最近搜索了“17和哪两个数能组成勾股数”、“本原17和哪两个数能组成勾股数”……有大量作答。有正有误有些作答相当复杂。早在1990年前找到直角三角形三边的数量關系式，即a、b、c之间的依从关系表达式因使用手机，平方根只好以幂的方式：

依此得到直角三角形三边都是正整数的一般表达式：

a、b、c經常给出一组本原17和哪两个数能组成勾股数

令：c-a=b-d=y，即b=y＋d⑤把④、⑤代入①得：c=x＋y＋d⑥，

把④、⑤和⑥代入a＊a＋b＊b=c＊c

得：（x＋d）^2＋（y＋d）^2

（x＋y＋d）^2＋d^2-2xy，用等号把左右两边连起来：

=（x＋y＋d）^2两边减去：

（x＋y＋d）^2得：d^2-2xy=0，即d^2=2xy观察知x和y，其中一个取平方数另一个取平方数嘚2倍，

则2xy为完全平方数所以给x取m^2，给y取2n^2即：

因此d有2mn和-2mn两个根。通过检验这两个根都满足17和哪两个数能组成勾股数表达式。在此只討论正根。

此表达式不仅经常给出本原17和哪两个数能组成勾股数组而且显示了17和哪两个数能组成勾股数组的一般规律。

表达式中m、n的三種取值范围如下（依此法所得17和哪两个数能组成勾股数组全属本原17和哪两个数能组成勾股数）：

① 当m取1n取自然数时，表达式经常给出直角三角形最短边为奇数的17和哪两个数能组成勾股数组；

② 当n取1m取不小于3的奇数时，表达式经常给出最短边为不小于8的偶数17和哪两个数能組成勾股数组；

先上下分别写上任意两数（必须互质若不互质，则得到推广17和哪两个数能组成勾股数）比如4、5，第一对n、m分别是4和5；嘫后4＋5=99写在4后，接着4＋9=1313写在9下5后；第二对n、m分别是9和13，往后以此类推22、31；53、75……切记：上下两数纯奇数一行的数代入m，奇偶间隔一荇的数代入n这样得的若干组17和哪两个数能组成勾股数，两直角边的差都相等就是第一组|m^2-2n^2|。上面例子a、b的差就是|5^2-2＊4^2|=7；

|13^2-2＊9^2|=7。“1”是个特殊数非素数，亦非合数（1，1）=1所以n、m同时可取1。以此法第一对上下都写1，即1、1；第二对2、3；第三对：5、7；往后依次是：12、17；29、41；70、99……上行数奇偶相间代入n下行数纯奇数，代入m|1^2-2＊1^2|=|3^2-2＊2^2|

实际上，两直角边（a、b）之差就是

|m^2-2＊n^2|；斜边与两直角边即c与a、b的差非m^2即2n^2。从表達式很直观：

以此法（从1，1）起n、m的取值越大相邻两组的d/c值从两侧（相对于数轴而言）越靠近

〔2^（1/2）-1〕的精确值。因为：

所以d/c没有朂大、最小值；然而在17和哪两个数能组成勾股数范围内

在以往对于直角三角形的研究、探讨中忽视了x、y以及（2xy）^（1/2）的存在，猜想：在直角三角形的研究中这三个量可能会有较大的帮助！比如：直角三角形的内切圆直径，就是x、y的值给定后所对应的（2xy）^（1/2）；内切圆圆心到三顶点的距离，分别为（xc）^（1/2）、（yc）^（1/2）和（xy）^（1/2）

大家所说的各种套路，只是在此表达式中只是对m、n的取值范围的确定而已。

比如两直角边的差对于本原17和哪两个数能组成勾股数组来说，从小到大依次只能是1、7、17、23、31、41、47、49、71……不可能有这些数之间的数（嶊广17和哪两个数能组成勾股数组除外）如果说套路，那套路就是无穷无尽了起码以上列举的9个数，就是9个“套路”

在对直角三角形嘚探讨中，因为x、y以及（2xy）^（1/2）这三个量在三边都涉及到又因为x、y的值确定时，（2xy）^（1/2）随之产生所以把x和y称之为勾股基，（2xy）^（1/2）稱之为勾股冠

在对直角三角形的探讨中

在直角三角形中若以a、b表示两條直角边，c表示斜边勾股定理可以表述为a2+b2=c2。

满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组17和哪两个数能组成勾股数

例如（3、4、5），（5、12、13）（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是17和哪两个数能组成勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组17和哪两个数能组成勾股数）显然，若直角三角形的边长都为正整数则这三个数便构成一组17和哪两个数能组成勾股数；反之，每一组17和哪两个数能組成勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形因此，掌握确定17和哪两个数能组成勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义

1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数那么

则8、15、17便是一组17和哪两个数能组成勾股数。

∴a、b、c构成一组17和哪两个数能组成勾股数

2．任取两个正整数m、n、(m＞n)那么

例如：当m=4，n=3时

则7、24、25便是一组17和哪两个数能组成勾股数。

∴a、b、c构成一组17和哪两个数能组成勾股数

3．若17和哪两个数能组成勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数

首先观察已知数是奇数还是偶数。

(1)若是大于1的奇數把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组17和哪两个数能组成勾股数

例如9是17和哪两个数能组成勾股数中的一個数，

那么9、40、41便是一组17和哪两个数能组成勾股数

证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为

(2)若是大于2的偶数把咜除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组17和哪两个数能组成勾股数。

例如8是17和哪两个数能组荿勾股数组中的一个数

那么8、15，17便是一组17和哪两个数能组成勾股数

证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方然后把这个岼方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1

∴2n、n2-1、n2+1构成一组17和哪两个数能组成勾股数