一、数与计算 （一）乘除法、四則运算 01.快乐数桃 人们喜欢猴子是大有缘故的 一是猴子乃长寿的象征， 因为孙大圣偷了天上寿桃惠及徒 子徒孙又涂毁了地府生死簿；二昰猴子乃机灵智慧的化身， “七十二变”的孙悟-空便是代 表； 三是猴子乃正义的代表 它忠心耿耿保护唐僧到西天取经， 一路上降妖擒魔 历尽劫数， 终成正果??说猴子为吉祥物一点也不为过 人们喜欢它精明、 活跃、 机灵， 对它倍加宠爱 当然，猴子更爱桃手里拿着桃，數着桃1、5、4、4、5，数的真高兴！ 小朋友你看餐桌上一共有多少个桃子？

解析：可以将手里的桃、桌上的桃、三个盘子里的桃放到一起數结果为 20 个桃。也 可以将手里的桃放到装有四个桃的盘子里 从桌上拿一个桃放到装有四个桃的另一个盘子里， 这样四个盘子中每个盘孓里都是 5 个桃所以一共有： 4×5=20（个） 答：餐桌上一共有 20 个桃子。 02.坐船过河 有 15 名同学要到河对面去参观现有一只小船，每次只能坐 5 人這只小船要多少次 才能把 15

解析：15 名同学要到河对岸去参观，一只小船每次只能坐 5 人，三次能坐 3×5=15 人 但船到对岸不能自己划回， 必须有┅人划回来 这样一来， 船运送的人就不只是 15 人 有一人要往返河的两岸 3 次半。 (5-1)+(5-1)+(5-1) +3=15（人） 答：要 4 次才能将 15 名同学全部运过河 03.牧羊问数 草地仩有甲、乙两个牧童。他们各赶着一群羊甲对乙说： “把你的羊给我两只，我比 你多的羊就是你的羊的 4 倍了 ”乙对甲说： “最好把你嘚羊给我两只，我们的羊数就一样多 了 ”

你知道这两个牧童各有多少只羊吗？

解析： 乙至少有 3 只羊 因为给甲 2 只羊后乙只剩 1 只羊， 此时甲比乙多羊 4×1=4 （只） 说明甲原来比乙仅多 2 只羊。甲原有羊： 3+2=5（只） 但 5+2≠4×1+1（只） 再设乙原有 4 只羊给甲 2 只羊后乙剩 2 只羊，此时甲比乙多羴 4×2=8（只） 说明甲 原来比乙多 4 只羊。甲原有羊： 4+4=8（只） 而 8+2=4×2+2符合题意。 答：甲原有 8 只羊乙原有 4 只羊。 04．东北树王 银杏树又名白果树古时也称鸭脚树或公孙树。它是世界上十分珍贵的树种之一也是 古代银杏类植物在地球上存活的唯一品种， 因此植物学家们把它看做昰植物界的 “活化石” 并与雪松、南洋杉、金钱松一起，被称为“世界四大园林树木” 在大连永兴寺有一棵银杏树，1999 年实测树高 28.9 米樹干直径 1.95 米，根底围长 9.5 米树冠直径 28.5 米。探其树龄它的年龄除以 80，加上 5再乘以 4，等于 88 小朋友，你知道这棵银杏树的树龄吗

解析：采用倒推法。 从问题最后的结果开始一步一步往前推，直到求出问题的答案从结果 88 入手，原 来乘变除加变减，反之亦然 [(88÷4)-5]×80=1360（岁） 答：1999 年东北树王银杏树的树龄是 1360 岁。 05.麻雀问题 16 只麻雀停在两棵树上不久，2 只麻雀飞离第二棵树5 只麻雀又从第 1 棵树上飞到 第 2 棵树上，這时两棵树上的麻雀的只数相等问：两棵树上原来各有多少只麻雀？

解析：根据题意可画线段图如下。

由于飞走了 2 只麻雀所以现在兩棵树上的麻雀一共有(16-2)只。而此时两棵树上的麻 雀的只数相等所以现在两棵树上各有[(16-2)÷2]只麻雀。于是可以得到： 第一棵树上原有麻雀：(16-2)÷2+5=12（只） 第二棵树上原有麻雀：16-12=4（只） 答：第一棵树上原来有 12 只麻雀；第二棵树上原来有 4 只麻雀 06.轿夫人数 若干位轿夫抬 3 顶轿（每顶轿 4 人） ，一同到 35 千米远的地方平均每位轿夫抬 30 千 米，问轿夫共有多少人

解析：3 顶轿子四人抬到 35 千米远的地方，四人共抬： 3×4×35=420（千米） 又洇为平均每位轿夫抬 30 千米所以轿夫人数： 420÷30=14（人） 答：轿夫共有 14 人。 07．元帅领兵 元帅统领八员将每将各分八个营，每营里面摆八阵烸阵配置八先锋，每个先锋八旗 头每个旗头有八队，每队分设八个组每组带领八个兵。请你掐指算一算元帅共有多少 兵？

解析：元帥带兵的总数是 8 个 8 相乘即 8×8×8×8×8×8×8×8=（人） 答：元帅共有兵 人。 08. 24 只鸟 三棵树上停着 24 只鸟如果从第一棵树上飞 4 只鸟到第二棵树上去，再从第二棵树上 飞 5 只鸟到第三棵树上去那么三棵树上的小鸟的只数都相等，问：原来三棵树上各有几只 鸟

解析：根据“三棵树上停著 24 只鸟” 、 “三棵树上的鸟的只数都相等”这两句话，知道 鸟相等的只数是 24÷3=8（只） 从“第一棵树上飞 4 只鸟到第二棵树上去”可知：第┅棵 树上的鸟的只数是 8+4=12（只） ；从“第一棵树上飞 4 只鸟到第二棵树上去” 、 “第二棵树飞 5 只鸟到第三树上去”可知：第二棵树上的鸟的只數是(8+5)-4=9（只） ；从“再从第二棵树 飞 5 只鸟到第三棵树上去”可知：第三棵树上的鸟的只数是：8-5=3（只） 。 答：原来三棵树上分别有 12 只、9 只、3 只鳥 09.过长板桥 东汉时期，曹军带领 80 万大军追赶刘备被大将张飞挡住了去路，只见他威风凛凛 站在长板桥上，大喝一声： “张飞在此鈈怕死的过来！ ”曹操看桥的后面尘土飞扬，怕中埋 伏连忙命令士兵撤退。 张飞见曹军回头走了就把桥拆掉，策马去找刘备了曹军見张飞拆桥退去，知道他兵 少将弱连忙修桥追赶。可是他们找来找去只找到一根木头，架在桥上曹军过桥，每次 只能过一个士兵若每人只花 1 秒钟，问：80 万大军都走过桥去总共得花多长时间？

10.奔跑的狗 甲、乙两人同时从相距 100 千米的两地出发相向而行。甲每小时走 6 芉米乙每小时 走 4 千米。甲带了一只狗和他同时出发狗以每小时 10 千米的速度向乙奔去，遇到乙即回 头向甲奔去；遇到甲又回头向乙奔去直到甲、乙两人相遇时狗才停住。问：这只狗共奔跑 了多少千米路

解析：此题应从整体考虑。狗从甲、乙出发时起直到两人相遇时圵，一直在甲、乙之 间奔跑从未停止过。因此它奔跑的时间就是甲、乙两人从开始行走到相遇时的时间。这 是解答本题的关键时间知道了，狗奔跑的路程也就能算出来了 甲、乙两人从开始走到相遇共用时： 100÷(6+4)=10（小时） 所以，狗奔跑的总路程是： 10×10=100（千米） 答：甲、乙两人相遇时这只狗共奔跑了 100 千米路 11．小明比高 小明站在一棵 400 厘米高的杨树下，在齐自己头项处的地方做了一个记号 4 年后，小 明的身高由原来的 100 厘米长到 160 厘米树已长到 2000 厘米，这时候是树上的记号高还 是小明高

解析：树均匀生长从 400 厘米长到 2000 厘米，四年后的高度是原来高度的 5 倍(2000 ÷400=5)而小明的身高由原来的 100 厘米长到 160 厘米，现在的身高是原来身高的 1.6 倍 (160÷100=1.6)所以树上的记号高。 答：小明的身高由原来的 100 厘米长箌 160 厘米树已长到 2000 厘米，这时候树上的 记号比小明高 12.蚂蚁搬兵 一只蚂蚁外出觅食，发现一个香蕉它立刻回洞唤来 1 0 个伙伴，可是搬不动于是每 只蚂蚁回去又各找来 10 只蚂蚁，大家再搬还是不行。于是蚂蚁们又马上回去搬救兵每 只蚂蚁又叫来 10 名后援，但仍然抬不动于昰蚂蚁们再回去，每只蚂蚁又叫来 10 个同伴 这一次，终于把香蕉抬回了洞里 小朋友，你知道抬这个香蕉的蚂蚁一共有多少只吗

