二上册数学课后同步练习题

第3篇：初一下册数学同步练习第八章二元一次方程组课时测试题

1.下列方程中，是二元一次方程的是()

2.下列方程组中，是二元一次方程组的是()

a.有且只有一解b.有无数解c.无解d.有且只有两解

5.下列各式，属于二元一次方程的个数有()

6.某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有()

16.二元一次方程组的解x，y的值相等，求k.

17.已知x，y是有理数，且

18.根据题意列出方程组：

(1)明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚?

(2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放;若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼?

8.2解二元一次方程组——代入消元

1.用代入法解方程组时，代入正确的是()

初一数学同步练习;下册第八章二元一次方程组单元测试题

一、用代入法解下列方程组

二、用加减法解下列方程组

三、选择适当的方法解方程组

四、列二元一次方程组解下列应用题

1、加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一第二道工序所完成的件数相等。

2.某班去看演出，*种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名同学购票恰好用去750元，*乙两种票各买了多少张?

3.一条船顺流航行，每小时行20km;逆流航行;每小时行16km，求轮船在静水中的速度与水的速度。

4.运输360吨化肥，撞在了6节火车皮与15辆汽车;运输440吨化肥，撞在了8节火车皮与10辆汽车，每节火车皮与每辆汽车平均各装多少吨化肥?

三、用代入法解下列方程组

8.2解二元一次方程组——加减消元

(1)用加减法解方程组应用()

c.②-①消去常数项.d.以上都不对.

(2)方程组消去y后所得的方程是()

3.已知方程组两个方程只要两边就可以消去未知数。

4.已知方程组两个方程只要两边就可以消去未知数。

三、用加减法解下列方程组

11、代数式,当时，它的值是7;当时，它的值是4，试求时代数式的值。

12、求满足方程组中的值是值的3倍,求的值，并求的值.

一个长方形的长减少10?，同时宽增加4?，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等，求原长方形的长、宽各是多少。

8.2解二元一次方程组——综合拓展训练

1.在方程中,若,则.若,则;

6.对于方程组,是二元一次方程组的为()

7.若是方程的一个解,则等于()

9.已知满足方程组,则的值为()

16、若，是方程组的一组解，求m的值。

8.3实际问题与二元一次方程组(一)

1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为

2、*乙两数的和为10，其差为2，若设*数为x，乙数为y，

3、《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3;若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?

4、一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角。3种包装的饮料每瓶各多少元?

5、2辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨，3辆大卡车和2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80吨，那么1辆大卡车和1辆小卡车各运多少吨垃圾。

8.3实际问题与二元一次方程组(二)

1、若两个数的和是187,这两个数的比是6:5,则这两个数分别是___________.

2、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套?

3、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳?

4、某校体*队和篮球队的人数是5:6，排球队的人数比体*队的人数2倍少5人，篮球队的人数与体*队的人数的3倍的和等于42人，求三种队各有多少人?

5、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨?原计划每天运输多少吨?

6、某中学组织七年级同学到长城春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;如果租用60座客车,则多出1辆,且其余客车恰好坐满,已知45座客车日租金为每辆220元,60座客车日租金为每辆300元,试问:(1)七年级人数是多少?原计划租用45座客车多少辆?(2)要使每个同学都有座位,怎样租车更合算?

8.3实际问题与二元一次方程组(三)

1、某学校现有学生数1290人，与去年相比，男生增加20%，女生减少10%，学生总数增加7.5%，问现在学校中男、女生各是多少?

2、某公园的门票价格如下表所示：

购票人数1人～50人51～100人100人以上

票价10元/人8元/人5元/人

某校八年级*、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中*班有50多人，乙班不足50人。如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元;如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。问：*、乙两个班分别有多少人?

3、*运输公司决定分别运给a市苹果10吨、b市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从*运输公司运1吨苹果到a、b两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到a、b两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运?

4、某班同学去18千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，*组先乘车、乙组步行。车行至a处，*组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求a点距北山站的距离。

5、已知*、乙两种商品的原价和为200元。因市场变化，*商品降价10%，乙商品提高10%，调价后*、乙两种商品的单价和比原单价和提高了5%。求*、乙两种商品的原单价各是多少元。

6、现有a、b、c三箱橘子，其中a、b两箱共100个橘子，a、c两箱共102个，b、c两箱共106个，求每箱各有多少个?

8.4三元一次方程组的解法

3.判断是否是三元一次方程组的解______.

二、解下列三元一次方程组

二、解下列三元一次方程组

12.*、乙、*三个班的学生共植树66棵，*班植树的棵数是乙班植树棵数的2倍，*班与乙班植树棵数比为2∶3，求三个班各植树多少棵?

13.三个数的和是51，第二个数去除第一个数时商2余5，第三个数去除第二个数时商3余2，求这三个数.

3.有这样一个数学题：在等式中，当x=1时，y=1;当y=3时，y=9，当x=5时，y=5.

(1)请你列出关于a,b,c的方程组.这是一个三元三次方程组吗?

4.*、乙两位同学解方程组，*解得正确*为，乙因抄错了c的值，解得，求的值

5.学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2:3，三种

6.某足球联赛一个赛季共进行26场比赛(即每队均赛26场)，其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分.某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分.这个队在这个赛季中胜、平、负各多少场?

