第四节格林公式及其应用 第三节 格林公式及其应用（2） * * 一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通 二、格林公式 定理1 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在它的左边. 那就是说，对于平面单连通区域，边界曲线的逆时针方向为正向；对于平面复连通区域，边界曲线的外圈，逆时针方向为正向，边界曲线的里圈，顺时针方向为正向。 证明(1) y x o a b D c d A B C E 同理可证 y x o d D c C E 证明(2) D 两式相加得 G D F C E A B 证明(3) 由(2)知 1。分段光滑的闭曲线L是区域D的取正向的边界曲线；2。函数P(x,y)及Q(x,y)在D的每一点上都具有一阶连续偏导数。 格林公式不要求区域D是单连通的。 注意格林公式的条件： 如果闭曲线L是区域D的取反向的边界曲线，则有： 注意： 如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别点上一阶偏导数不连续，格林公式不能直接使用，此时往往需添加辅助线，然后再作计算。 三、格林公式的简单应用 1. 在闭曲线上的对坐标的曲线积分和二重积分可以相互转化，从而可在两者中选择较简便的方法进行计算。 2. 可用曲线积分计算平面区域的面积 解 x y o L y x o x y o 若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。 思考题 思考题解答 由两部分组成 外边界： 内边界： 计算曲线积分 其中L为园周 L的方向为逆时针方向 解： 作辅助园： 其边界曲线取为顺时针方向，记为L1，则 G y x o 一、平面曲线积分与路径无关的定义 B A 如果在区域G内有 二、平面曲线积分与路径无关的条件 定理2 在此条件下，如果在G内有 平面的曲线积分与路径无关，有两个基本前提必须满足： 那么，曲线积分与路径无关 三、二元函数的全微分求积 定理3 要满足什么条件， 在G内才是某一函数的全微分？ 在此条件下，如果在G内有 那么， 是某一函数的全微分， 由此可见，它与平面曲线积分与路径无关应满足的是条件完全一致的。 du = 即存在函数u(x,y)，使

[理学]第十章 第3节 格林公式及应用第二节 格林公式及其应用一、几个概念 二、格林公式 三、平面曲线积分与路径无关的定义 四. 平面曲线积分与路径无关等价条件1一、几个概念1、设d为平面区域, 如果d内任一闭曲线 所围成的部分都属于d, 则称d为平面单连通 区域, 否则称为复连通区域.d d单连通区域复连通区域单连通区域是无“洞”区域复连通区域是有“洞”区域22、边界曲线l的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域d总在他..