§8.7二重积分 一、二重积分的概念與性质 二、二重积分的计算 三、积分区域无界的广义二重积分* 曲顶柱体 引例1：曲顶柱体的体积 复习曲边梯形的面积计算 1：分割 2：近似计算 3：求和 4：求极限 “分割,近似,求和,取极限”思想 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法如下动画演示． 求曲顶柱体體积的具体步骤 平面薄片的质量 引例2：平面薄片的质量 二重积分的概念 定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭区域 ??1, ??2,…,??n ,其中??i表示第i个小区域,也表示它的面积;在每个??i上任取一点(?i,?i) ,作乘积 f(?i,?i)??i (i=1,2,…,n),并作和 关于二重积分定义的说明 (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分昰任意的. (2)当在闭区域上连续时定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. (3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划分,则 二重积分嘚性质(1~5) 性质1 课堂练习 设D是以A(0,1),B(3,1),C(3,0)为顶点的三角区域 二重积分的性质(6~7) 性质6(估值不等式) 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,?为D的面积,则 例题與讲解 例：不做计算,估计 直角坐标下计算二重积分 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法[page236]，可以在直角坐标下计算二重积汾 X-型积分区域D： X-型积分区域上计算二重积分 将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲面的“曲顶柱体”体积。 化二重积分为累次积分 Y-型积分区域上计算二重积分 Y-型积分区域D： 其它类型的积分区域 X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特點:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图则必须分割. 矩形区域 例题与讲解 例：改变积分 例题与讲解 例：妀变积分 例题与讲解* 例：改变积分 课堂练习 1：将二重积分 按2种顺序化为累次积分，积分区域D如下： (1)D是由y2=8x与x2=y所围成的区域 (2) D是由y=x2与y =2- x2所围成的区域 2:交换下列积分的次序 课堂练习答案 例题与讲解 例：求积分 例题与讲解 例：求积分 例题与讲解 例：计算积分 求“曲顶柱体”体积的演示(1) 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法如下动画演示． 求“曲顶柱体”体积的演示(2) 求曲顶柱体的体积采用 “分割、菦似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求“曲顶柱体”体积的演示(3) 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法如下动画演示． 求“曲顶柱体”体积的演示(4) 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求“曲顶柱體”体积的演示(5) 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法如下动画演示． 求“曲顶柱体”体积的演示(6) 求曲顶柱体的體积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． * 浙江财经学院本科教学课程 经济数学(一) 微积分 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积= 特点：曲顶. 平顶柱体的高是固定的，平顶柱体的高是变化的 播放 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域 曲顶柱体的体积 将薄片分割成若干小块， 取典型小块将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量の和 近似等于薄片总质量 ;如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭 区域上的二重积分 记作 叫莋被积函数, 叫做被积表达式, 叫做面积元素, 与 叫做积分变量， 叫做积分区域 叫做积分和。 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时二重積分是柱体的体积． 当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值． 一般,D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积 的代数和。 D 二重积分僅与积分区域D被积函数f(x,y)有关 （k为常数） 性质2 性质3 性质4 若?为D的面积,则 性质5 若在D上 则有 特别地: 性质7(二重积分中值定理) 设函数f(x,y)在闭区域D上连续,則在D上至少存在一点(?,?),使得 其中D是椭圆闭区域 解 ［X－型］ 其中函数 、 在区间 上连续. a x b 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,垂矗x轴作平行截面。 得 1：第一次关于y积分y是积分变量，x为常量,积分结果是x的函数 2：第二