7.某城镇邮局对*、乙两个支局的报刊发行部2003年度报纸的发行量进行了统计，并绘成统计图，如下：请根据上面的统计图反映的信息，回答问题：新课标第一网

(1)哪个支局发行《齐鲁晚报》的份数多?多多少?

(2)已知*、乙两个支局的服务的居民分别是11280户、8600户，哪个居民区住户订阅报纸的份数多?试说明理由。

8.去年我国遭受到*型肺炎传染*疾病的巨大灾难，全国*万众一心，众志成城，抗击“*”下图(1)是某市某中学“献爱心，抗*”自愿捐款活动中学生捐款情况制成的条形图，图(2)是该中学学生人数比例分布图。该校共有学生1450人。

(1)九年级学生共捐款多少元?

(2)该校学生平均每人捐款多少元?

第八章《二元一次方程组》单元检测题(一)

一、选择题(每题3分，共18分)

1、表示二元一次方程组的是()

3、方程组，消去后得到的方程是()

5、设方程组的解是那么的值分别为()

6、方程的正整数解的个数是()

二、填空题(每题3分，共18分)

9、如果是一个二元一次方程，那么数=___，=__。

10、购面值各为20分，30分的邮票共27枚，用款6.6元。购20分邮票_____枚，30分邮票_____枚。

11、已知是方程的两个解，那么=，=

12、如果是同类项，那么=，=。

三、用适当的方法解下列方程(每题6分，共36分)

四、列方程解应用题(每题7分，共28分)

19、初一级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位;如果每辆汽车坐60人，那么空出1辆汽车。问一工多少名学生、多少辆汽车。

20、某校举办数学竞赛，有120人报名参加，竞赛结果：总平均成绩为66分，合格生平均成绩为76分，不及格生平均成绩为52分，则这次数学竞赛中，及格的学生有多少人，不及格的学生有多少人。

21、有一个两位数，其数字和为14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大18则这个两位数是多少。(用两种方法求解)

22、*乙两地相距20千米，a从*地向乙地方向前进，同时b从乙地向*地方向前进，两小时后二人在途中相遇，相遇后a就返回*地，b仍向*地前进，a回到*地时，b离*地还有2千米，求a、b二人的速度。

第八章《二元一次方程组》单元检测题(二)

一、选择题：(每题3分，共30分)

1、下列各方程组中，属于二元一次方程组的是()

3、若是二元一次方程组的解，则这个方程组是()

4、某年级共有246人，男生人数比女生人数的2倍少2人，问男、女生各有多少人?若设男生人数为x人，女生人数为y人，则()

5、下列说法正确的是()

a、二元一次方程只有一个解

b、二元一次方程组有无数个解

c、二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解

d、三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成

6、在方程中，用含的代数式表示，则()

8、方程2x+y=9在正整数范围内的解有()

9、在解方程组时，*同学因看错了b的符号，从而求得解为;乙同学因看漏

了c，解得，则a+b+c的值应为()

10、在某校举办的足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某班足球队参加了

12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，为求此胜几场和平几场.设这支足球队胜x场，平y

场.根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是()

二、填空题：(每题3分，共30分)

14、若方程组与方程组同解，则m=___

17、请你写出一个二元一次方程组，使它的解为，这个方程组是_________.

18、若方程组的解和的值相等，则=.

19.写出二元一次方程3x+y=9的所有正整数解是

20.小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和，则这两个数分别为().

三、解答题：(共40分)

21、解下列方程组：(每题5分，共20分)

22、用16元买了60分，80分两种邮票共22枚。60分与80分的邮票各买了多少枚?(6分)

23、(本题8分)先阅读，然后解方程组.

解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：

24、《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从树上飞下去一只，则树上，树下的鸽子就一样多了。”你知道树上，树下各有多少只鸽子吗?(8分)

25.(8分)某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表.

为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施.一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房.若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间?

初一数学同步练习：下册第九章不等式与不等式组课时测验题

2.下列不等关系中，正确的是()

c、x与1的和是非负数可表示为x+1>0d、m与4的差是负数可表示为m-4<0

4.下列说法错误的是()

6.满足不等式x-1≤3的自然数是()

a、1，2，3，4b、0，1，2，3，4c、0，1，2，3d、无穷多个

8.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为p、q、r、s，如图3所示，则他们的体重大小关系是()

9.如果一个三角形的三条边长分别为5，7，x，则x的取值范围是______________.

14.三个连续正整数的和不大于12，符合条件的正整数共有________组.

15.根据下列的数量关系，列出不等式

(1)x与1的和是正数

(3)x的与x的2倍的和是非正数

(5)x除以2的商加上2，至多为5

(6)a与b的和的平方不小于2

16.根据等式和不等式的基本*质，我们可以得到比较两个数大小的方法：若a-b>0，则a>b;若a-b=0，则a=b;若a-b<0，则a

1.“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是()

2.在数轴上表示不等式≥-2的解集，正确的是()

4.如果则下列各式中一定正确的是()

机器学习的训练过程可以理解为一个统计过程，即已知数据求数据服从哪种分布的过程；而机器学习的预测过程可以理解为一个概率问题，即已知数据分布后对一个实例求概率，通过概率最大化得到最可能的预测值。而机器学习的训练过程往往转化为参数优化问题（在合理的假设下，给定历史数据，期望求得数据服从哪种分布，是一个参数估计的过程），这时就与代数、高数关系密切。因此，统计、概率、代数、高数将贯穿于机器学习的整个过程中，在后续的算法介绍中您将逐步感受到它们的影子。

