冃录 TOC \o "1-5" \h \z 摘要 1 关键词 ……1 Abstract 1 Key words 1 引言 1 1分段函数的连续性 2 1.1用定义法判断函数在分界点处的连续性 2 1.2用定义的￡-8语言判断分段函数的连续性 3 2分段函数在分界点处的可微性 4 2.1利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性 4 2.2利用命题“函数/(x)在兀。可导o ?%0) = g) ”判断分段函数/(%)在分界点x0处 的可导性 4 2.3利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性 5 3分段函数的可积性 7 3.1分段函数的不定积分与定积分 7 3.1.1分段函数的不定积分 7 3.1.2分段函数的定积分 8 3.2分段函数可积性的有关结论 9 3.3典型分段函数的讨论 10 \o "Current Document" 参考文献 12 \o "Current Document" 致谢 12 有关分段函数的分析性质的讨论 摘要通过对分段函数连续性、可微性与可积性的讨论，不仅给出了判断分段函数是否连续、 可微及可积的方法，而且讨论了几个典型且重要的分段函数（如：狄利克雷函数与黎曼函数）. 通过讨论可得出分段函数在微积分中所具有的十分重要的作用:利用分段函数來判断有关命 题的真假（举正、反例）. 关键词 分段函数 Discontinuities Differentiability Integrability ? 引言 在《微积分》及《数学分析》中，讨论分段函数在分界点处的连续性、可 微性及可积性是相当重要的知识点. 分段函数，是指当自变量在不同的范围内取值时，对应法则不能用一个公式, ?丄 而是用不同的式子来表示的函数，例如/(x)= xsin7,x"类似的分段函数在微 0, x = 0. 积分理论中随处可见，并具有十分重要的作用，比如举正反例常用到分段函数， 本文将对分段函数的连续性、可微性、可积性进行讨论. 我们知道在讨论分段函数连续性时须利用连续的定义判断，这就告诉我们必 须掌握好函数在分界点处的左、右极限，以及其与函数在分界点处的函数值、函 数在分界点处连续之间的关系，即左、右极限相等并且等于函数在分界点处的函 数值时才连续. 在各种版本的教材中，虽然例题各不相同，但在讨论分段函数在分界点可 微性时都可利用左、右导数的原始定义及有关可导的充要条件来判断.但必须注 意函数在不连续的分界点处一定不可导，而对于连续的分界点，函数可能可导也 可能不可导. 对于求分段函数的不定积分和定积分时须掌握原函数定义(FV) = /?)及 其具有的连续性的性质；要掌握关于可积的有关重要结论，而且要特别注意分段 函数在积分论中所体现的十分重要的作用. 分段函数的连续性 分段函数是以某些点(分界点)为界用不同的表达式来表示的函数，而在各 分段区间上一般是初等函数，在其定义区间上连续，所以讨论分段函数的连续性 实质上是讨论它在分界点

01.证明狄利克雷函数处处不连续
根据实数的稠密性就可以了每个有理数的领域都有无穷多个无理数。...查看完整版>>

02.初等函数在其定义域内处处连续为什么是错的?
初等函数在其定义域内不是处处连续，比如说是个分段函数，我没办法画图给你看，不染很清楚的。...查看完整版>>

03.哪些函数是处处连续处处不可导的？

04.怎样证明函数的连续性和可导性
先证明连续性，再证明可导性。连续了，才能可导，如果不连续，那么就over了。如果连续了，再回头证明可导性。连续性和可导性的证明就不用说了吧。...查看完整版>>

06.证明：三个连续奇数的和能被三整除。

09.用数学归纳法证明三个连续正整数的立方和可以被9整除