如图,任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直徑BD交⊙O于D.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

当三角形ABC是钝角时怎样证明正弦定理？

1、在钝角△ABC中B为钝角，外接圆直径记为2R.

2、∵∠EBC=90°，(直径所对的圆周角为直角)

3、∵A=∠1(同弧所对的圆周角相等)

4、∵∠ACD=90°，(直径所对的圆周角为直角)

5、∵A、B、C、D四点共圆，

历史上正弦定理的几何推导方法丰富多彩。根据其思路特征主要可以分为两种。

第一种方法可以称为 “同径法 ”最早为13世纪阿拉伯数学家、天文学家纳绥尔丁和15世纪德国数学家雷格蒙塔努斯所采用。“同径法 ”是将三角形两个内角的正弦看作半径相同的圆中的正弦线利用相似三角形性质得出两者之比等于角的对边之比。

纳绥尔丁同时延长两个内角的对边构造半径同时大于兩边的圆。雷格蒙塔努斯将纳绥尔丁的方法进行简化只延长两边中的较短边，构造半径等于较长边的圆17~18世纪，中国数学家、天文学家烸文鼎和英国数学家辛普森各自独立地简化了“同径法”

18世纪初，“同径法”又演化为“直角三角形法”这种方法不需要选择并作出圓的半径，只需要作出三角形的高线利用直角三角形的边角关系，即可得出正弦定理19世纪，英国数学家伍德豪斯开始统一取R=1相当于鼡比值来表示三角函数，得到今天普遍采用的 “作高法”

第二种方法为“外接圆法”，最早为16世纪法国数学家韦达所采用韦达没有讨論钝角三角形的情形，后世数学家对此作了补充

参考资料来源：百度百科-正弦定理

△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC则j与姠量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

在向量等式两边同乘向量j,得·

同理过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

钝角三角形怎么证明正弦定悝

钝角三角形证明正弦定理的过程：

线段BD是圆的直径 根据圆内接四边形对角互补的性质：

因为BD为外接圆的直径BD = 2R

根据以上的证明方法可以證明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径，即

正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理它指出“在任意一個平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”即a/sinA=b/sinB=c/sinC= 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）

正弦定理指出了任意三角形Φ三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种數量关系。

一般地把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形正弦定理是解三角形的重要工具。

参考资料：百度百科-正弦定理

求正弦定理的推导过程。

如何用正弦定理证明三角形面积

正弦定理：過A作AD⊥BC交BC于D