深度学习的理念：一种端到端的学习方式，即让算法自动完成特征工程的工作，然后进行模型训练。

• 机器学习的建模流程：数据清洗、特征工程、模型训练与参数优化、模型上线运行；
• 深度学习的建模流程为数据清洗、模型训练与参数优化、模型上线运行。可见，深度学习去掉了特征工程的部分。
• 两者区别总结：深度学习是机器学习的一个分支；深度学习主要是DNN网络、CNN网络、RNN网络、LSTM网络及相互结合而形成的混合网络；不同结构类型的数据源用不同的网络模型，在实际应用中须结合数据源结构类型与任务需求合理取舍。
• 深度学习模型更适合完成图像、视频数据和时序数据的建模，实际应用中的大部分任务也都是由CNN和LSTM模型相互配合来完成的。现在，nlp和图像上都流行transformer！（基于self-attention）

在机器学习任务中，针对不同输入结构的输入数据，采用不同的机器学习方法。

• 独立同分布数据：独立同分布类数据是指样本间在时间上没有相互关联，每个样本的行为不受其他样本影响。机器学习中的大部分方法都是为了解决这种独立同分布的数据而提出的，而且建模的假设就是认为样本是独立同分布的，如线性回归模型、决策树、支持向量机模型、神经网络模型等。深度学习的DNN网络可以很好地完成建模任务。在独立同分布数据中，传统的机器学习和深度学习应用没有本质区别。

• 时序数据：时序数据与独立同分布数据相反，样本间有较强的关系。但这种相关只是在时间上的相关，即当前样本的状态与历史的一个或多个状态有关，样本间不是相互独立的。

  股票数据当前的价格与历史的价格有很强的相关性，不能将其看作是样本无关的数据。另外，文本数据也是样本相关的，某一个单词与左右相邻的单词强相关，这里通常称为上下文相关。

  • 传统的机器学习中处理时序数据的方法有ARMA模型和HMM模型。
  • 为了能够采用支持向量机、Xgboost等模型，需要将原始的时序数据进行重构，使其满足独立同分布的数据特点。为了保证模型的预测效果，往往需要复杂的特征工程提取时间切片相关特征并需要行业知识的支持加粗样式，比如窗口切片的统计特征有均值、方差、峭度和偏度等。
  • 深度学习模型在处理时序数据时会比传统的方法好很多。在深度学习中用RNN网络和LSTM网络处理时序数据。并且不需要人工特征工程，其模型可以自行提取特征，实现端到端的学习过程。

    RNN网络考虑到HMM模型在计算当前状态时只考虑一阶历史信息的问题而进行了改进，该网络会考虑更多的历史状态（甚至是全部的历史状态）来确定当前状态。但是由于RNN没有遗忘功能，过早的历史信息对当前的状态已经没有影响。LSTM网络，增加了模型的遗忘功能，使模型可以有选择性地记住更有用的特征。LSTM模型的简化模型GRU模型，同时在处理文本数据时增加了上下文关联性的考虑而提出了双向GRU等模型。

  • 在LSTM模型中加上Attention机制，在时序数据的表现中非常优异。

机器学习的建模流程：数据清洗、特征工程、模型训练与参数优化、模型上线运行

模型选择是在某个模型类中选择最好的模型，而模型评价对这个最好的模型进行评价。模型评价阶段不做参数调整而是客观地评价模型的预测能力。

主流方法有ROC曲线、KS曲线两种。
roc曲线由命中率（真阳率tpr）和假阳率fpr绘制，横坐标为fpr，纵坐标为tpr。

TPR考虑的是第一行，实际都是正例，FPR考虑的是第二行，实际都是负例。

一个优秀的客户流失预警模型，命中率（TPR）（召回率）应尽可能高，即能尽量揪出潜在流失客户，同时假警报率（FPR）应尽可能低，即不要把未流失客户误判为流失客户
我们希望在阈值相同的情况下，假警报率尽可能小，命中率尽可能高，即ROC曲线尽可能陡峭，其对应的AUC值（ROC曲线下方的面积）尽可能高。
真正例率是在所有正例中，你将多少预测为了正例，这是你希望最大化的，也可以看作收益；假正例率是在所有负例中，你又将多少预测为了正例，这是你希望最小化的，也可以看作代价。

对每一类别的f1_score进行加权平均, 权重为各类别数在y_true中所占比例。

商业实战中应用广泛，如信用卡评分模型。

根据特征变量的个数可将线性回归模型分为一元线性回归和多元线性回归。
拟合的目的是使残差平方和尽可能小，即实际值和预测值尽可能接近。
数学上通过最小二乘法和梯度下降法来求解系数。

通过对残差平方和进行求导（对a和b进行求导），导数为0时，该残差平方和将取极值，此时便能获得拟合需要的系数a和截距b了。

代码：查看系数、常数项

常用： R 2 R^2 R2（R-squared）来衡量线性拟合的优劣，P值用来衡量特征变量的显著性。
R 2 R^2 R2取值范围是0~1，越接近1则拟合程度越高。

