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微积分有多重要，相信大家多多少少心里有点数，特别是我们这些学数学的。好了废话不多说了，直接来学。

微积分诞生于 17 世纪，主要帮助人们解决各种速度，面积等实际问题。下图为微积分的发明者牛顿和莱布尼兹大佬，瞻仰一下。

我们从小学数学就学会了各种求面积的公式，比如长方形，三角形，圆，梯形等等。不知道大家有没有想过一个问题：好像我们每新学习一种新图形就有一个新的面积公式，可是世界上有无数种图形，我们难道要记无数种公式吗？，而且还有一些图形根本没有什么面积公式，比如随手画一条曲线，这条曲线围成的面积如何计算呢？

所以面对如何求一条曲线围成的面积就有很多人去研究。面对这个问题，古今中外的数学家的想法都是类似的，那就是：用我们熟悉的图像（比如三角形，长方形等）去逼近曲线围成的图像面积。这就好比在铺地砖的时候，我们会用尽可能多的瓷砖填满地板，然后这些瓷砖的面积之和差不多就是地板的面积。这里就蕴含了微积分的思想了。

微积分主要解决如何求曲线的面积。我们这里可以把微积分拆分成 “微分” 和 “积分”两个词，

首先来看积分，积分这个词当初被造出来，就是用来表示“由无穷个无穷小的面积组成的面积S”。

如上图所示，如果一条曲线 y=f(x) 和 x 轴在 a 和 b 之间围成的面积为A，那么我们就可以这样表示这部分面积A：

微积分的思想是：以直代曲。

为了加深一下对上面这个积分公式的理解，我们再来用矩阵试一下，对于矩形，我们可以轻松求得其面积，那么是否能够用矩形代替曲线形状呢?如果要代替则应该用多少个矩阵来代替呢？

如下图，我们可以将其分为四个矩阵，九个矩阵：

  我们用有限个矩阵把a和b之间分为四份，我们看到如果只是用矩阵求面积的话，还是有很大误差的，但是使用九个的话，误差就缩小了，那么我们是否可以使用无穷多个矩形来逼近原面积，这样误差就变得无穷小了，答案是肯定的。当我们使用无数个矩阵来逼近原面积的时候，每个矩形的底自然就变成了无穷小，这个无穷小的底就是上面的 dx，而 f(x) 就是函数的纵坐标，矩阵的底，高相乘不就是求面积了吗？

在 ab 之间插入若干个点，这样就得到了 n个小区间。

当分割无限加细，每个小区间的最大长度为 λ ，此时 λ -> 0

上面将 dx 当做一个无穷小的底，把积分当做求面积，这些都是微积分创立初期的看法。这种看法非常符合我们的直观，但是逻辑上是不严密的。这种无穷小量 dx 也招致了很多人（比如贝克莱）对微积分的攻击，并且引发了第二次数学危机，这场危机一直到19世纪柯西等人完成了微积分的严密化之后才彻底化解。随着微积分的涅槃重生，我们对这些基本概念的看法也发生了根本的改变。

关于求面积的事情这里就说完了。“用一些图形去无限逼近曲线图形”的想法很早就有了，穷竭法在古希腊就很成熟了，中国魏晋时期的数学家刘徽使用割圆术去逼近圆周率也是这种思想。到了17世纪初，这些思想并没有什么太大的改变，由于这些解法比较复杂，又很难扩展，所以大家的关注度并不高。

没办法，因为打死人也想不到：破解这种求曲线面积（求积分）的关键，竟然藏在一个看起来跟他毫无关联的东西身上，这个东西就是微积分名字的另一半：微分。当牛顿和莱布尼兹意识到微分和积分之间的内在关系之后，数学就迎来了一次空前的大发展。

从求和出发，我们需要尽可能的将每一个矩阵的底边无穷小，莱布尼兹为了体现求和的感觉，给 S 拉长了，简写成：∫ f(x) dx。

微积分的基本概念是导数。

关于导数呢，举个例子：我们爬山的时候，山越陡越难爬；骑车的时候，路面的坡度越大越难骑。一个面的坡度越大，倾斜的越厉害，我们就越难上去，那么我们该如何衡量这个倾斜程度呢？

在平面里画一条直线，我们可以直观地看出这条直线的倾斜程度，而且还不难发现：不管在直线的什么地方，它的倾斜程度都是一样的。所以我们就可以用一个量来描述这整条直线的倾斜程度，这个概念就被形象的称为斜率。