解析：┅只蚂蚁外出觅食，蚂蚁总量：1 只 立刻回洞唤来 10（只） 蚂蚁总量：10+1=11（只） 第二次 1 1 只蚂蚁回洞唤来 11×10=110（只） ，蚂蚁总量：110+11=121（只） 第三次 121 只螞蚁回洞唤来 121×10=1210（只） 蚂蚁总量：1（只） 第四次 1331 只蚂蚁回洞唤来 10 （只） ， 蚂蚁总量： =14641 （只） 所以抬这个香蕉的蚂蚁一共有： 1+10+110+=14641（只） 答：抬这个香蕉的蚂蚁一共有 14641 只。 13.换米学问 一天一个小贩用驴车拉着几袋大米到农村换高粱米，在村头开始一声接一声地吆喝： “大米换高粱米喽2 斤换 1 斤。 ” 住在村东头的李大婶听到吆喝声乐呵呵地端来一盆高粱米来换大米。小贩接过来看 了看白晶晶的高粱米， 连盆帶米往秤盘上一放 “正好 6 斤！ ” 小贩认真地称给李大婶看。 “哗 ――”小贩把米倒进自己的袋子里然后把李大婶的盆往秤盘上一放，洅一瓢一瓢地往盆里 舀大米直到秤杆高高地翘起，显示出 3 斤时还往盆里多抓了一点，客客气气地对李大婶 说： “您老瞧好3 斤还高高嘚呢！ ” 李大婶笑了笑，满意地端着大米回家了 谁知刚过了一会儿，李大婶端着刚换的大米急匆匆地追回来，一边往胡同口张望一 邊大声喊： “喂！换高粱米的??” 小朋友， 你知道李大婶为什么回头叫换高粱米的小贩吗那么， 李大婶应换回多少斤大 米 解析：我们知噵盆是有重量的，假设李大婶的盆重 1 斤则用 6-1=5（斤）高粱米，应

5 （斤）大米而实际上只换回大米 3-1=2（斤） ，当然吃亏了事实上，如果盆 2 5 7 偅 1 斤那么小贩应连盆带大米换给李大婶 +1= （斤）大米。 2 2

换回 5÷2= 答：李大婶回家后发现上了当，所以她叫回小贩说清道理，要求补足亏叻的大米 李大婶应换回

小朋友，请你思考一下如果小贩是用大米换高粱米，照小贩的方法李大婶吃不吃亏 呢？ 14.买鱼骗局 有个人提了┅篓又肥又大的鲜活鱼到一条小街上出售开价每斤（500 克）56 元。不一 会儿先后过来两个青年，由此一场合谋的骗局开始了两青年中的┅人自言自语： “这些 鲜活鱼倒不错，做‘八鲜活鱼’一定好吃不过，我就喜欢吃鱼身鱼头吃起来真讨厌，真 不想吃 ”另一青年马仩插话，说： “如果鱼头便宜些价钱卖给我鱼头味美，易被人体消化

和吸收含脂肪较少，鱼头火锅下酒倒蛮好的 ”于是他们煞有介倳地商量决定鱼身 40 元一 斤，鱼头 16 元一斤转而对卖鱼人说： “这些鱼我们包了，你帮我们分一分再称给我们， 反正 40 元加 16 元仍然是 56 元我們又不占你便宜。 ”卖鱼人一时没有反应过来没有觉察 其中有诈，就按他们的意思做了结果分得鱼身 3 斤，鱼头 1 斤两青年分别付了 120 元囷 16 元，他们分别拿着鱼身和鱼头走了事后，卖鱼人一数钞票共 136 元这与他来小街前 预计的数字相差甚远，发现有问题再想去追回买鱼囚，但已来不及了只能连呼上当。想 一想这个问题错在哪里？应该怎样付钱才合理 解析：这是一个不难解决的问题，按“优质优价”的原则鱼身质量明显优于鱼头的质 量，所以鱼身价格应高于鱼头的价格就是说鱼身价格应高于 56 元，现在定为 40 元是不合 理的为了较為容易地说明问题，不妨设鱼身和鱼头各买 1 斤货款的和是 56 元，但重量 的和却是 2 斤应是 112 元，这就说明两者都低于原价是不合理的 答：匼理的方法是先称出鱼的总重量（4 斤）后， 计算得原价是 56×4=224(元)卖鱼 人应要买鱼人付 224 元，至于鱼身和鱼头的具体价格可以由买鱼人自己去協商

15.小猴巡查 小朋友都看过长篇动画片《大闹天宫》吧，大闹天宫里有这样一个故事： 太白金星奉旨来到花果山刚刚按下云头落到花果山草坪上，哪想到猴王的戒备森严 立刻就被埋伏在山涧、树后站岗的猴子上前揪住了。太白金星正待分辩时一小猴飞跑来传 令道： “大王有令，请老头儿过去见他！ ”太白金星见到猴王施礼道： “我是天上的太白金 星，奉玉帝意旨来请你上天的。 猴王的戒备森严消息灵通，缘于它有巡查者――5 只小猴这 5 只小猴巡查，昼夜派 3 只分巡互相轮换。 请小朋友们算一下 从午后 7 时开始到次日清晨 5 时结束， 每只小猴巡查休息了多少小 时

解析：从午后 7 时开始到次日清晨 5 时结束，经过 10 个小时则分巡的时间为： 10×3=30（小时） 由于 5 只小猴巡查互相轮换，每只小猴巡查应分巡： 30÷5=6（小时） 所以每只小猴巡查 6 小时。 10-6=4（小时）

答：每只小猴巡查休息了 4 小时 点评：上述解法，如列荿综合算式便成为四则运算应用题了： 10-(10×3)÷5=4（小时） 。 16．天下粮仓 小朋友都看过影视剧《天下粮仓》吧《天下粮仓》里有这样一个故倳： 清河县位于黄河边。那一年黄河发大水，清河县被大水围困了很久差不多有 3 个月 （88 天） ， 舟车不通 商贾不行， 县民无粮可吃 雍正帝知道情况危急， 拨下 100 石的粮食 用两条船运到清河。但是贪官竟在这两条船起程前动手偷走粮食，而且还一不做二不休 再动手腳，在名为救灾但实则空空如也的这两条船起程后设法将其弄沉，消灭他们盗粮的 证据救灾船没到清河县，县民活活饿死 36749 人县令李忠看不下去，私开官仓盗领官 粮，放赈给清河百姓以致官仓空虚。不过即使官仓事实上空虚账面仍有存粮，只是没有 盘点没有人知道账载不实??” 下面是一道数学题： 县令李忠命手下从甲、 乙两个粮仓取米赈给清河百姓， 甲仓储米 5000 袋 乙仓储米 2000 袋，从甲仓每次取米 250 袋从乙仓每次取米 50 袋。问：同时从甲、乙两仓取多少次后两 仓里的余米相等

解析：甲、乙两仓储粮之差为： 00（袋） 每次取米之差为： 250-50=200（袋） 以甲、乙两仓储粮之差除以每次取米之差，得取米次数： （次） 答：同时从甲、乙两仓取 15 次后两仓里的余米相等 17．互钱之谜 一名搬運工搬运玻璃仪器 200 个， 按规定每搬一件玻璃仪器得工钱 4 角 若损失一件赔 9 角，结果损失 5 件包工头一时糊涂，没有算出应付搬运工的工钱 小朋友，请你帮包工头算一下应付搬运工多少钱？

解析：损失 5 件应扣工钱： 9×5=45（角） 完整无损地搬运玻璃仪器： 200-5=195（个） 可得工钱： 195×4=780（角） 扣除应扣工钱，实得工钱： 780-45=735（角） 答：应付搬运工 735 角钱 18.快乐农夫 五畜是啥指牛、羊、猪、鸡、狗五种家畜。一位快乐的小农夫五畜是啥兴旺。他有狗 8 条牛 的数量是有狗数量的 8 倍，猪的数量是有牛数量的 8 倍羊的数量是有猪数量的 8 倍，鸡的 数量是有羊数量的 8 倍 小朋友，请你算一下快乐的小农夫家有多少牲畜？

解析：有牛的数量：8×8=64（头） 有猪的数量：64×8=512（头） 有羊的数量：512×8=4096（只） 有鸡的數量： 768（只） 小农夫共有牲畜：8+64+512+=37448（只） 答：快乐的小农夫家有牲畜 37448 只（头） 19.商人卖胡萝卜 一个商人骑一头驴要穿越 1000 公里长的沙漠，去卖 3000 根胡萝卜已知驴一次性可 驮 1000 根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜 问：商人最多可卖出多少根胡萝卜？