• 可解释性强、建模速度快

• 主要针对线性数据，局限性较大

评估事件发生概率的分类模型，适用于计算二分类问题。

前提假设是样本符合伯努利分布（离散型机率分布）。很少直接将连续值作为逻辑回归模型的特征输入，而是将连续特征离散化为一系列0、1特征交给逻辑回归模型。

假设数据服从伯努利分布，通过极大似然函数，运用梯度下降来求解参数，来达到数据二分类的目的。

逻辑回归就是线性回归+sigmoid进行非线性转换，得到一个0~1之间的 概率值。

离散特征的增加和减少都很容易，易于模型的快速迭代。

离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性，能增强泛化能力

特征离散化以后，起到了简化了逻辑回归模型的作用，降低了模型过拟合的风险

在逻辑回归里，应用到sigmoid函数作为预测函数，将ax+b加权和（在线性回归基础上）映射到0-1的范围空间里。在进行分类判断时，设定一个概率的阈值，大于阈值则样本预测值为1，小于阈值则样本预测为0。

线性回归优化目标函数用的最小二乘法

最小二乘法：误差平方和最小

目标函数利用**极大似然估计法（对数似然函数作为损失函数），结合梯度下降法**来估计逻辑回归的参数。

极大似然估计：利用已知样本信息结果，反推最有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值（模型已定，参数未知）

• 模型输出即为样本的概率分布、构建的模型可解释性高
• 不需要太多变量，比较稳定，但是有时不够精确

• 预测结果呈S型分布，两端的概率变化非常小，中间的概率变化十分剧烈，难以找到阈值；

• 拟合能力不好；只能处理线性可分类的问题

• 二分类领域，得出概率值，适用于根据分类概率排名的领域，比如搜索排名
• 实际应用：广告点击行为预测、借款人评估、测量市场营销的成功度、预测某个产品的受益、特定的某天是否会发生地震、客户流失预警
• 商业实战中常以基于逻辑回归的评分卡模型为基础（稳定性强，半年到一年更新一次，但不够精确，KS值不够大），再结合决策树等树模型（不太稳定，可能要一个月更新一次，但拟合度强，区分度高，可以在第一拨快速去掉违约人员）。

连续变量不同样本下的分布情况。
离散变量，观察变量的每个可能取值的分布情况，即占比信息；还可以计算每个可能取值下的坏样本率，即哪个可能的取值下更容易出现违约情况。

在实际工作中获取到的数据往往不那么理想，可能会存在非数值类型的文本数据、重复值、缺失值、异常值及数据分布不均衡等问题。

离散变量分为可排序和不可排序变量。

（1）带权值的损失函数

在算法实现过程中，对于分类中不同样本数量的类别分别赋予不同的权重（一般思路分类中的小样本量的类别权重高，大样本量的类别权重低），然后进行计算和建模。

• 第二种是在调用fit函数时，通过sample_weight来自己调节每个样本权重。

很好的说明：如果给定参数‘balanced’，则使用y的值自动调整与输入数据中的类频率成反比的权重。

基尼指数反映了从数据集中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率。基尼指数代表了模型的不纯度，
基尼系数越低表示系统的混乱程度越低，区分度越高，特征越好，越适合用于分类预测。这和信息增益（率）正好相反

• 决策树生成：通常是利用信息增益最大、信息增益比最大、Gini 指数最小作为特征选择的准则。从根节点开始，递归的生成决策树。相当于是不断选取局部最优特征，或将训练集分割为基本能够正确分类的子集；

• 对决策树进行剪枝优化，预防树的过拟合，增强泛化能力。构建决策树的损失函数，将每一个叶子节点回缩到上一层父节点，对损失函数最小的叶节点进行修剪。

  预剪枝（边建立、边剪枝）：在构造过程中，对每个节点在划分前先进行评估，当某个节点满足剪枝条件，则直接停止此分支的构造。可以控制树的深度（最常），叶子节点个数、叶子节点样本数、信息增益量等。

  后剪枝：先从训练集生成一颗完整的决策树，然后自底向上对非叶节点进行考察，若将该节点对应的子树替换为叶节点，能带来泛化性能的提升，则将该子树替换为叶节点。/p/
  

  • 精度更高（二阶泰勒），二阶导数有利于梯度下降的更快更准
  • 更灵活，支持CART、线性分类器、支持自定义损失函数
  • 加入了正则项来控制模型复杂度（包含了树的叶子节点个数、叶子节点权重的 L2 范式）。降低了模型的方差，有助于防止过拟合
  • 借鉴RF，支持列抽样，降低过拟合，减少计算。（训练的时候只用一部分特征）

  • 先不处理那些值缺失的样本，采用那些有值的样本搞出分裂点，在遍历每个有值特征的时候，尝试将缺失样本划入左子树和右子树，选择使损失最优的值作为分裂点。

  • 支持并行——在特征粒度上的并行。XGBoost在训练之前，预先对数据进行了排序，然后保存为block结构，后面的迭代中重复地使用这个结构，大大减小计算量。在进行节点的分裂时，需要计算每个特征的增益，最终选增益最大的那个特征去做分裂，那么各个特征的增益计算就可以开多线程进行。

    决策树的学习最耗时的一个步骤就是对特征的值进行排序（因为要确定最佳分割点）

  • 虽然预排序可以降低寻找最佳分裂点的计算量，但是在节点分裂过程中仍要遍历数据集
  • 预排序过程的空间复杂度过高

• gdbt仅使用了目标函数一届泰勒展开，而xgboost使用了二阶的泰勒展开，能加快收敛速度
• xgboost采用了子采样、列采样，gdbt每轮迭代使用全部数据。
• gdbt采用cart作为基分类器，xgb支持多种类型的基分类器。
• xgboost通过预排序的方式来实现特征并行，提高模型训练效率

