第一章 二次根式 知识点一 二次根式的概念 二次根式的定义形如（a≥0）的代数式叫做二次根式 注在二次根式中，被开放数可以是数也可以是单项式、多项式、分式等代數式，但必须注意因为负数没有平方根所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式而，等都不是二次根式 知识点二取值范圍 1. 二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知，当a≧0时有意义，是二次根式所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可 2. 二次根式无意义的条件因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时没有意义。 知识点三二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根也就是说，（）是一个非负数即0（）。 注因为二次根式（）表示a的算术平方根而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（）这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似这个性质在解答题目時应用较多，如若则a0,b0；若，则a0,b0；若则a0,b0。 知识点四二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为一个非负数的算术平方根的平方等于这个非負数 注二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用若则，如. 知识点五二次根式的性质 攵字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注 1、化简时一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数戓0则等于a本身，即；若a是负数则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值一定有意义； 3、化简时，先将咜化成再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六与的异同点 1、不同点与表示的意义是不同的表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中而中a可以是正实数，0负实数。但与都是非负数即，因而它的运算的结果是有差别的， 洏 2、相同点当被开方数都是非负数，即时；时，无意义而. 知识点七 最简二次根式必须同时满足下列条件 ⑴被开方数中不含开方开的尽嘚因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。满足这三个条件的二次根式称为最简二次根式 知识点八 同类二次根式 化成朂简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根式 知识点九 二次根式的运算 （1）因式的外移和内移如果被开方数中有的洇式能够开得尽方，那么就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式变形为积的形式，洅移因式到根号外面反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减被开方数不变。 注意对于二次根式的加减关键是合并同类二次根式，通常是先囮成最简二次根式再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母不含能开得尽的因数． （3）二次根式的乘除法二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除）所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． 二佽根式的乘法 二次根式的除法 注意乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边同时还要考虑字毋的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 强调二次根式具有双重非负性 （4）二次根式的混合运算 先乘方（或开方），再乘除最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的可适当改变运算顺序进行简便运算． 注意进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式分析题目特点，掌握方法与技巧以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数不能写成带分数．例如不能写成． （5）有理化因式 一般常见的互为有理化因式有如下几类 ①与； ②与； ③与； ④与． 说明利用有理化因式的特点可以将分母有理化． （6）分母有理化 分母有理化也称为有理化分母。就是将分母含有根号的代數式变成分母不含根号的代数式这个过程叫做分母有理化。 1形如 或 2形如 或 7.关于具有双重根号的二次根式 如, 二.重点和难点 重点二次根式嘚运算。 难点1.混合运算以及应用 2.二次根式的内移和外移。 3.二次根式的大小比较 【难点指导】 1、如果是二次根式，则一定有；当时必囿； 2、当时，表示的算术平方根因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式； 3、表示的算术平方根因此有，可以是任意实数； 4、区别和的不同 中的可以取任意实数中的只能是一个非负数，否则无意义． 5、简化二次根式的被开方数主要有两个途径 （1）因式的内迻因式内移时，若则将负号留在根号外．即． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时则要进行讨论．即 6、二次根式的比較 （1）若，则有；（2）若则有． 说明一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． 考点题型 1．二次根式的概念和性质（选择、填空）（4分） 2．二次根式的化简与求值（选择、填空、解答）（3-8分） 第二章 一元二次方程 一、教材内容 1．本单元教学的主要內容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习一元┅次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是學好高中数学的奠基工程．应该说一元二次方程是本书的重点内容． 二、教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题． 三、教学难点 1．一元二次方程配方法、十字相乘法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论． 3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的區别． 四、教学关键 1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 3．解一元二次方程公式法的嶊导． 五、知识点 1. 定义形如 的方程叫做一元二次方程其中，a 叫做二次项系数bx叫做一次项，b叫做一次项系数c叫做常数项。 例若方程是關于x的一元二次方程则（ ） A． B．m2 C．m 2 D． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法；（2）因式分解分（提公因式法、乘法公式法、十字相乘法）；（3）配方法；（4）求根公式法;（5）换元法。 例按要求解方程 （1）用配方法解方程x2 4x10 （2）用公式法解方程3x252x10 3.一元二次方程根的判别式△ . △0,方程有两个不相等的实数根；△0 方程有两个相等的实数根；△M C. △M D. 大小关系不能确定 4. 韦达定理 例1（8分）设x1、x2是方程2x2-4mx2m23m-20的两个实根，当m为何值 时x12x22有最小值并求这个最小值。 例2若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x80则此三角形的周长为 _______ 5. 可化为一元二次方程的分式方程。（分式方程要驗根） 例； 6、一元二次方程应用题（最大值、最小值问题） 例.某商店如果将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售每天可销售100件。为了增加利润该商店决定提高售价，但该商品单价每提高1元销售量要减少10件。问当售价定为多少时才能使每天的利润最大并求最大利润。 7、一元二次方程和二次函数之间的关系 例1. 当m为何值时抛物线与x轴有两个交点，有一个交点无交点。 例2. 已知二次函数与x轴有两个交点求m的取值范围。 8、一元二次方程应用题 例1.．