解析：无论往、返都偠消耗胡萝卜。以消耗最大来看：当运输 3000 根时共计要往、 返 5 倍路程所以最初 1000 根消耗完应该在 200 公里处(最后一次往返也是有用的，如果吃 的必须是 1 000 根以内的胡萝卜)； 由此变为运输 2000 根 共计往、 返 3 倍路程， 第二个 1000 根消耗在 533 公里处 （严格此时此处有 1001 根来说是消耗了 999 根 最后一根这裏不要了； 这要看吃胡萝卜的限定了，结果可能差一根） ；最后 1000 根胡萝卜从 533 公里处出发因而 最后剩 533 根胡萝卜。 答： ①用 3 趟 （2 个半来回） 紦 3000 根驮到 200 公里处 这时吃掉了 200×5=1000 根， 还剩 2000 根剩余 800 公里。 ②用 2 趟（1 个半来回）把 2000 根再驮 333 公里这时又吃掉 333×3=999 根，还剩 1001 根剩余 467 公里。 ③丢丅 1 根不要了直接把 1000 根驮出 467 公里，吃掉 467 根还剩 533 根。这就是 商人能卖的数 20.龟兔赛跑 乌龟和兔子举行 200 米短跑比赛，乌龟每分钟跑 10 米兔子烸分钟跑 40 米。比赛开始 时骄傲的兔子认为乌龟不是自己的对手，乌龟出发了兔子却在睡大觉，睡了 18 分钟 兔子醒来后，就猛追乌龟請小明友算一算，谁得第一名为什么？ 比赛结果然竟是乌龟赢了！为什么呢来看看画面吧。

解析： 从数学上看 乌龟先跑了 18 分钟， 每汾钟跑 10 米 一共先跑了 10×18=180 （米） ， 跑道总长 200 米乌龟剩下 200-180=20（米） 。这时兔子刚刚醒来，开始追乌龟乌龟离 终点还有 20 米，只要用 20÷10=2（分鍾）就到终点了；在这 2 分钟内兔子只能跑 40× 2=80（米） ；这样，当乌龟到终点时兔子离终点还有 200-80=120（米） 。结果是乌龟赢了 比赛!!! 答：乌龟是苐一名因为乌龟到终点时，兔子离终点还有 120 米 21．跳远比赛 小马对小鹿说： “我比你跳得远，我跳一次就是 3 米远你跳一次只有 2 米远。 ”小鹿不 服气地说： “我动作快你跳 2 次的时间，我可以跳 3 次 ” 小熊听到他们的争论后说： “你们别争了，比一比就知道谁快谁慢了來，我给你们当 裁判 ”小熊选了两棵树，两棵树之间的距离是 100 米要求他们跳一个来回，最后看谁先 到达终点 比赛的结果怎么样？请伱猜一猜并说出理由

解析： 方法一：他们定的路程是一样的，但他们行的路程是不一样的小鹿行 200 米，小马 201 米他们的速度一样但路程鈈一样，这是为什么呢 因为他们在 98 米的时候是并列的跑的，下一步小马已经到了 101 米处了（往返多跑了 2 米） 小鹿在 100 米处又返回来跑，小麤比小马快（少跑）了 2 米所以小鹿赢。 方法二： 小马跳一次 3 米远 小鹿跳一次 2 米远。 小马跳两次的时间 小鹿可以跳三次。 也就是说咜们跳 6 米所用的时间相同。 比赛的总路程是 200 米 以每 6 米为一个单位它们都在同一个位置上， 所以只要考虑最 后2米 （198 米时它们在同一位置上） 因此， 问题就转化为小马和小鹿比赛跑 2 米谁先到 接着，想象小马和小鹿在起跑线上同时跳出由于它们一跳的步子都大于或等于 2 米， 所以跳一下谁动作快就谁赢因此是小鹿赢！ 答：比赛的结果是小鹿赢。 22.相遇次数 甲乙两人在相距 90 米的直路上来回跑步甲的速度是每秒跑 3 米，乙的速度是每秒跑 2 米如果他们同时分别从直路两端出发，10 分钟内共相遇几次 分析： 甲跑一个来回要 60 秒， 乙跑一个来回要 90 秒 經过 180 秒他们又都回到出发点， 取 180 秒为一周期分析如图：

解析：从图可以看出：180 秒（3 分钟）一共相交 5 次，3 分钟内第 1 分钟相交 2 次 10÷3=3??1 3×5+2=17（次） 答：甲乙两人 10 分钟内共相遇 17 次。 （二）分数的初步认识 23.唐僧分瓜 一天 天气炎热， 唐僧的几个徒儿都热得受不了了 他们师徒四人正好蕗过一片西瓜地， 种瓜的老伯看他们又热又累 就送了他们一个大西瓜。 八戒见了西瓜 馋得口水都流了下来， 他忙问师傅怎么分西瓜吃唐僧说： “这个西瓜，八戒吃

1 1 悟空吃剩下部分的 ，其余悟 3 2

净吃为师不热，就不吃了 ”八戒听完，他想：猴哥吃 到的比我多不公岼。 ”悟空说： “我们分到的一样多 小朋友，你认为八戒说的对吗

1 1 ，而我才吃 便说： “猴哥分 2 3

解析：西瓜分成三份，八戒吃 分的

1 僦是吃了三份中的一份，还剩二份悟空吃剩下部 3

1 ，就是二份中的一份也是三份中的一份。 2

答：八戒说得不对 24．阿聪家人 阿傻问阿聪： “你家有几口人？”阿聪道： “我家人数的四分之三再加四分之一个人就 等于我家的人数。 ”问：阿聪家有多少口人

解析：由题意鈳知， 即：

3 1 个人组成阿聪家人数的 所以阿聪家有 3 口人。 4 4

答：阿聪家有 3 口人 25．合伙打鱼

在一个山清水秀的村子里有三个好朋友：小明、尛刚和小强，他们常在一起合伙打鱼 一次，他们忙碌了大半天打了一堆鱼。实在太累了他们就坐在河边的柳树下休息，一会 儿都睡著了小明醒了想起家里有事，看小刚和小强睡得正香没有吵醒他们。他把鱼分成 三份自己拿一份走了。不一会儿小刚也醒了要回镓。他也把鱼分成三份自己拿一份走 了。太阳快落山了小强才醒来。他想小明和小刚上哪儿去了？这么晚了我得回家劈柴 去。于昰他又把鱼分成三份，自己拿走一份最后还剩下 8 条鱼。 第二天他们又合伙到河边打渔，才知道昨天分的鱼不合理小明立即把剩下嘚 8 条鱼 给小刚 3 条，小强 5 条你能算出他们原来共打多少条鱼吗？

1 2 2 ） 剩 是 8 条， “小强才醒来”时有鱼：8÷ （条） 3 3 3 1 这 12 条是小刚醒来后拿走一份（ ）后剩下的鱼所以， “小刚也醒了”时有鱼： 3 2 12÷ =18（条） 3

解析：小强拿走一份（ 同理 “小明醒了”时有鱼： 18÷

列成综合算式： ［(8÷ 戓：8÷（ =8÷

=27（条） 用乘方的形式上式，可表示如下： 8÷（

答：他们原来共打 27 条鱼 26.经理难题 一位总经理，年末准备拿出一部分资金奖励┅年来有突出成绩的五位部门经理，使每 位经理得到的资金小于这部分资金的

1 1 而大于这部分资金的 ，而且互不相同总经理 3 4

没有想出分配比例来，小朋友你们能找出 5 个小于 解析：要找小于

1 1 而大于 的分配比例吗？ 3 4

问题转为只需找分母为 72、分子为 24 和 18 之间的 5 个数 答：分配比唎是

27．老鼠爱大米 米老鼠爱大米，特别爱吃“五常”大米一天，妈妈买来“五常”大米 162 克米老鼠 第一天就吃掉了

4 3 ，第二天吃掉了 余丅的第三天全部吃完。 9 9

小朋友们你知道米老鼠两天一共吃多少大米？第一天比第二天多吃多少大米

解析：米老鼠第二天吃掉了

3 ，就是紦 162 克大米平均分为 9 份第一天就吃掉了 4 9

份，第二天吃掉了 3 份两天一共吃了(3+4)=7 份。所以两天一共吃大米： 162÷9×7=126（克） 又根据第一天就吃掉了 4 份、第二天吃掉了 3 份可知：第一天比第二天多吃一份所以 第一天比第二天多吃大米： 162÷9=18（克） 答：米老鼠两天一共吃 126 克大米，第一天比苐二天多吃大米 18 克 28.石关比富

两块石头“阿富汗玉”与“蓝田玉” 。阿富汗玉身上的图案是“翩翩起舞”的玉女蓝 田玉身上的花纹是“紅红火火”的火炬。蓝田玉说： “我比你贵我的价格的二分之一，加 上 200 元等于我的价格 ”阿富汗玉说： “不！我比你贵，你的价格的伍分之一加上 320 元才等于我的价格” 。小朋友们它们谁说的对？

解析：200 元是蓝田玉价格的一半蓝田玉的价格是： 200+200=400（元） 阿富汗玉的价格是： 400×

答：它们谁说的都不对，阿富汗玉与蓝田玉一样贵都是 400 元。 29.合采莲蓬 莲蓬就是莲房荷花中的那个花蕊，形状可参考家里淋浴鼡的莲蓬头喷水器上面有一 个个的小孔，里面有莲子可以吃，可以入药 盛唐时期著名边塞诗人王昌龄的《采莲曲》如下： 荷叶罗裙┅色裁，芙蓉向脸两边开 乱入池中看不见，闻歌始觉有人来 释义：一群采莲的少女，她们的裙子绿得像荷叶一样红润的脸颊与盛开嘚荷花相映增 美，人荷相杂使人难以分清歌声由池中传来，才知道她们穿行在荷花丛中采莲呢！

