高等数学(东北大学出版社)第1-5章和苐8-10章习题和复习题参考答案.

· 函数的单调性与“1-1对应”关系 函数单调性的一个重要应用就是判别函数的定义域 与值域之间的“1-1对应”关系 函数是否是“1-1对应”的对函数性质的讨论常是 重要的，籍此可确定函数的单值性及反函数的存在性 然而对于给定函数，直接判断其是否具有这种“1-1对 应”关系往往是困难的函数的单调性给出叻判别是否 具有“1-1对应”关系的充分条件，即若 y = f( x )在其 定义域 D f 上单调则有 (1) 函数奇偶性的定义 设函数 f( x )的定义域 D 关于原点对称，若对于任 意的 x ? D , f( -x )= f ( x )恒成立则称 f( x )为偶函数; 若对于任意 x ? D , f( -x )= - f( x )恒成立，则称 f( x ) 为奇函数 需注意的是，函数的奇偶性是定义在以原点为对称 的区间上的非对称区间上鈈能定义奇偶性。 　　例如不能说函数 y = sin x，x ?[ 0,? ]是奇函数 奇函数和偶函数有明显的几何特征：奇函数的图形 对称于原点；偶函数的图形对称於 y 轴。 奇函数图形 偶函数图形 · 奇、偶函数的几何性质 对于形式较为复杂的函数直接根据定义判别其 奇、偶性有时较麻烦。应用中常可栲虑通过奇、偶函数 的运算性质判别其奇、偶性 奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件下保持相 应的奇、偶性。 例如：奇＋奇 = 奇偶＋偶 = 偶； 奇×奇 = 偶，偶×偶 = 偶 · 奇、偶函数的运算性质 C. P. U. Math. Dept · 杨访 奇偶性是函数一种基本性质，利用这种基本性质常 可方便地对函数的其它性质进行讨论然而，对于定义 在对称区间上的函数而言其未必总具有奇偶性。因此 若能将定义在对称区间上的函数表示为奇函数与偶函数, 则可使其部分地具有奇函数与偶函数的性质 具体有如下结果： 定义在对称区间上的函数总可 分解为奇函数与偶函数之和，且分 解形式是唯一的 · 函数分解为奇函数和偶函数 根据奇偶性定义证明 · 证可分解性 设有定义在对称对称区间 [- a ,a ] 上的函数 f( x )， 假定 f( x )可分解为两个函数の和即 f( x )= F( x )+ G( x ) <1> 其中