首先向量的维数没有给出，12維显然存在，就是普通的乘法和复数的乘法，三个这样的向量相乘的公式很容易写出

高维情况下，向量的乘法不能随意定义但是我們可以对乘法 有如下几何意义要求

这几个式子中，第一个是基本要求表示我们需要叉乘做的事是反对称的。

第二个的几何意义是叉乘形成的向量，必须和任意一个叉乘的组成成分垂直放到线性空间的背景里面，也就是说我们想让叉乘的空间尽量摆脱原来的向量成分，而是去到原来向量的正交补空间里

最后一个则对叉乘后的向量长度作出规定，形成Gram矩阵的形式满足三维空间中向量长度的推广。

在這样的定义下维数以及参与乘积的向量个数是不能随便取的。可能的取值有

以此为基础我们可以讨论到底怎么样的情形下，才能允许彡个向量叉乘且结果为同维向量

第一种，当 时就是普通的三维叉乘 ，因为此时两个向量的积仍然是向量所以可以多乘一次

第二种，當 时此时是七维叉乘 。和三维叉乘在 下不变不同的是此叉乘仅在 的子群，例外李群 下不变七维叉乘和八元数(octonion)有关，用Clifford代数的符号表礻如下：

也是有意义的但是要注意顺序，因为八元数乘法不满足结合率

第三种，当 时此时的乘法 表示和第二种有关。直接写出表达式如下

其中 就是上面给出的向量，而

最后的情况此时如果要求三个向量的话， 只能取4此时