XGBoost预先将每个特征按特征值排好序，存储为块结构，分裂结点时可以采用多线程并行查找每个特征的最佳分割点，极大提升训练速度。

• 对于最终结果而言，分类时，rf采用多数投票，xg是将所有结果累加or加权累加。（xgb本质上是回归算法）
• rf对异常值不敏感；xgboost对异常值很敏感。？
• rf对训练集的数据权重一样，xgboost由于基于gdbt，所以是基于权值的弱分类器的集成
• rf通过减少样本方差提高性能，xgb通过减少模型偏差提高性能。
• xgboost也支持列抽样，相对比随机森林效果更好。
• xgboost在更大数据量更多特征上比随机森林效果更好。

数据预处理对于XGBoost的重要性

对于XGBoost模型而言，很多预处理都不是必要的，例如缺失值，XGBoost模型会自动处理，它会通过列举所有缺失值在当前节点是进入左子树还是右子树来决定缺失值的处理方式。
因为XGBoost模型是基于决策树模型的，所以像线性回归等模型需要的特征变换（如离散化、标准化、取log、共线性问题处理）等预处理工作，XGBoost模型都不太需要，这也是树模型的优点之一。（对共线性不敏感，不需要特征标准化）。节省了很多特征工程时间。

客户价值预测（线性回归）

客户价值预测就是预测客户在未来一段时间可以带来多少利润。
利润可能来自：信用卡年费、取现手续费、分期手续费、境外交易手续费
特征：历史贷款金额、贷款次数、月收入、学历、性别

信用卡额度预测（回归）
信用评分卡模型（XGBoost）：根据客户的信用历史资料构建信用评分卡模型给客户评分。根据客户的信用得分，可以预估客户按时还款的可能性，并据此决定是否发放贷款及贷款的额度和利率

历史授信额度、月收入、年龄、历史违约次数

通常会用到逻辑回归模型和决策树模型。
商业实战中常以基于逻辑回归的评分卡模型为基础（稳定性强，半年到一年更新一次，但不够精确，KS值不够大），再结合决策树等树模型（不太稳定，可能要一个月更新一次，但拟合度强，区分度高，可以在第一拨快速去掉违约人员）。

金融反欺诈模型（XGBoost）

客户换设备次数、在本次交易前的支付失败次数、换IP的次数、换IP国的次数及本次交易的金额

客户违约预测（LightGBM）：银行等金融机构经常会根据客户的个人资料、财产等情况，来预测借款客户是否会违约，以便进行贷前审核、贷中管理、贷后违约处理等工作。通过海量数据对客户进行风险评估并进行合适的借款利率定价，这便是一个典型的风险定价过程。

收入、年龄、性别、历史授信额度、历史违约次数

贝叶斯定理可以理解成下面的式子：

后验概率（新信息出现后的A概率）　＝　先验概率（A概率） ｘ 可能性函数（新信息带来的调整）

P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，也就是新信息B带来的调整，作用是将先验概率（之前的主观判断）调整到更接近真实概率。

朴素贝叶斯通过特征的概率来预测分类，模型是不需要调参的：

1. 训练分类器，计算输入的训练样本中，每个不同的分类类别在训练样本中出现的频率以及每个类别下各个特征属性出现的条件概率值。

   先计算先验概率P(类别)、可能性函数P(特征|类别) /P(类别)

2. 根据公式，计算在该样本出现的条件下，各个分类类别出现的概率，哪个概率最大，待分类的样本就属于哪个类别

   P(类别|特征) = 先验*可能性函数

   
   

朴素贝叶斯法对条件概率分布做了条件独立性的假设

假设特征之间相互独立，那么我们统计的时候，就需要在整个特征空间中去找，比如统计p(不帅、性格不好、身高矮、不上进|嫁)。由于数据的稀疏性，很容易统计到0的情况。 这样是不合适的。

• 主要用于文本分类（多分类）、垃圾邮件分类等

• 垃圾邮件过滤、翻译、搜索、中文分词；

• 投资策略；无人驾驶更新地图信息；

• 对数据（缺失数据）不敏感，算法简单易懂，常用于文本分类
• 对小规模数据表现很好，能够处理多分类问题
• 对大数量训练和查询的时候具有较高的速度，即使超大规模数据集，也会有相对较少的特征数，仅是特征概率的数学运算

• 分类决策存在错误率，相比于其他经典的机器学习模型，朴素贝叶斯模型的泛化能力稍弱（因为假设特征之间相互独立）
• 使用了样本属性的独立性假设，因此对于样本属性有关联时效果不好（在实际中不太容易成立，因此属性相关度小的时候性能最好）

高斯朴素贝叶斯：特征变量是连续变量，符合高斯分布。比如说人的身高、物体长度等。如果连续变量不是正态分布，需要先转为正态分布。

伯努利贝叶斯：特征变量是离散变量，符合伯努利分布（0/1分布）。在文本分类中特征变量体现在一个单词是否出现。

多项式朴素贝叶斯：特征变量是离散变量，符合多项式分布。在文档分类中特征变量体现在一个单词出现的次数，或者是单词的 TF-IDF 值等。是一种典型的文本分类模型。

二分类模型，求解出正确划分数据集并且找出几何间隔最大的超平面。对于一个线性可分的数据集来说，这种超平面有无数多个，但是几何间隔最大的超平面却是唯一的。

划分数据的决策边界叫做超平面。离这个超平面最近的点就是“支持向量”。点到超平面的距离叫做间隔。支持向量机的意思就是使得超平面和支持向量之间的间隔尽可能的大。这样才可以使两类样本准确分开。

