题型一与二重积分概念和性质有关的题
【详解】在相同的积分区域上比较被积函数的大小,利用二重积分性质可比较二重积分大小。
在区域上,除原点及边界外,有
而在内,是严格单调减函数,

如图,正方形被其对角线划分
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性.
两区域关于轴对称,,即被积函数是关于
两区域关于轴对称,,即被积函数是
所以正确答案为(A).
【例3】设连续,且,其中是由所围成的区域,则等于( )
【详解】因为为一确定的数,不妨设,则,
解之得,所以,故应选(C).
题型二更换二重积分的次序与改变坐标系
【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成:原式由累次积分的内外层积分限确定积分区域:,

即中最低点的纵坐标,最高点的纵坐标
,的左边界的方程是,即
的右支,的右边界的方程是
从而画出的图形如图中的阴影部分,从图形可见,且
【例5】交换二次积分的积分次序:
【详解】由题设二次积分的限,画出对应的积分区域,
如图阴影部分. 但在内,,
题设的二次积分并不是在某区域上的二重积分,
因此,应先将题设给的二次积分变形为:

其中再由图所示,又可将改写为
【例6】设函数连续,则( )
【解析】的积分区域为两部分:
故二重积分可以表示为,故答案为(C).
【例7】累次积分可以写成( )
【解析】方法1:由题设知,积分区域在极坐标系中是
即是由与轴在第一象限所围成的
由于的最左边点的横坐标是,最右点的横坐标是1,
下边界方程是上边界的方程是,从而
方法2:采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为
而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,
(C)中的积分区域是正方形
所以,他们都是不正确的.故应选(D).
【例8】设函数连续, 区域,则等于( )
区域是以为圆心,1为半径的圆及其内部,
在直角坐标系下, 先后,,
在极坐标系下, ,, 故应选转载请标明出处.

当二重积分的积分区域与圆有关时，使用直角坐标系来计算并不方便，但是我们可以把它转换为极坐标方程来处理。

.其实这就是很简单的三角函数关系。

即可。不过，替换过后函数的自变量也改变了，那么积分的面积元素也自然要跟着变一下。

下面以圆为例讲解面积元素的计算方法。仿照直角坐标系下面积元素的取法，我们在 (\rho,\theta) 处取一个圆心角为 d\theta ，宽度为 d\rho 的小扇环作为面积元素。为了方便计算，我们不妨把这个小扇环看作一个矩形（当然也可以用大扇形面积-小扇形面积的方式进行计算，忽略掉高阶无穷小后的结果是一样的），那么它的长宽分别为 \rho\cdot d\theta

现在我们有了被积函数的极坐标表达，也有了对应的面积元素，只需要想办法“遍历”所有面积元素并且与被积函数相乘并求和，也就是把二重积分转化为二次积分即可。很显然，如果我们想要遍历整个被积区域，我们有两种选择，一种是“先θ后ρ”，另一种“是先ρ后θ”，如图所示。

实际上，我们更常用的是第二种顺序，也就是先对θ积分。剩下的内容我会用例题来说明。

解： 第一步：观察题目，发现被积区域与圆有关，考虑使用极坐标系进行积分。

第二步：用极坐标系表示被积函数、面积元素和被积区域。

这里我们采用先对θ积分的顺序，所以在表示被积区域的时候应该先表示θ的范围，然后让ρ成为θ的函数，即：

第三步：将二重积分化为二次积分。

注意：对某一个变量积分时，其它变量应该被看做常数。

第四步：计算二次积分。我们先把ρ看作常数，计算内层对θ的积分；然后计算外层对ρ的积分，这时候外层积分中已经不含有θ了。很容易计算出结果为0.

总结一下，用极坐标计算二重积分主要分为一下几个步骤：

①将题中表达式（被积函数和面积元素）改写为极坐标形式；

②用极坐标系表示出被积区域，注意顺序，后面表达的变量是前面的变量的函数；

③将二重积分改为二次积分；

④计算二次积分，注意顺序要与被积区域的表达顺序一致。