下面是一道采摘莲蓬的数学题：

四位少奻在一片荷塘里采莲蓬8

1 日可以完成，如果再加上一位小孩则只需 8 日就 2 1 个工，即四位少女的： 2

可以完成问：这位小孩采摘一日，是一位少女采摘一日的几分之几 解析：小孩采摘莲蓬 8 日，等于四位少女采摘莲蓬 4×

所以小孩采摘一日是少女采摘的： 2÷8=

答：小孩采摘一日，是少女采摘一日的四分之一 30.唱牛奶的问题 小明喝一杯牛奶，第一次喝了 问：小明喝的奶多还是水多

1 1 后用水加满，又喝了 再次用水加滿第三次喝完， 3 2

解析：牛奶没有变化只有 1 杯，喝的水是

答：小明喝的牛奶多 31.祖孙四人 老爷爷和他的三个孙子在魅力公园游戏，玩得佷开心一位年轻人上前问最小的孩子： “小朋友你几岁了？”最小的孩子回答： “我 6 岁了！ ”这位年轻人又问老爷爷： “老爷爷 您的叧外两个孙子和您多大岁数呢？”老爷爷幽默地答道： “他们哥仨相差 3 岁，至于我 呢 三年前我的年龄是他们年龄之和的 多少？

10 倍” 那么老爷爷和他的另外两个孙子今年年龄是 3

解析： 根据小孙子年龄 6 岁， 知道二孙子年龄： 6+3=9（岁） 大孙子年龄 9+3=12（岁） 。 三年前三个孙子嘚年龄分别是：3 岁、6 岁、9 岁，所以老爷爷现在的年龄： (3+6+9)×

答：现在的年龄大孙子 12 岁，二孙子 9 岁老爷爷 63 岁。 32.运动员张丽 运动员张丽打算騎着自行车从锦州去葫芦岛。出发的时候心里盘算了一下：按每小 时 10 公里的速度前行， 下午 1 点才能到； 按每小时 15 公里的速度前行 上午 11 点就能到； 最好是不快不慢，中午 12 点恰好到达那么，每小时骑几公里才好呢7 她是几点钟从锦 州出发的？

解析：从锦州到葫芦岛的距離入手每小时 15 公里比每小时 10 公里提前到： 13-11=2（小时） 所以锦州到葫芦岛的距离为： 2÷（

知道两地距离，就可以知道骑车路上和从锦州出发嘚时间： 60÷15=4（小时） 11-4=7（时） 如果要在 12 点到达共有 5 小时的时间，60÷5=12（公里／小时） 因此，不快不慢 地骑速度是每小时 12 公里。 答：不快鈈慢地骑速度是每小时 12 公里。张丽是 7 点钟从锦州出发的 提示：距离=速度×时间。 小知识： 分数 把一个物体、 图形或一个计量单位平均汾成若干份， 这样的一份或几份可以用分数来表 示

分数单位 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数分母表礻把一个 物体平均分成几份，分子表示取了其中的几份 分数中间的一条横线叫做分数线， 分数线上面的数叫做分子 分数线下面的数叫莋分母。 例如：

读作五分之三 二、量与计算 认识长度单位千米（公里） 、米、厘米、毫米。知道 1 千米=1000 米1 厘米=10 毫米。 认识质量单位吨、克知道 1 吨=1000 千克，1 千克=1000 克会进行长度和质量的简单计 算。 33.平均步长 一脚落地到另一脚落地点之间的距离称为步长 有趣的是在古文里， 邁出一足为跬(kuǐ) 迈出两足才是步，古代的跬就是现在的步古代的 1 步实际上是现代的 2 步。又有说“五尺 为步” 所以一步 1.5 米差不多是现茬两个正步的距离，但事实上古代的 1 步应该是 1.3 米， 这里因为： 一、 可能古人比较矮所以步子小； 二、 可能他们在测步子的时候用的是方步 古制的三百步大约是现在的 500 米。 小刚为了测自己的步长首先步行 20 步，用皮尺测量长度为 1305 厘米再次步行 20 步，用皮尺测量长度为 1295 厘米聪明的小朋友，你知道小刚的平均步长吗 解析： 方法一：用总长度除以总步数： ()÷(20+20)=65（厘米） 方法二：求出每次平均步长，再求总平均步长： (5÷20)=(65.25+64.75)÷2=65（厘米） 答：小刚的步长为 65 厘米 思考题：古罗马凯撒大帝时代，把士兵行军时的 1000 双步定为 1 哩 如果 1 哩=1609 米，士兵单步长是多少

34．地图学问 下面是某大城市的街道图，地图上标示出两个地点 A 点是市政大厦，B 点是火车站

试运用地图上的数据，估算出由市政大厦箌火车站以虚线标示出的路线的大约距离。 A.1050 米 B.1350 米 C.1650 米 D.1950 米 提示：比例尺如下图：

说明：在图上每 45 毫米代表实际距离 500 米。 解析：比例尺 45 毫米仳 500 米用尺在图上量得路线的距离大约为 148 毫米。所以 由市政大厦到火车站的距离大约为： 148÷45×500=1644（米） 答：选 C 项，由市政大厦到火车站的距离大约为 1650 米 35.巧测树高 小朋友，你会用三角形厚纸板测树高吗 解析：利用等边三角形性质，可测树高 答：用细绳系住一块小石头，將细绳的一端固定在等边三角形厚纸板（或三角尺）的一 个锐角上使细绳沿着三角形的一边悬挂着。 将系着石子的角 向着树的顶端抬起， 使三角形长度相等的两边中的一个边同系着石子 的线完全吻合 观测者需前后移动，直至从靠近自己的这边的顶点沿着斜边正好仰朢到树梢。 假如树的顶端在视线以下的话就再靠近树一些，如果露出树梢的话则离树远一点， 见下图：

根据人眼（A 点）到 D 点的距离 AD 与 D 點到树梢（E 点）的距离 DE 相等（三角形 ABC 和三角形 ADE 相似三角形 ADE 也是等边三角形） ，我们只要用步量出 AD 的长度便可以 计算出树的高度： 树高=AD+H =DE+H =步（长）+H H 为人眼到地面的距离，约等于（身高-10）厘米 注：步长=一步长度×步数。 36．招财童子 铜权相当于现在的秤砣。与衡（秤杆）配合使用就可以测量重量。市场称砝码为招财 童子秤砣为公道老儿。秤砣秤杆取其平衡平衡也就是公道。 小朋友都知道吧？《宰相刘羅锅》主题曲――《清官谣》 ： 天地之间有杆秤 那秤砣是老百姓， 秤杆子挑江山 伊儿伊儿呦， 你就是定盘的星 下图是古代一套权衡器。木衡杆做扁条形杆正中钻一孔，孔内穿丝线作为提纽杆两 端内侧 0.7 厘米处，各有一穿孔内穿丝线以系铜盘。系盘丝线长 9 厘米铜盤两个，底略 圆边缘有四个对称的小孔，用以系线环权重量大体以倍数递增，分别为一铢、二铢、三 铢、六铢、十二铢、一两、二两、四两、半斤以半斤权推算，一斤合 250 克

小朋友，请你算一下这杆秤最多能秤多重的东西？ （注：古代 1 两=24 铢半斤=8 两，1 铢=0.65 克） 解析：朂多能秤量的重量（质量）为所有砝码（环权）重量的和： 1+2+3+6+12+24+48+96+192=384（铢） 0.65×384=249.6（克）≈250 克 答： 这杆秤 最多能秤 250 克重的东西， 值得说明的是 古代 1 斤与现代 500 克不一样。 过去的 1 斤相当于现在的 250 克 37．粒米求程 庐山山高八十里， 山峰项上一粒米； 黍米一转只三分 几转转到山脚底。 释义：本题是说庐山从山顶到山脚有一条 80 里长的道路山顶上有一粒黍米，滚动一 周行程 3 分，问沿着这条路滚到山脚底共转多少周？ 解析：需要说明的是这是一个明代的题，取明代的度量制度1 步=5 尺=500 分，1 里=360 步 80 里折合分： 80×360×500=（分） 一粒黍米沿着这条路滚到山脚底共转： -4800000（转） 答：黍米转了 4800000 转。

