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亲爱的小伙伴们，在数量关系的备考中，有一个知识点在我们考试中非常重要，那就是不定方程，这类题型相对比较简单，因此同学们在备考过程中需要重视。而讲到不定方程，可能很多同学都想问，什么是不定方程呢？小编在这里给大家解释一下：

在解释不定方程之前，首先不得不提到的就是普通方程。相信普通方程同学们都比较熟悉。例如，我们经常遇到的一元一次方程2x+5=140，1个未知数给我们1个式子，通过移项可以解出x的值。又例如二元一次方程组，2个未知数对应2个式子，我们通过代入消元法或加减消元法可以将方程的解求出来。

那么什么是不定方程呢？假如给我们一个方程2x+3y=5，2个未知数1个方程，如果我们想去求解这个方程，就会发现解是不固定的，可以是x=1，y=1；或者x=1.75，y=0.5；又或者x=4，y=-1……对于这类未知数个数大于独立方程个数的方程，我们就称其为不定方程。

既然不定方程在实数范围内有无穷多个解，那怎么求解呢？一般情况下，在考试里求解不定方程是有限定条件的。通常都会把所求未知数限定在正整数范围内，这样不定方程由原来的无穷多个解就变成有限个解了。

通过题干要求，我们发现x和y都在正整数范围内，那我们最先想到的解法就是从x=1，x=2……代入求解，但是这种方法显然比较费时费力。有没有更省时的方法呢？为了缩小尝试范围，我们可以寻找未知数的数字特征。

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首先观察未知数系数，我们发现3和6，一个是奇数，一个是偶数。此时我们可以通过奇偶性来判断未知数数字特征。因为42为偶数，6y是偶数，偶数+偶数=偶数，因此3x为偶数，所以x为偶数。而选项中只有2为偶数，确定答案是A。此时我们利用的是奇偶性。

小结：当未知数前的系数一奇一偶时，可根据奇偶性判定所求未知数的奇偶性，从而快速选择选项。

那么如果未知数的系数并非一奇一偶，这时怎么办呢？

观察未知数系数3和7都是奇数，而奇数乘一个数的奇偶性是不确定的。这时我们观察未知数系数和常数项，我们发现7和49都是7的整数倍。7y为7的整数倍，49为7的整数倍，7的整数倍+7的整数倍=7的整数倍，因此，3x也是7的整数倍，从而确定x为7的整数倍，选项中只有B为7的整数倍，因此确定答案是B。此时我们用到的是整除特性。

小结：当未知数前的系数和等号右边的常数有公约数时，可根据整除特性判定所求未知数的整除特征，从而快速选择选项。

如果利用奇偶性和整除特性都无法解决题目，这个时候怎么办呢？

首先观察未知数系数3和10，符合一奇一偶的特点，由于10y为偶数，49为奇数，因此确定3x为奇数，确定x为奇数，而选项均为奇数，无法判定答案。因此我们需要进一步确定x的取值范围。而我们知道10乘一个数，尾数一定是0，而49的尾数是9，尾数9+尾数0=尾数9，因此确定3x一项的尾数为9，所以x的尾数为3。选项中只有B符合条件，确定答案是B。此时我们用到的是尾数法。

小结：当未知数前的系数是5或10时，可根据尾数判定所求未知数的尾数特征，从而快速选择选项。

下面我们就来看一看实际考试中会怎么出题，也检验下大家是否掌握了这三种方法！

由于在考试中，题目并不会像上面例题一样，直接给出方程和“x和y为正整数”的限定条件，一般会赋予x和y现实意义，例如人数、件数、个数等，如下所示：

Eg：建筑公司租用吊车和叉车各若干辆，每日租金为10万元，已知吊车和叉车的日租金分别为1万元和1500元，问：建筑公司最多租用了多少辆吊车？

首先告诉我们，吊车和叉车的日租金，而且知道了每天的租金总和是10万元这样一个比较明显的等量关系。利用吊车总租金+叉车总租金=10万元构建等量关系。我们知道了每辆车的日租金，设租用吊车x辆，叉车y辆。即：

求建筑公司最多租用了多少辆吊车，也就是求x的最大值。我们发现式子里面有两个未知数，未知数的个数大于独立方程的个数，所以这个方程是不定方程。而且这里的x和y是车辆数，所以都是正整数。接下来解不定方程，首先化简得到

由于x和y为正整数，结合前面讲到的奇偶性、整除或者尾数法。观察发现，x系数以及常数项都能被20整除，说明3y是20的整数倍。因此y一定能被20整除。求x最大值，和一定，y要尽量小。y又是20的倍数，所以y最小为20，此时x=7，所以选择B选项。

Eg：某单位购买A和B两种耗材,单价分别为50元/件和70元/件,共花费710元.且所购耗材中A的件数占比不到一半,在单位共购买AB耗材多少件？

题目告诉我们，单价分别为50元和70元，共花费了710元。那其实就告诉我们A耗材花的钱+B耗材花的钱=710块钱，又告诉我们A耗材占总比不到一半。我们设购买A耗材x件，B耗材y件，得到

最终要求的是x+y的值。由于x和y都是件数，所以x和y都是正整数，所以还是不定方程的求解。整理化简得到

由于5和7都是奇数，同时5、7、71没有公约数，所以不能利用奇偶性和整除特性。我们发现x前面系数是5,可以考虑尾数法。5乘一个数，尾数有两种情况：

第一种情况：5x尾数为5，71尾数为1，因此7y尾数为6，所以y的尾数是8。y可能是8,18,28……由于7×18=126>71，y只能取8,解得x=3，满足x

第二种情况：5x尾数为0，此时7y尾数为1，y尾数为3。由于13×7=91>71，所以y只能取到3,此时x=10，x>y，不符合题目要求，所以最后确定答案为A选项。

所以，我们发现只要我们能够找到题干中的等量关系，确定未知数的限定条件，掌握不定方程的三种巧解方法，解决不定方程问题自然易如反掌。

写在最后：获得成功没有规律，但是解决不定方程问题有规律！不定方程在任意数范围内的解是不固定的，但是在正整数范围内却有可能得到固定的解。正如数学涉及到的内容是方方面面的、难以全部掌握的，但是在数量关系题目中，我们却可以通过学习一些方法，掌握规律，解决问题。最后祝大家前程似锦、前途光明！

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