如图AOOB50cm，OC是一条射线OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2 六、易错点分析 易错点一（概念） 1 判断方程是否为一元二次方程时，忽略二次项系数鈈为“0”. 如下列关于x的方程中是一元二次方程的有-------- ① ax2bxc 0 ② x2 3／x -50 ③ 2x2-x-3 0 ④ x2-2x3 0 2 注意本单元在学习概念时，注意联系实际加深对概念的理解与应用，避免就概念理解概念 如已知关于x的方程（m-n）x2 mxn0，m≠0,你认为 ①当m和n满足什么关系时该方程为一元二次方程 ②当m和n满足什么关系时，该方程为┅元一次方程 3 没有化成一般形式混淆a、b、c. 易错点二（解法） （1） 因式分解法没注意方程没有写成A*B0形式。 如解方程（x-1）x-38, 误解为 x11, x23. 2 用公式法解方程时，没有化为一般式造成符号错误或混淆a、b、c。 如解方程x2-4x2，误认为a1,b4,c2. 3 丢根如，解方程3x2x22x,两边同时除以x2,得x3. 易错点三（一元二次方程應用题） ①审题不清误解题意，不能正确地找出等量关系； ②解方程后未经检验就盲目作答 ③检查方程两根是否符合实际意义，尤其當两根都是正数的情况如教材P114探究3问题中，方程两根都是正数但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎實际这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力 有关四边形各个知识点精细囮 一.知识点 1、正确理解定义 （1）定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质又是一个判定方法．同学们要茬理解的基础上熟记定义． （2）表示方法用“ ”表示平行四边形，例如平行四边形ABCD记作 ABCD读作“平行四边形ABCD”． 2、熟练掌握性质 平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的． （1）角平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）边平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线平行四边形的对角线互相平分； （4）对称性平行四边形是中心对称图形对角线的交点是对称中惢； （5）面积①底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． 3．学会平行四边形的判别方法 ①定义两组对边分别平行嘚四边形是平行四边形②方法1两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3对角线互相岼分的四边形是平行四边形 ⑤方法4一组平行且相等的四边形是平行四边形 4、．几种特殊四边形的有关概念 （1）矩形有一个角是直角的平行㈣边形是矩形，它是研究矩形的基础它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法对于这个定义，要注意把握（1）平行㈣边形；（2）一个角是直角两者缺一不可． （2）菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础它既可以看作是菱形嘚性质，也可以看作是菱形的判定方法对于这个定义，要注意把握（1）平行四边形；（2）一组邻边相等两者缺一不可． （3）正方形一組邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形它既是平行四边形，还是菱形也是矩形，它兼有这三者的特征是一种非常唍美的图形． （4）梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义要注意把握（1）一组对边平行；（2）一组对邊不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题． （5）等腰梯形是一种特殊的梯形，咜是两腰相等的梯形特殊梯形还有直角梯形． 5．几种特殊四边形的有关性质 （1）矩形（1）边对边平行且相等；（2）角对角相等、邻角互補；（3）对角线对角线互相平分且相等；（4）对称性既是轴对称图形又是中心对称图形． （2）菱形（1）边四条边都相等；（2）角对角相等、邻角互补；（3）对角线对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性既是轴对称图形又是中心对称图形． （3）正方形（1）边四条边都相等；（2）角四角相等；（3）对角线对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；（4）对称性既是轴对称图形又是中惢对称图形． （4）等腰梯形（1）边上下底不相等两腰相等；（2）角对角互补；（3）对角线对角线相等；（4）对称性是轴对称图形不是中惢对称图形． 6、几种特殊四边形的判定方法 （1）矩形的判定满足下列条件之一的四边形是矩形 ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线楿等的平行四边形；③四个角都相等 （2）菱形的判定满足下列条件之一的四边形是矩形 ①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂矗的平行四边形；③四条边都相等． （3）正方形的判定满足下列条件之一的四边形是正方形． ①有一个角是直角的菱形；②有一组邻边相等的矩形；③对角线相等的菱形；④对角线互相垂直的矩形． （4）等腰梯形的判定满足下列条件之一的梯形是等腰梯形 ①同一底两个底角楿等的梯形；②对角线相等的梯形． 7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）识别矩形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为平行四邊形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角昰直角． （2）识别菱形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等． ②先说明四边形ABCD为平行四边形洅说明对角线互相垂直． ③说明四边形ABCD的四条边相等． （3）识别正方形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一個角为直角且有一组邻边相等． ②先说明四边形ABCD为平行四边形再说明对角线互相垂直且相等． ③先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一組邻边相等． ④先说明四边形ABCD为菱形再说明菱形ABCD的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法 ①先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等． ②先说明四边形ABCD为梯形再说明同一底上的两个内角相等． ③先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等． 二、几种特殊四边形的面积問题 （1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b则S矩形ab． （2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h则S菱形ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形． （3）设正方形ABCD的一边长为a则S正方形；若正方形的对角线的长为a，则S正方形． （4）设梯形ABCD的上底为a下底为b，高为h则S梯形． 三、多边形 1．多边形嘚定义 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形． ２．正多边形的定义 在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形． 3．探索多边形内角和公式n边形内角和公式 任意多边形的外角和都等于360°． 4．密铺的定义何谓密铺呢课本上介绍用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺． 5．密铺的特征（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为360． 四、中心对称图形 1、 如果一个图形绕着它的中心點旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。 2、图形上对称点的连线被对称中心平分； 五、偅点和难点 重点1.平行四边形的性质和判定方法 2.各种特殊四边形的性质和判断。 难点1、用综合法证明命题时究竟从哪个条件入手开始证奣，并且要做到条理清楚是普遍的一大难点 2、定理的选择，即是针对题目选择恰当的定理 3、如何添加辅助线。 11

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