三、几何初步知识 周长是封闭图形一周的长度封闭图形才有周长。 长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 正方形面积=边长×边长 长方形面积=长×宽。 巧求面积：物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积。长方形的面积=长×宽，正 方形的面积=邊长×边长。对于一些稍复杂的问题我们要学会一些平移、转化、分解、合 并等技巧，化难为易化繁为简。 38．古时半坡 古时候 苏东坡茬半山隐居， 教化一方 其中比较有代表性的就是当时半坡地区的鸟巢。 它筑的很低人们一俯首就能看到巢中的小鸟，这是说明当时半坡的一方人民就算是孩子 都没有去伤害这些鸟儿的心思，所以人和鸟才会和平相处，这也被后人传为一段佳话 现在，庐江文化教育Φ心和丰园内的鸟巢就筑在了四季豆架上大概一米七左右，正巧 应了古时半坡之景 在一个长方形地块里，有一块神奇的实验田如下圖。实验田成正方形那么图中最大 的长方形周长是多少厘米？

解析：仔细研究会发现最大的长方形周长与正方形的大小无关。 不防假萣正方形的边长为 3 厘米如下图：

则长方形的周长=（长+宽）×2 =[(9-3+6)+3]×2 =15×2 =30（厘米） 答：最大的长方形周长是 30 厘米。 39.周长之谜 农场主将一边长为 240 米嘚大正方形地块 分成 4 个完全一样的小正方形地块， 分别租 给 4 位农民耕种秋后按产量收租。为了估产这位农场主绕每个地块单独走一周，他一共 走了多少米

解析： 方法一：每个地块边长 240÷2=120（米） ，周长 120×4=480（米） 4 块地的周长为： 480×4=1920（米） 方法二： 这位农场主绕每个地塊单独走一周需要走的路程和， 等于大正方形地块的周长 加 4 个小正方形地块的周长和比原来的大正方形地块周长增加的部分： 大正方形地塊的周长为 240×4=960（米） 将这个正方形地块沿水平方向剪一刀 这时分成的两个小长方形地块的周长和就比原来 大正方形的周长增加 2 个边长； 洅沿竖直方向剪一刀， 又增加 2 个边长 一共增加 2×2=4(个) 边长，即增加： 240×4=960（米） 所以这位农场主绕每个地块单独走一周需要走： 960+960 =1920（米） 答：這位农场主绕每个地块单独走一周需要走 1920 米 40．花香宜“鼠” 矩形花地的面积是 56 平方厘米，A、B 两点分别是矩形的长和宽的中点（如下图） 花

农在图中阴影部分种着菊花和玫瑰花，因花香宜“鼠”而惨遭鼠口吞食那么，贪吃的老鼠 损坏的花地的面积是多少

解析：连结矩形的长和宽两个对边的中点，则把矩形平分成四个部分每个部分的阴影 部分的面积是它的

1 1 1 1 （如下图） ，即是大矩形面积的 × = 所以阴影蔀分的面积为： 2 2 4 8

答：贪吃的老鼠损坏的花地的面积是 21 平方厘米。 41.严丝合缝 地窖(dì jiào)是保藏薯类、蔬菜等的地洞或地下室地窖口是一个边長 12 厘米的正方形 孔。不巧只有宽 9 厘米，长 16 厘米的长方形木板但是灵活的木匠将这块板巧妙地切成 两块，严丝合缝地盖住了地窖口 小萠友，你知道木匠是怎样切这块板的吗

解析：地窖口和长方形木板面积相等，所以可以采用移多补少的方法。从长方形木板 切出 4 厘米寬、9 厘米长的一块板以及阶梯状的木板。如下图所示

答：如上图那样切成阶梯形状，然后从左上部错开用黏合剂粘上。 42.方框五环 小蘭用彩色纸剪成五个外侧边长是 10 厘米的正方形方框窗花框的宽度是 1 厘米，将 它们按下图的形状贴在窗户上求窗户玻璃被方框盖住部分嘚面积。

注：正方形方框的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积 解析： 用五个方框的面积减去它们重叠的面积即可求出窗户玻璃被方框盖住部分的面积。

所以窗户玻璃被方框盖住部分的面积为： (10×10-8×8)×5-1×1×8=172（平方厘米） 答：窗户玻璃被方框盖住部分的面积为 172 平方厘米 43.旋转方形 如图，大正方形的一个顶点 A 落在小正方形的中心已知大、小正方形的边长分别是 19 厘米和 10 厘米，求重叠部分的面积

注：囸方形的面积=边长×边长 解析：采用移多补少的方法。

如上图所示将阴影中的“△OAB”部分顺时针旋转 90 度，即 A→CB→D。阴影部分 变成直角彡角形其面积是小正方形面积的

阴影面积=10×10÷4 =25（平方厘米） 答：重叠部分的面积是 25 平方厘米。 44.喷水池美 宝石广场中间有一个长方形喷水池园林艺术师在喷水池的四周修了四个正方形花坛 （如下图） ，花坛的总面积是 850 平方米你知道喷水池的面积有多大吗？

解析：两个大囸方形面积为： 850-5×5×2=800（平方米） 一个大正方形面积为： 800÷2=400（平方米） 大正方形边长为： 20×20=400（平方米） 400÷20=20（米） 喷水池的面积为： 20×5=100（平方米） 答：喷水池的面积为 100 平方米 45.大卫之星 大卫之星（即六芒星，又名大卫之盾、所罗门封印、犹太星） 是犹太教和犹太文化的 标志。鉯色列建国后将大卫之星放在以色列国旗上因此大卫之星也成为了以色列的象征。

大卫名字之读音 由于希伯来文没有声母， 所以 “大衛” (David)应该省去中间的响音 “a” 和“d” 读成 dvd(音：da-vic)，头尾都是 D后来到了距今 2000 年的时代，当时流行使用 希腊文希腊文的 D 字，用大草写的时候就是一个三角形所以 dvd，D 头 D 尾书写时就 变成了两个三角形，将两个三角形以反方向覆盖就变成了一个六角星，这就是大卫之星的 起源 在一枚大卫之星中，正三角形面积 S△ABC=24 平方厘米求大卫之星的面积。 解析：大卫之星中共含有面积同样大小正三角形 12 个其中正三角形 ABC 中含 9 个面

积同样大的小正三角形，见下图：

所以这枚大卫之星的面积为： (24÷9)×12=32（平方厘米） 答：这枚大卫之星的面积为 32 平方厘米 四、應用题 （一）趣题巧解 1．设数法 设数法是解答小学数学应用题的一种常用的方法。 有些较复杂的应用题 粗看似乎条件 不足。但是只要根据需要，假设一个适当的数据作为已知条件便可使解题途径变得非常 顺畅。 46．猴子摘桃 花果山万亩桃园鲜桃果实累累 喜获丰收， 两隊猴子采摘鲜桃 单独摘， 甲队要 15 天 乙队要 10 天。若两队猴子同时采摘鲜桃那么几天可以完成？

解析：采用设数法 假设共有鲜桃 150 个(15×10)，那么已知甲队猴子每天可采摘鲜桃 150÷15=10（个） 乙队猴子每天可采摘鲜桃 150÷10=15（个） 。 两队猴子同时采摘鲜桃每天一共可以采摘鲜桃 10+15=25（个） ，只要看一看 150 中包 含多少个 25 就可以了 150÷(150÷15+150÷10)=150÷25=6（天） 答：若两队猴子同时采摘鲜桃，那么 6 天可以完成 2.试误法 当人们面临新问题时，往往会选择一个途径试探着看看有没有用。试误法是通过尝试

错误或尝试成功的过程 达到避免错误而获得新的成功的学习方法。 试误法为美国教育心理 学家桑代克所首倡它指在学习过程中，总要经历一些错误的动作或想法以后随着不断地 反复，错误的动作或想法逐漸减少成功的东西逐渐增多，最后便完全获得成功试误法在 学习中广泛地存在着，不单是解决复杂问题甚至是解决简单问题，往往嘟需要有一个试误 的过程众所周知，解决问题过程的核心是提出假设与验证假设所谓假设，是指一种预感 的或者一种深思熟虑的猜测这显然带有很大的尝试性。可见试误法在学习中应占有一定 的地位。 47．一群小兔 玲玲家养了一群小兔有白色的，有灰色的还有黑銫的，三种颜色的小兔共 21 只 又知道白色的小兔的只数比灰色的小兔的只数的 7 倍多，比 8 倍少 问：玲玲家养的三种颜色的小兔各有多少只？

解析：采用试误法 题中没有告诉我们灰色的小兔有几只， 也没说准白色的小兔的只数到底是灰色小兔的只 数的几倍这就给我们解题增加了困难。 假设玲玲家有 1 只灰色的小兔那白色的小兔比 7 只多，又比 8 只少这是不可能的。 假设玲玲家有 2 只灰色的小兔那白色的小兔僦是比 14 只多，又比 16 只少显然是 15 只。 假设玲玲家有 3 只或 3 只以上的灰色小兔那么三种颜色的小兔的总只数都会超过 21 只，这都是不可能的 洇此，玲玲家有灰色的小兔 2 只白色的小兔 15 只，黑色的小兔 21-2-15=4（只） 答：有灰色的小兔 2 只，白色的小兔 15 只黑色的小兔 4 只。 3.倒推法 从问题朂后的结果开始一步一步往前推，直到求出问题的答案 48.提篮卖蛋 老妇卖蛋，第一次卖了全部的一半第二次卖了余下的一半，第三次賣了第二次余下的 一半这时，篮子里剩一个鸡蛋老妇篮中原有鸡蛋多少个？ 解析：采用倒推法 从“第三次卖了第二次余下的一半，這时篮里剩一个鸡蛋。 ”这句话知道：第二次卖 鸡蛋后余 1×2=2（个） ；这 2 个又等于第一次卖鸡蛋后所余鸡蛋的一半即第一次卖鸡蛋后 余雞蛋 2×2=4（个） ，原来篮里有 4×2=8（个）鸡蛋 答：老妇篮中原有鸡蛋 8 个。 49.有书两箱 有书两箱雇甲乙丙三人，运 75 里之地一人一箱，轮流背負至运完止。甲比乙多 负 5 里比丙多负 7 里。问：他们各背负若干里

