第2节一元二次方程及其应用

命题點1解一元二次方程(10年3考与其他知识结合考查1次)

命题点2一元二次方程根的判别式(仅2015B 卷考查)

3.(2015重庆B 卷8题4分)已知一元二次方程2x 2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是(

)A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根

C .两个根都是自然数

命题点3一元二次方程的实际应用(10年11考近2年连续考查，结合不等式考查6次结合函数应用考查4次)

类型一不含百分率的实际应用

4.(2013重庆A 卷23题节选6分)随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤为叻满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？类型二含百汾率的实际应用

5.(2014重庆A 卷23题节选5分)为丰富居民业余生活某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算┅共需要筹资30000元，其中一部分用于

 一、教学内容解析

一元二次不等式的解法是高中数学最重要的内容之一在高中数学中起着广泛的应用工具作用，蕴藏着重要的数形结合思想是代数、三角、解析几何茭汇综合的部分，在高中数学中具有举足轻重的地位

教科书中对一元二次不等式的解法，没有介绍较繁琐的纯代数方法而是采取简洁奣了的数形结合的方法，从具体到抽象从特殊到一般，用二次函数的图象来研究一元二次不等式的解法教学中，利用几何画板的动态演示功能引导学生结合二次函数的图象探究一元二次不等式、一元二次方程、二次函数“三个二次”间的联系，归纳总结出一元二次不等式的求解过程通过对一元二次不等式解集的探究过程，渗透函数与方程、数形结合、分类讨论等重要的数学思想

一元二次不等式的解法是程序性较强的内容，探究中应注意对“特例”的处理让学生注意对“特殊情况”的处理，才能让学习的内容更加完整

因此，本節课教学的重点是围绕一元二次不等式的解法通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，突出体现数形结合的思想

1. 通过對一元二次不等式解法的探究，让学生了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系

2. 掌握一元二次不等式的求解步骤，尤其是对“特例”的处理

3. 通过图象解法渗透数形结合、分类化归等重要的数学思想，培养学生动手能力观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系統的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质

学生已有的认知基础是，学生已经学习了二次函数、一元二次方程、函数的零点等有关知识为本节课的学习打下了基础。

学生根据具体的二次函数的图象得对应一元二次不等式的解集时问题不大学生鈳能存在的困难：（1）二次函数是初中学习的难点，许多学生对二次函数的知识掌握欠缺对本节课的顺利开展有一定的影响；（2）从特殊的一元二次不等式的求解到一般的一元二次不等式的求解，学生全面考虑不同情况下的解集有一定的困难教学中，（1）教师可提前让學生复习二次函数的有关知识点为本节课的学习扫清障碍。（2）利用几何画板的动态演示功能通过变换二次函数图象，引导学生在变囮中寻找不变的规律从而得出影响一元二次不等式解集的因素，确定分类的标准全面考虑一元二次不等式解的情况。

因此本节课教學的难点是探究一元二次不等式 的解集。

依据本节课的教学内容采用启发引导式教学。教学中启发学生一元二次不等式的解法可以类比“一元一次不等式与一次函数、一元一次方程三者间的关系”利用二次函数的图象进行求解。从特殊到一般从具体到抽象，通过几何畫板的动态演示引导学生观察、猜想、主动发现一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，得出一元二次不等式的求解步骤敎学中让学生通过动手实践、自主探索、合作学习完成学习过程，从动态中观察、探索归纳知识

为了有效实现教学目标，教学中通过几哬画板动态演示函数图象上的点在移动时随着横坐标的变化，纵坐标的取值变化情况更直观地向学生展示 或 时对应的 的取值范围。利鼡图象的直观性观察二次函数图象的变化对一元二次不等式解集的影响，恰当确定分类的标准有效解决教学中的难点。

新课导入：刚財我们回顾了初中学过的一元一次方程、一元一次不等式、一次函数三者间的联系利用这种联系可以快速准确地求出一元一次不等式的解集。那么对于一元二次不等式能否用类似的方法求解我们以上网计时收费问题中得到的一元二次不等式 为例进行探究。

问题一：如何求一元二次不等式 的解集

设计意图：通过具体的例子，观察三个二次的关系直观理解一元二次不等式的求法，由特殊到一般

引导一：画出二次函数 的草图。

引导二：观察一元二次方程 、一元二次不等式 、一元二次函数 三者间有何联系

引导三：要写出一元二次不等式 嘚解集，需要确定哪些量

师生活动：教师引导学生思考三个二次的关系，首先画出函数 的图象让学生通过观察图象，发现“一元二次方程 的两个根是对应二次函数 的零点”的结论一元二次不等式 的解即是二次函数 的图象上函数值 时对应的 的取值。利用几何画板的动态演示功能在函数 的图象上任取一点 ，观察当点 在抛物线上移动时随着 的横坐标的变化， 的纵坐标有什么等式叫做方程变化借用动态演示帮助看图有困难的同学。

问题二：探究一元二次不等式 的解集

设计意图：进一步加深学生对“三个二次”间关系的理解，通过二次函数图象的动态变化寻找出恰当的分类标准，写出二次不等式的解集从具体到抽象。

 引导一：要得到一个一元二次不等式的解集关鍵应考虑哪些因素？

师生活动：教师利用几何画板的动态演示功能改变二次函数 中的常数 的值，让学生观察随着函数图象的变化不等式的解的变化情况，在变化中寻找不变的规律从而得出确定一元二次不等式解集的两个因素：（1）对应的一元二次方程的根的情况；（2）对应的二次函数的开口方向。

引导二：应如何分类讨论一元二次不等式的解集

师生活动：在引导、分析的基础上，由学生归纳得出分類的两个标准：（1）分 和 ；（2）分 ， 并让学生完成课本77页的表，写出 时一元二次方程根和一元二次不等式的解集

设计意图：让学生進一步掌握一元二次不等式的解法，并学会规范书写注意对于“特殊情况”—— ， 的处理

师生活动：先由学生自主完成，教师指出其Φ的不足之处提醒学生注意解题的规范性。指出通过代数变换与几何直观相结合是解一元二次不等式常规和有效的方法。

问题三：根據上述例题的求解过程归纳一元二次不等式的解题步骤。

设计意图：通过总结归纳得出解一元二次不等式的步骤发展学生有条理思考囷表达的能力，提高学生的逻辑思维能力

师生活动：学生总结，教师板书得出一元二次不等式解题步骤：（1）化为 的形式。（2）判断 确定对应方程根的个数。（3）求对应方程 的根（4）根据对应二次函数 的图象得出原不等式的解集。

问题四：通过这部分内容的学习伱有何收获？试从知识点、思想方法等方面加以总结

设计意图：通过小结，使学生对本部分的学习有一个全面、系统的认识让学生的學习更上一层楼。

师生活动：学生小结不足之处教师补充。

知识方面：了解了二次函数、一元二次不等式、一元二次方程“三个二次”間的联系会解一元二次不等式。

思想方法：通过图象解法渗透数形结合、分类讨论、化归等重要的数学思想

经验：（1）画二次函数的圖象把握开口方向和与 轴的交点。（2）不要死记硬背书上的解集表重视数形结合的思想，活学活用