超平面由法向量w和截距b决定。
距离该超平面最近的点（圈出来的点）就是支持向量

SVM的目标就是使得这个距离之和最大化，即||w||最小化。可以借助拉个朗日来计算极值，但是推理过程我不太了解。

线性可分：可以用一个线性函数把两类样本分开，比如二维空间中的直线、三维空间中的平面以及高维空间中的线性函数

线性不可分：指有部分样本用线性分类面划分时会产生分类误差的情况。

为什么要软间隔最大化？

因为如果训练数据线性可分，会存在无数个超平面，利用硬间隔最大化的原理可以得到唯一解。近似可分的时候，可以引入松弛变量，求解软间隔最大化学习到一个线性分类器，此为线性支持向量机。

需要核函数技巧（kernel trick）和软间隔最大化来学习非线性SVM

核函数把原始样本从现有空间映射到一个更高维的空间，使得样本在高位空间线性可分。

• 线性核：样本数量小于特征数，选择线性核。K(x,z)=x*z
• 高斯核：参数相对少，大样本or小样本都有很好的效果。优先使用高斯核or线性核。
• 样本数量大于特征数目，可以使用非线性核，将样本映射到更高的维度：如高斯核、多项式核
• 样本数量等于特征数量，也可以高斯核
• 多项式核：核参数较多。

• 少数支持向量决定了最终结果，对异常值不敏感！
• 计算复杂度取决于支持向量的数量，而不是样本空间的维度，避免了维度灾难。因此可以解决高维问题
• SVM是凸优化问题，求得的解是全局最优解而不是局部最优（相对于神经网络等算法）

• 主要用于二分类。多分类问题可以通过多个二分类在支持向量机来解决。
• 对非线性问题没有通用解决方案，有时候很难找到一个合适的核函数
• 对参数和核函数的选择比较敏感。

K近邻算法的原理非常简单：对于一个新样本，K近邻算法的目的就是在已有数据中寻找与它最相似的K个数据，或者说“离它最近”的K个数据，如果这K个数据大多数属于某个类别，则该样本也属于这个类别。KNN需要标准化。
数据标准化的常见方法有min-max标准化（也称离差标准化）和Z-score标准化（也称均值归一化）

1. 计算训练样本和测试样本中每个样本点的距离

2. 对所有距离进行排序（升序）

3. 选择前k个最小距离的样本

4. 根据这k个样本的标签进行投票，属于哪个分类的样本最多，则测试样本也属于哪个类

k值的选择取决于数据。

一般情况下，k值小的时候，只有与输入实例十分接近的训练实例才有效，因此近似误差小，估计误差大（噪声较大）；较大的K值，能够减小噪声的影响，但会使类别之间的界限变得模糊，导致近似误差大，但估计误差小。

k值大小选择没有理论最优，往往是结合k折交叉验证得到最优k值选择

• 可以回归也可以分类，可以用于非线性分类
• 对数据类型没有要求，对异常值不敏感
• 新数据可以直接加入数据集而不必重新训练

• 不适合解决样本不平衡问题，效果差，对稀有类别的预测准确率低

  有些类别样本数量很多，而其他样本数量很少

  因为KNN算法值考虑前k个最小距离内，哪类的样本数量最多，而不会将远近考虑在内。可以考虑用权重进行改进。

• 对于样本容量大/特征多的数据集计算量比较大（体现在距离计算上）

Kmeans是聚类的分类算法，

• 第一步：数据归一化、离群点处理，随机选择k个聚类质心

  变量量纲不一样会引起距离偏差，所以一定要归一化/标准化
  均值和方差大的维度将对数据的聚类产生决定性影响。
  样本间距离的计算方式可以是欧氏距离、曼哈顿距离、余弦相似度等。最常用的基于欧式距离的聚类算法（会受均值和方差影响）。

• 第二步：计算所有数据点离各个质心的距离，将每个样本划分到离自己最近的质心所属于的类，形成k个簇
• 第三步：重新计算每个簇的质心（中心点）

  质心横、纵坐标就是这一簇数据横、纵坐标的均值

• 重复第二步、第三步，直到簇不发生变化或达到最大迭代次数为止。
  1、随机选一个样本作为第一个簇中心。
  2、计算每个样本到最近簇中心的距离。
  3、以距离为概率随机选择下一个簇中心。
  4、重复步骤2和3，直到找到K个簇中心。

• 处理大数据集的时候效率高，速度快，适用于高维数据
• 调参的时候只要改变k一个参数n_cluster
• 算法原理简单，可解释性好
• 当簇近似高斯分布的时候，效果非常不错；

• K 值需要人为事先设定。
• 初始中心点的选择会在较大程度上影响聚类结果，因此需要多次随机选取初始值迭代（否则容易陷入局部最优，结果不稳定）；
• 不适合簇的大小、分布差别比较大的情况（比如不均衡样本），否则会出现均匀分割。