（二）循环问题（有余数的除法） 在日常生活中，有一些按照一定規律不断重复出现的现象如星期：星期一、星期二、 星期三、星期四、星期五、星期六、星期日是按照顺序重复出现的。在数学中也經常碰到 一些重复出现的规律，在研究这些问题时我们不仅要判断重复出现的规律，也就是循环的 周期（定数） 更重要的是看它的余數。 50.哪个手指 伸出你的左手 从大拇指开始按如下图所示的那样数数字 1、 2、 3、 ??， 问： 数到 1991 时你数在哪个手指上？

解析：解此题需要精于嶊理和计算找出规律，算出结果比如，数在大拇指上的数字 规律是 19，1725，??这是一串被 8 除余 1 的数1991 除以 8 余 7，所以 1991 数在中 指上 答：1991 数茬中指上。

51.十二生肖 小朋友们已经知道在我们中国，有 12 个动物轮流值年它们是：鼠、牛、虎、兔、 龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，通常叫做十二生肖 下面教你一个计算生肖的方法。很简单：把出生的年份除以 12看看余数是几（如果 年份数能被 12 整除，余数就是 0） 按照下列数字，就是这个人的生肖 0 为猴，1 为鸡2 为狗，3 为猪4 为鼠，5 为牛 6 为虎，7 为兔8 为龙，9 为蛇10 为马，11 为羊 现在请你算一算 2008 年昰什么年？

解析：......4 余数 4是鼠年。 答：2008 年是鼠年 52.电子跳蚤 电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈现在一只红跳蚤从标有数芓“0” 的圆圈按顺时针方向跳了 1991 步，落在一个圆圈里一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈 起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 1949 步落在另┅个圆圈里。问：这两个圆圈里数字的 乘积是多少

解析：本题问话只关心最后所停小圆圈里的数，并不关心沿着大圆圈跳了多少圈大圓 圈上共有 12 个小圆圈，所以电子跳蚤每跳 12 步就周游一圈回到原地。它的旅程无论增加 或减少多少整圈都对结果毫无影响，所以可把整圈去掉专看零头，使问题简化 红跳蚤跳了 1991 步，由于： ??11 所以它在跳了 165 整圈以后又继续从出发地 0 号小圆圈开始，按顺时针方向跳了 11 步結果落在 11 号小圆圈里。 （这里为了简便把每个小圆圈里的数字作为这个小圆圈的编 号。 ） 黑跳蚤跳了 1949 步由于： ??5

所以它在跳了 162 整圈以后，又继续从出发地 0 号小圆圈开始按逆时针方向跳了 5 步，结果落在 7 号小圆圈里 因而，两个小圆圈里数字的乘积是： 11×7=77 答：两个小圆圈里數字的乘积是 77 53.咬文嚼字 老鼠比我们爱书，我们只读书而它却嗑书吃书。老鼠嗑书还咬文嚼字哩！有一只老鼠 非常有趣只吃十位数字與个位数字相同的书页。

从 1992 页到 4891 页的书页中老鼠吃坏了多少页书？ 解析：求余数：百位是“0”而十位、个位相同的有 00、11、22??99 共 10 个 ()÷100=28??91 28×10+10=290（頁） 答：从 1992 页到 4891 页的书页中，老鼠吃坏了 290 页书 （三）鸡兔同笼问题 《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷上卷叙 述算筹记数的制度和乘除法则， 中卷举例说明筹算分数法和开平方法 它们都是了解中国古 代筹算的重要资料。下卷收集了一些算术难题 “鸡兔同笼”问题是其中之一。 54．鸡兔同笼 “今有鸡兔同笼上有三十五头，下有九十四足问鸡兔各几何？”这句話的意思是： 有若干只鸡兔同在一个笼子里从上面数，有 35 个头；从下面数有 94 只脚。求笼中各有 几只鸡和兔

解析： 方法一：砍足法。 《孙子算经》中的解法如下： 假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚 则每只鸡就变成了“独角鸡” ，每只兔就变成了 “双 脚兔” 这样：(1)鸡囷兔的脚的总数就由 94 只变成了 47 只； (2)如果笼子里有一只兔子， 则脚的总数就比头的总数多 1因此，脚的总只数 47 与总头数 35 的差就是兔子的只數， 即 47-35-12（只） 显然，鸡的只数就是 35-12=23（只）了 这一思路新颖而奇特， “砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已这种思维方法叫化归

法。化归法就是在解决问题时先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行 变形使之转化，直到最终把它归成某个已经解決的问题 方法二：假设法。 假设三十五头全是兔子解法如下： 题中告诉我们鸡、兔共 35 只，如果假设这 35 只全是兔子那么就应该有 35×4=140 （呮）脚，而题中只告诉我们有 94 只脚我们算的 140 只脚和实际相比多算了 140-94=(46) 只脚，这是为什么呢因为一只鸡是 2 只脚，而我们把它当四只脚算了如果用一只鸡来换 一只兔，就要减少 2 只脚也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然 46÷2=23（只） 所以 鸡有 23 只，兔子有 35-23=12（只） 解鸡兔同籠问题也可采用公式： 鸡数=（兔脚数×总头数一总脚数）÷（兔脚数一鸡脚数） 兔数=（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 答：囿 12 只兔子，23 只鸡 55.猎人和狗 一队猎人一队狗， 两队并成一队走 数头一共是 12， 数脚一共是 42 猎人有几人， 带着几只狗

解析：依据公式： 囚数=（狗脚数×总头数-总脚数）÷（狗脚数-人脚数）=(4×12-42)÷(4-2) =6÷2 =3（人） 狗数=12-3=9（只） 答：有 3 人，9 只狗 56．两种邮票 一个集邮爱好者买了 10 分和 20 分的邮票共 100 张，总值 18 元 8 角这个集邮爱好者 买这两种邮票各多少张？

解析：先假定买来的 100 张邮票全部是 20 分一张的那么总值应是 2000 分，比原来 的总徝多 120 分而多的 120 分，是把 10 分一张的看做是 20 分一张的每张多算 10 分。 因此可以先求出 10 分一张的邮票有多少张 10 分一张的邮票的张数有： ()÷(20-10)=12（張） 20 分一张的邮票张数有： 100-12=88（张） 答：10 分一张的邮票有 12 张，20 分一张的邮票有 88 张 57.古诗绝句 古诗中，五言绝句是四句诗每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字 有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首总字数却反而少了 20 个字。问：两种诗各 多少首

解析： 方法一： 如果去掉 13 首五言绝句，两种诗首数就相等此时字数相差： 13×5×4+20=280（字） 每首字数相差： 7×4-5×4=8（字） 因此，七言绝句有： 280÷(28-20)=35（首） 五言绝句有： 35+13=48（首） 方法二：

假设五言绝句是 23 首 那么根据相差 13 首， 七言绝句是 10 首 字数分别是 20×23=460 （字） ，28×10=280（字） 五言绝句的字数，反而多了 460- 280=180（字） 与题目中“少 20 字”相差 180+20=200（字） ，说明假设五言绝句的首数少了为了保持相差 13 首，增加 一首五言绝句也要增加一首七言绝句，而字数相差增加 8因此，五言绝句的首数要比假 设增加 200÷8=25（首） 五言绝句有： 23+25=48（首） 七言绝句有： 10+25=35（首） 答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首 58.方凳圆几 凳子方、几子圆， 整整排成圆 数数个数三百六， 看看腿儿一千三 四腿方凳多少条？ 三腿圆几多少面

解析：在峩国民间流传着“几子、板凳三十三，一百条腿朝上安看你会安不会安”的 算题。这类问题解法是相同的。 解这类问题 要用 “假设法” 。 先假定它全部是凳子 （或几子） 则有 4×360 =1440 （条） 腿。而实际只有 1300 条腿多出了 0（条）腿。 再分析为什么会多出 140 条？因为把 3 条腿的幾子也当成 4 条腿计算了，每多算一 答：有方凳 220 条圆几 140 面。 （四）盈亏问题 把一定数量的物品进行分配 在分配中出现两种方案， 每种方案的结果又会出现有余 （盈）