那么，一条直线的斜率要怎么计算呢？这个想法也很直观：建一个坐标系，看看直线在 x 轴改变了 Δx 的时候，它在 y 轴的改变量 Δy 是多少。如果 Δx 是固定的，那么显然 Δy 越大，这条直线就斜的越厉害，斜率也就越大。

这就和我们判断跑步的速度是一样的道理：给定一个固定的时间，比如10秒（相当于固定的 Δx），看看你能跑多远（相当于 Δy），你跑的越远（Δy 越大），我就认为你跑得就越快。当然也可以反过来，给定一个固定的距离，比如100米（相当于Δy），你跑的时间越短（Δx 越小），我就认为你跑的越快。

把这两种情况综合一下，我们就能发现：固定时间（Δx）也好，固定距离（Δy）也好，最终起决定作用的是Δy和Δx的比值Δy/Δx。这个比值越大，你就跑得越快，对应的直线也就越陡。所以，我们就可以在直线上随意找两个点，用它们纵坐标之差Δy和横坐标之差Δx的比值（Δy/Δx）来定义这条直线斜率。

直线好说，关键是曲线怎么办？曲线跟直线不同，它完全可以在这里平缓一点，在那里陡峭一点，它在不同地方的倾斜程度是不一样的。所以，我们就不能说一条曲线的倾斜程度（“斜率”），而只能说曲线在某个具体点的倾斜程度。

于是我们要引入一个新的概念：切线。

切线，直观的看，就是刚好在这点“碰到”曲线的直线，因为切线是直线，所以切线有斜率，于是我们就可以用切线的斜率代表曲线在这点的倾斜程度。

传统上我们可以这样定义切线：先随便画一条直线，让这条直线与曲线有两个交点，这样的直线叫割线（仿佛把曲线“割断”了，如下图蓝色的AB）。然后，我们让B点沿着曲线慢慢向A点靠近，直观上，等到B点和A点重合之后，割线AB就变成了曲线在A点的切线。

这样做很符合人们的直观，但是它在逻辑上会有一点问题：当B点向A点移时，它是什么时候从割线变成切线呢？

重合的时候吗？如果B点和A点重合，那就剩下一个点了，我们知道“两点确定一条直线”，一个点怎么能确定一条直线呢？但是，如果B点和A点不重合的话，那么这就仍然是一条割线而不是切线啊。

于是，这样就出现了一个“一看非常简单直观，但是怎么说都说不圆”的情况，似乎两个点不行，一个点也不行，怎么办？

解决这个问题有一个很朴素的思路：要确定这条切线，让A，B两点重合是不行的，但是让他们分得太开也不行。最好就是让着两点靠近靠近无限靠近，但是就是不让他们重合。没重合的话就依然是两个点。两个点可以确定一条直线；无限靠近的话又可以把他们跟一般的割线区分开来，这样不就是两全其美了。

也就是说，A，B两点必须无限靠近但又不能重合，这样他们的距离就无限接近0但又不等于0。这是什么，这不就是无穷小么？

我们前面求曲线围成的面积时，核心实现就是用无数个矩阵来逼近原图像，这样每个矩形的底边就变成了无穷小。在这里，我们又认为当A，B两点的距离变成无穷小的时候，割线AB就变成了过A点的切线。

那么切线的斜率是什么？

好，利用无穷小定义了一点上的切线，我们就可以理所当然的用过这点切线的斜率来标色曲线在这点的倾斜度了。

那么切线是当曲线上A，B两点相隔无穷小时确定的直线，那么切线的斜率依然可以写成 Δy/Δx，只不过这时Δx和Δy都无限趋近于0。

莱布尼兹就给这两个趋近于0却又不等于0的 Δx和Δy 重新取了一个名字：dx 和 dy，并把他们称为“微分”。

也就是说，对莱布尼兹而言，dx这个微分就是当 Δx 趋近于0时的无穷小量， dy 也是一样。虽然 dx 和 dy 都是无穷小，但是他们的比值 dy/dx 确是一个有限的数（所以这时候你就不能把无穷小 dx 当成 0 了，否则还怎么当除数？）这就是该点切线的斜率，这样一切就似乎解释的通了。

虽然上图放大了，但是其实依然是：

再次使用图对几个指标进行解释：