  客户分群的目的是每一组特征描述丰富详细，不同组间特征差异明显，但组内特征相似。
  它是一个计算距离的过程，主要是用欧式距离去解决。

  聚类不能有缺失值是因为它会拉偏质心，导致聚类不准；回归模型不支持缺失值是因为它使得有缺失值的变量失去了预测的作用。

  Noise）是一种以密度为基础的空间聚类算法，可以用密度的概念剔除不属于任一类别的噪声点。该算法将簇定义为密度相连的点的最大集合，将具有足够密度的区域划分为簇，并可以发现任意形状的簇
  

  1. 随机选取一个未分类的样本点
  2. 以该样本点为圆心，设定园内最小样本数m和半径r，对该样本点以半径r画圆。如果圆内的样本数量≥m，则把这些样本归位一类
  3. 选取圆内的其他样本点，按照设定的半径画圆。如果样本数少于阈值，则放弃该圆的绘制。直到没有可画的圆。将这些圆内的样本点分为一簇。
  4. 随机选择1个未分类的样本点，重复步骤2-3。如果没有可画的圆，算法终止，否则重复4。样本结束后还有为分类的样本点，这些样本点视为离群点

  
  画圆半径越小，圆内最小样本数越大，对于簇的产生越严格，密度要求越高，离群点越多。

• 可以识别出噪声点（离群点）
• 初始中心点选择不影响聚类结果

• 不适用于高维数据的聚类
• 不适用于密度会变化的数据的聚类

自底向上（A）：从下而上地合并cluster，具体而言，就是每次找到距离最短的两个cluster，然后进行合并成一个大的cluster，直到全部合并为一个cluster。整个过程就是建立一个树结构，类似于下图。

single/complete：选择两个cluster中距离最短/最长的一对数据点的距离作为类的距离。

• 不需要设定聚类个数，在树形对应层寻找就好。一次性地得到了整个聚类的过程，只要得到了上面那样的聚类树，想要分多少个cluster都可以直接根据树结构来得到结果
• 可以处理大小差别比较大的聚类问题，对cluster size不敏感

• 计算量比较大，因为要每次都要计算多个cluster内所有数据点的两两距离
• 效率很低，时间复杂度和空间复杂度高
• 局域最优，不一定就是全局最优

智能推荐基础：协同过滤算法

协同过滤算法的原理是根据用户群体的产品偏好数据，发现用户或物品之间的相关性，并基于这些相关性为用户进行推荐。根据原理的不同，协同过滤算法分为两类——基于用户的协同过滤算法和基于物品的协同过滤算法。

基于用户的协同过滤算法的本质是寻找相似的用户：通过一个用户的相关数据寻找与该用户相似的其他用户，进而为该用户推荐相似用户关注的产品。

基于物品的协同过滤算法的本质是寻找相似的物品：通过一个物品的相关数据寻找与该物品相似的其他物品，进而为关注该物品的用户推荐相似的物品。
在商业实战中，大多数应用场景偏向于使用基于物品的协同过滤算法。

用户的数量是非常庞大的（如淘宝的用户群体达数亿），而物品的数量则相对有限，因此，计算不同物品的相似度往往比计算不同用户的相似度容易很多。
用户的喜好较为多变，而物品的属性较明确，不随时间变化。物品的相似度比较固定。

欧氏距离、余弦值和皮尔逊相关系数。

基于欧氏距离衍生出的相似度公式

皮尔逊相关系数r是用于描述两个变量间线性相关强弱程度的统计量，取值范围为[-1，1]，为正值代表两个变量存在正相关，为负值代表两个变量存在负相关。
其中，COV（X，Y）为变量X和Y的协方差，D（X）和D（Y）分别为变量X和Y的方差。

置信度——一个条件概念，

关联分析最主要的目的是寻找 频繁项集

在神经网络模型中，常用来做非线性转换的激活函数有Sigmoid函数、Tanh函数、Relu函数

(0,1)，Sigmoid函数的导数f′（x）从0开始，很快就又趋近于0，所以在梯度下降时会出现梯度消失；而且Sigmoid函数的均值是0.5而非0，不利于下一层的输出。

(-1,1)，当x很大或很小时，导数f′（x）也会很接近0，同样有梯度消失的问题。但是Tanh函数的均值为0，这弥补了Sigmoid函数均值为0.5的缺点。

(0, +∞)，当输入为正数时，它可以弥补Sigmoid函数和Tanh函数的梯度消失问题，但是当输入为负数时，它仍然有梯度消失的问题。此外，Relu函数的计算速度比Sigmoid函数和Tanh函数要快一些

得物笔试：风控反欺诈聚类
属于一个欺诈团体的欺诈用户们，他们之间会存在一些关系，比如团体的用户之间可能会共用一个手机号。问如何对将欺诈团体的用户聚类？

高三数学知识点总结大全

　　总结是在一段时间内对学习和工作生活等表现加以总结和概括的一种书面材料，它可以提升我们发现问题的能力，是时候写一份总结了。那么你知道总结如何写吗？下面是小编整理的高三数学知识点总结，希望能够帮助到大家。

　　高三数学知识点总结1

　　高考数学必考知识点归纳必修一：

　　1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)

　　高考数学必考知识点归纳必修二：

　　1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

　　这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分

　　2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题

　　高考数学必考知识点归纳必修三：

　　1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

　　高考数学必考知识点归纳必修四：

　　1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

　　2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分。

　　高考数学必考知识点归纳必修五：

　　1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。

　　高考数学必考知识点归纳文科选修：

　　选修1--1：重点：高考占30分

　　1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)