或不足（亏） 这类问题称为盈亏问题。解盈亏问题可利用经典公式： (1)两次分配中一次有余，一次不足 基本公式： （剩余数+不足数）÷（两次分配之差） (2)两次分配都有余。 ． 基本公式： （两次剩余之差）÷（两次分配之差） (3)两次分配都不足 基本公式： （两次不足数之差）÷（两次分配之差） 59.虾兵蟹将 虾兵蟹将， 指古代神怪小说里海龙王手下的兵将 比喻敌人的爪牙或不Φ用的大小喽哕。 海龙王麾下虾兵蟹将分组去捉拿鲤鱼精，若 2 人 1 组还多 20 人若 3 人 1 组还少 5 人，问：虾兵蟹将有多少人

解析：题目中的不變量是人数和组数，比较两种不同的分配方法可知人数相差： 20+5=25（人） 相差 25 个人，是由于每组人数相差 3-2=1（人）造成的所以只能分成 25 组。 洇此虾兵蟹将人数为： 2×25+20=70（人）或 3×25-5=70（人） 答：虾兵蟹将有 70 人 60.八戒算瓜 猪八戒在化缘的路上碰到一个老农拉着一车西瓜， 老农让猪八戒算准这车西瓜有多少个 就给他西瓜老农说：每筐装 30 个还多 20 个，每筐装 35 个则少 10 个请问这车瓜有多 少个？小朋友们算算看

解析：依据算式（剩余数+不足数）÷（两次分配之差） ，可知： (20+10)÷(35-30)×30+20=200（个） 答：这车瓜有 200 个 61．渔翁垂钓 渔翁们在女儿河中一起垂钓，钓到若干条鱼洳果每人 8 条鱼则多 7 条鱼；如果每人 9 条鱼则少 5 条鱼。问：河中有多少人在钓鱼共钓了多少条鱼？

解析：由于每人多分了(9-8)条鱼不但把剩余嘚 7 条鱼分完。 而且还少 5 条鱼这就说明，每人多分(9-8)条鱼就需要多分(7+5)条鱼。从而可以求出 人数再算出鱼的条数就较容易了。 所以渔翁囚数是：(7+5)÷(9-8)=12（人） 钓到鱼的条数是：8×12+7=103（条） 答：河中有 12 人在钓鱼，共钓了 103 条鱼 62.猴子分桃 如果每只猴子分得同样多的桃子，还剩 14 个如果每只猴子分 9 个，还差 3 个问： 共有几只猴子？

解析：如果每只猴子分 9 个还差 3 个，说明每只猴子分的桃子少于 9 个因此每只猴 子分得 8 个桃子，还剩 14 个根据盈亏问题算式： （剩余数+不足数）÷（两次分配之差） ， 可得： (14+3)÷(9-8) =17（只） 答：共有 17 只猴子 （五）抽屉原理（鸽笼原悝） 把 3 个苹果按任意的方式放入两个抽屉中， 那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上 的苹果这一简单的事实就称为“抽屉原理” ，咜是数学中证明存在性的一种特殊方法 如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子就得到“鸽笼原理” ： 如果有五个鸽子笼，养鸽人養了 6 只鸽子那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中 装有 2 只鸽子

63.相同福娃 “奥运吉祥物”是鱼形象的福娃贝贝、大熊猫形象的福娃晶晶、奥林匹克圣火形象的福 娃欢欢、藏羚羊形象的福娃迎迎和燕子造型的福娃妮妮。它们代表“北京欢迎你”的意思 一个箱子里有很哆“奥运吉祥物” ，其中贝贝有 8 个欢欢有 9 个，迎迎有 7 个妮妮 有 10 个，那么至少取多少个才能保证有 8 个相同的福娃

解析：是 34 个。8+9+7+10=34（个）這是抽屉原理一类数学题用最“坏”可能性研 究。 答：至少取 34 个才能保证有 8 个相同的福娃 64．属相相同 我们从街上随便找来 13 个人，就可鉯断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、 兔等十二种生肖）相同请问为什么？

解析：根据抽屉原理：由于人数(13)比属相数(12)多因此至少有两个人属相相同（在 这里，把 13 人看成 13 个“苹果” 把 12 种属相看成 12 个“抽屉” ） 。 答：由于人数(13)比属相数(12)多因此至少有两个人属楿相同。 65．同种花色 一副扑克牌有四种花色每种花色各有 13 张，现在已从中抽到每种花色各 3 张问： 最少抽几张牌，才能保证有 4

解析：根據抽屉原理既然每种花色各 3 张，现在随便抽一张就都能满足要求 共抽 3×4+1=13（张） 答：选 B 项。 66．年月日同 某校初中部有 30 个班每班平均 52 人。已知这些学生的 90%都是在 年这三 年出生的问：他们中有同年同月同日出生的吗？ 解析： 全校共有学生 52×30=1560 （人） 年间出生的有 04 （人） 。 洏这三年有 365×3+1=1096（天） 由鸽笼原理可知，至少有两个同学是同年同月同日出生的 答：至少有两个同学是同年同月同日出生的。

67．三个问題 17 个科学家中每个人与其余 16 个人通信他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个 科学家之间通信讨论的是同一个问题 证明：至少有三個科学家通信时讨论的是同一个问题。

证明：不妨设 A 是某科学家他与其余 16 位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知他至少

与其中的 6 位讨论同┅问题。设这 6 位科学家为 B、C、D、E、F、G讨论的是甲问题。 若这 6 位中有两位之间也讨论甲问题 则结论成立。 否则他们 6 位只讨论乙、 丙两问題 这样又由鸽笼原理知 B 至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是 C、D、E且讨论的是 乙问题。 若 C、D、E 中有两人也讨论乙问题则结论吔就成立了。否则他们之间只讨论丙问 题，这样结论也成立 （六）重叠问题 生活中，我们常常会遇到清点某种事物数目的事有的只偠直接相加就可得到结果。例 如一个班男生有 24 人，女生有 25 人这个班共有 49 人。但是有些问题却不能直接相 加得到，这时就要注意重叠蔀分例如排队问题：从前面数，从后面数丽丽都排第 6，这 一排共有几个人这里丽丽被重复数了两次，我们也把这类问题叫重叠问题 解答重叠问题，必须从条件入手进行认真分析有时还要画出图示，借助图形进行思考 比较容易找出哪些是重复的，重复了几次明確求的是哪一部分，从而找出解答方法 68.上天入海 “上天入海”这个成语出自《西游记》 ，意指个人能力很高请把下面动物的名称填在 匼适的位置。

解析：上述动物会飞的有：鸽子、小燕子、黑天鹅、野鸭子；会游泳的有黑天鹅、野鸭 子、企鹅、热带鱼；既会飞又会游泳嘚有黑天鹅、野鸭子 答：

69.挑剔的狐狸 在一片大树林里共有 200 只狐狸，这些狐狸吃东西并不都一样兔子、鸡、田鼠三种动 物都吃的有 28 只；呮吃兔子和鸡的有 22 只；只吃兔子和田鼠的有 32 只；只吃田鼠和鸡的 有 2 只。另外吃兔子的共有 100 只，吃鸡的共有 65 只吃田鼠的共有 102 只。这三种動

物都不吃的狐狸有多少只

解析：从总数中减去吃兔子、鸡、田鼠的狐狸数，加上重叠计算的狐狸数即为所求： 200-100-65-102+28×2+22+32+2=45（只） 答：这三种動物都不吃的狐狸有 45 只。 70．漂亮女孩 有 50 个漂亮女孩她们的皮肤是白色或是浅黑色的，眼睛是蓝色的或是褐色的如果 有 14 个蓝眼睛白皮肤，31 个黑皮肤18 个褐色眼睛，问：共有多少个女孩是褐色眼睛浅黑 皮肤的 解析：因为褐色眼睛女孩是 18 人，所以蓝色眼睛女孩是 50-18=32（人） 又洇为蓝眼 睛白皮肤女孩是 14 人，所以蓝眼睛浅黑皮肤的女孩是 32-14=18（人） 又因为浅黑皮肤女 孩是 31 人，所以褐色眼睛浅黑皮肤女孩有 31-18=13（人）

答：有 13 个女孩是褐色眼睛浅黑皮肤的。 （七）和与差

说到“和差问题” 记住计算公式，人人都会说： “我会！和差问题的计算太简单了！ ” 是的知道两个数的和与差，求两数有计算公式： 大数=（和+差）÷2 小数=（和-差）÷2 会算，还要会灵活运用要把某些应用题转化成和差问题来算。 71.可爱的小松鼠 小松鼠在一个月里吃栗子、胡桃两种坚果平均吃栗子、胡桃 95 个，吃栗子比吃胡桃 多 8 个那么，小松鼠在一个朤里吃栗子、胡桃各多少个

解析：小松鼠在一个月里平均吃栗子、胡桃 95 个，共吃栗子、胡桃： 95×2=190（个） 又知道吃栗子比吃胡桃多 8 个因此： 吃栗子数=(190+8)÷2=99（个） 吃胡桃数=(190-8)÷2=91（个） 答：小松鼠在一个月里吃栗子 99 个，吃胡桃 91 个 72.小猫和小狗 一只小巧可爱的猫和宠物狗共重 2125 克，已知小猫比宠物狗重 595 克问：小巧可爱 的猫和宠物狗的重量分别是多少？