　　1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。

　　高考数学必考知识点归纳理科选修：

　　选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数

　　选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。高考必考，10分2、随机变量及其分布：不单独命题3、统计：

　　集合与简单逻辑：5分或不考

　　函数：高考60分：①、指数函数②对数函数③二次函数④三次函数⑤三角函数⑥抽象函数(无函数表达式，不易理解，难点)

　　平面向量与解三角形

　　立体几何：22分左右

　　不等式：(线性规则)5分必考

　　数列：17分(一道大题+一道选择或填空)易和函数结合命题

　　平面解析几何：(30分左右)

　　计算原理：10分左右

　　概率统计：12分----17分

　　高三数学知识点总结2

　　考点一：集合与简易逻辑

　　集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等，二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。

　　考点二：函数与导数

　　函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数（一次和二次函数、指数、对数、幂函数）的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。

　　考点三：三角函数与平面向量

　　一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型、

　　考点四：数列与不等式

　　不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查、在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目、

　　考点五：立体几何与空间向量

　　一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：利用空间向量证明线面平行与垂直、求空间角等（文科不要求）、在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题，多为中档题。

　　一般有1~2个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等。

　　考点七：算法复数推理与证明

　　高考对算法的考查以选择题或填空题的形式出现，或给解答题披层“外衣”、考查的热点是流程图的识别与算法语言的阅读理解、算法与数列知识的网络交汇命题是考查的主流、复数考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般是选择题、填空题，难度不大、推理证明部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，单独出题的可能性较小。对于理科，数学归纳法可能作为解答题的一小问、

　　高三数学知识点总结3

　　表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)

　　S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积

　　r-底半径,h-高,C―底面周长

　　S底―底面积,S侧―侧面积,S表―表面积C=2πr

　　高三数学知识点总结4

　　①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

　　不等式基本性质有：

　　应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

　　②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：

　　(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。

　　(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

　　(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

　　高中数学集合复习知识点

　　任一A，B，记做AB

　　逆否命题若q，则p

　　(2)AB,A是B成立的充分条件

　　BA,A是B成立的必要条件

　　AB,A是B成立的充要条件

　　1.集合元素具有①确定性;②互异性;③无序性

　　2.集合表示方法①列举法;②描述法;③韦恩图;④数轴法

　　n元集合的字集数：2n

　　真子集数：2n-1;

　　非空真子集数：2n-2

　　高中数学集合知识点归纳

　　集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。元素常用小写字母a、b、c、…来表示。

　　集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。

　　2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：

　　元素a属于集合A，记做a∈A;元素a不属于集合A，记做a?A。

　　3、集合中元素的特性

　　(1)确定性：设A是一个给定的集合，_是某一具体对象，则_或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。例如A={0,1,3,4},可知0∈A，6?A。

　　(2)互异性：“集合张的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。

　　(3)无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是同一个集合。

　　集合科根据他含有的元素个数的多少分为两类：

　　有限集：含有有限个元素的集合。如“方程3_+1=0”的解组成的集合”，由“2,4,6,8,组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此两个集合是有限集。

　　无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等于所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素不可数的，因此他们是无限集。

　　特别的，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记错F，如{|R|+1=0}。

　　5、特定的集合的表示

　　为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记。

　　(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记做N。

　　(2)非负整数集内排出0的集合，也称正整数集，记做N_或N+。

　　(3)全体整数的集合通常简称为整数集Z。

　　(4)全体有理数的集合通常简称为有理数集，记做Q。

　　(5)全体实数的集合通常简称为实数集，记做R。

　　高三数学知识点总结5

　　1、三类角的求法：

　　①找出或作出有关的角。

　　②证明其符合定义，并指出所求作的角。

　　③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

　　2、正棱柱――底面为正多边形的直棱柱

　　正棱锥――底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

　　正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

　　3、怎样判断直线l与圆C的位置关系？

　　圆心到直线的距离与圆的半径比较。

　　直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

　　4、对线性规划问题：

　　作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

　　培养兴趣是关键。学生对数学产生了兴趣，自然有动力去钻研。如何培养兴趣呢？

　　（1）欣赏数学的美感

　　比如几何图形中的对称、变换前后的不变量、概念的严谨、逻辑的严密……

　　通过对旋转变换及其不变量的讨论，我们可以证明反比例函数、“对勾函数”的图象都是双曲线――平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值（小于两个定点之间的距离）的点的集合。

　　（2）注意到数学在实际生活中的应用。

　　例如和日常生活息息相关的等额本金、等额本息两种不同的还款方式，用数列的知识就可以理解、学好数学，是现代公民的基本素养之一啊

　　（3）采用灵活的教学手段，与时俱进。

　　利用多种技术手段，声、光、电多管齐下，老师可以借此把一些知识讲得更具体形象，学生也更容易接受，理解更深。

　　（4）适当看一些科普类的书籍和文章。

　　比如：学圆锥曲线的时候，可以看看一些建筑物的外形，它们被平面所截出的曲线往往就是各种圆锥曲线，很多文章对此都有介绍；还有圆锥曲线光学性质的应用，这方面的文章也不少。

　　高三数学知识点总结6

　　(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

　　(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

　　(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

　　2、复合函数的有关问题

　　(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

　　(2)复合函数的'单调性由“同增异减”判定;

　　3、函数图像(或方程曲线的对称性)

　　(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

　　(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

　　(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2