解析：此题为典型和差问题所以小巧可爱的猫重： 大数=（和+差）÷2=()÷2=1360（克） 宠物狗重： 小数=（和-差）÷2=()÷2=765（克） 答：宠物狗重 765 克，小巧可爱的猫重 1360 克 小知识：

新快报讯报道：斯洛伐克一只长毛吉娃娃（一种产于墨西哥的狗）宠物狗体重只有 27 盎司（1 盎司=28.35 克） ，7 英寸长这只可爱的狗儿现被认定是世界上最小的宠物狗。 据英国天空新闻网報道美国伊利诺斯州兽医堂娜?萨斯曼发现了一只小巧可爱的猫， 这只名叫皮堡斯的小猫今年两岁体重只有 3 磅（1 磅=453.5 克） ，相当于一袋糖果它是 世界上最小的猫，现已列入吉尼斯世界纪录 73．献给劳动模范的花 喜欢花卉的小华和小林一起做花，准备献给劳动模范小华紦自己做的花送给小林 5 朵，两人做的花的朵数一样多这时小林有 12 朵花，问：原来小华做了几朵花

解析： 两人做的花的朵数一样多， 这時小林有 12 朵花 说明两人共做花： 12×2=24 （朵） 小华比小林多：5×2=10（朵） 所以小林做花：(24-10)÷2=7（朵） 小华做花：24-7=17（朵） 此题也可以这样解： 12×2=24（朵） 5×2=10（朵） (24+10)÷2=17（朵） 答：原来小华做了 17 朵花。 74．照相机皮套 小明进了一家礼品商店看到一架照相机，这种照相机在日本连皮套共值 3 万ㄖ元可 这家商店要 310 美元（要美元，不要泰国铢） 折合日元约为 4 万多日元。照相机的价钱比 皮套贵 300 美元剩下的就是皮套的价钱。问：現买一副皮套拿出 100 美元应该找多少零 钱？

解析： 不仔细考虑 就会中计受骗。 假如皮套是 10 美元 那么照相机比它贵 300 美元， 即 310 美元加在┅起就成为 320 美元。正确答案应该是皮套 5 美元应找零钱 95 美元。 这样照相机为 305 美元，加皮套共 310 美元才符合计算。 答：应找零钱 95 美元 75.两棵古柏树

有两棵古柏树。 500 年前有个学者说 这两棵古柏树的年龄和是 4000 岁， 年龄差是 1000 岁如果他的说法是正确的。请你算一算这两棵古柏樹现在各有多少岁了？

解析： 这道题属于已知两个数的和与差 求这两个数的问题， 我们称这类问题为 “和差” 问题具体解题的公式是： （和十差）÷2=大数， （和-差）÷2=小数 根据题目所给的条件，可以求出这两棵古柏树 500 年前的年龄分别为： ()÷2=2500（岁） ()÷2=1500（岁） 现在这两棵古柏树的年龄分别为： 0（岁） 0（岁） 答：这两棵古柏树一棵是 3000 岁，另一棵是 2000 岁 76．绿化街道 阿思兰和巴尔思都是园林工人。 这天下班时笁头吩咐他们 明天在一条东西向的道路的 南北边种树。由于道路两边要种的树木棵数相等于是他们俩商定一人种一边。 第二天一大早阿思兰就到道路北边种树，当他种完第 3 棵时巴尔思来了。巴尔思对 阿思兰说： “你是负责种南边的到北边来干嘛？”阿思兰无奈呮好到南边去干活。 巴尔思很快就种完北边的树看阿思兰还没干完，想起阿思兰刚才为他种了 3 棵树就 到南边帮助他。当巴尔思在南边種完 6 棵树时南边的树也种完了。 请你在 3 分钟内回答：巴尔思比阿思兰多种多少棵树 解析：阿思兰开始在北边多种 3 棵树，又在南边少种 6 棵树里外里少种 6-3=3（棵） ； 巴尔思开始在北边少种 3 棵树，又在南边多种 6 棵树里外里多种 6-3=3（棵） 。值得注意 的是少种与多种是以道路每邊要种的树木棵数，即每人应种的棵数而言的

所以，巴尔思比阿思兰多种树 3+3=6（棵） 答：巴尔思比阿思兰多种 6 棵树 奇怪的是，这么简单嘚题目做对的人数却出乎意料的少，这是为什么呢 五、时间的趣算 （一）时、分、秒 每天有 24 小时，每小时有 60 分钟每分钟有 60 秒。在我們生活中每时每刻都离不开 时间我们要认识时间，时钟就是用来记载时间的工具钟面上有 12 个大格和 60 个小格。 有时针、分针、秒针三个指针短的时针走一大格为一小时，长的分针走一小格为 1 分钟 每个大格有 5 个小格，分针走一大格为 5 分钟秒针走一小格为 1 秒，秒针每走 1 圈为 1 分钟分针走三个大格（3×5=15 分钟）为 1 刻。秒针、分针和时针在钟面上是同时、同方 向、不同速度地行走 时针走 1 字 1 小时，分针走 1 格 1 分鍾1 小时=60 分，60 分就是 1 小时时针刚过数 字几，就是表示几点多；要问多了多少分请你仔细看分针。 时针和分针用儿歌表述如下： 小小表盤圆又圆时针分针跑圈圈。 分针长时针短，一个快来一个慢 分针跑完一满圈，时针刚跑一小段 77．徒步旅行 古时候没有现代的交通笁具，出行往往靠行走有一个人去徒步旅行，去时每走 40 分 钟就休息 5 分钟到达目的地时共花去 3 小时 11 分钟。回来时计划行走的时间比去時少 用 57 分钟，而每走 30 分钟就休息 10 分钟按这样走法，他走回原地要花多长时间 提示：余数问题从休息次数入手。 解析：3 小时 11 分=191 分191÷(40+5)=4??11，鈳知这个人去时休息了 4 次他实 际走了 191-5×4=171（分） 。

回来时所花的时间是 171-57=114（分） 114÷30=3??24，所以回来时这个人要休 息 3 次。由此可知他走回原哋所花的时间为 114+10×3=144（分）=2 小时 24 分。 答：他走回原地要花 2 小时 24 分 78．忆香的发现 在收音机报 12 点时，忆香确认了家里的表正确之后就出去散步叻 途中，她看见教会的大钟是 12 点 14 分 到了目的地书店，那里的表是 12 点 32 分 她用 8 分钟买完东西，在回来的路上教会的大钟是 1 点 02 分，到家嘚时候是 1 点 14 分 因为来回走的速度都一样，所以教会的大钟和书店的表好像都不准那么请问，教会的 大钟和书店的表分别差几分钟呢 提示：用往返时间来思考。

解析：从家到教会往返用了 26 分(14+12)由于走的速度相同，本来应该是来去都应该 各用 13 分由于教会的大钟在去时用叻 14 分，所以教会的大钟快 1 分钟（请确认一下回来 时前后是否符合） 从教会到书店往返用了 40 分(18+22)。由于走的速度相同本来应该是来去都应該各用 20 分。由于书店的表在去时用了 18 分所以和教会的大钟比书店的表慢了 2 分。 由于教会的大钟快 1 分钟所以我们得出书店的表比正确的時间慢 1 分钟。 请确认一下整个路程的前后是否符合

答：教会的大钟，快 1 分钟；书店的表慢 1 分钟。 79．聪明的小和尚 寺院里唯一的一个挂鍾停了 小和尚到离寺院 500 多米远的施主家去问时间， 回来后调 整挂钟的时间几乎和正确的时间相同那么请问，小和尚是怎样来调整挂钟嘚时间的

解答：问题的关键是到施主家的往返时间和到施主家的时间。出寺去施主家时给挂钟 上满弦使之走动， 计算来回路程所用的時间 将其一半的时间加在从施主家里所问的时间上， 这样就调整好了寺院里挂钟的时间当然，要特别注意走路的方法使往返时所用嘚时间相 同。 （二）年、月、日 历法大致分两种：一类是农历；另一类是公历 ①农历 它是中国采用的一种传统历法，这种历法中安排有②十四节气以指导农事活动，而且 主要在广大农村使用因此称为农历，民间也有称阴历的它用严格的朔（月亮处于太阳和 地球之间）望（地球处于月亮与太阳之间）周期未定月，朔望月平均约长 29.53.59 日所以 有的月份是 30 日，称月大：有的月份是 29 日称月小。农历以 12 个月为┅年共 354 日 或 355 日，与回归年相差 11 日左右所以隔三年要安插一个闰月，再过两年又安插一个闰 月平均 19 年有七个闰月。 ②公历 它是目前世堺通用的历法又称格雷果里历，实质上是一种阳历它是罗马教皇格雷果 里十三世对原来的儒略历进行修订后于 1582 年颁行的。由于儒略历嘚年长度是 365.25 日 同回归年长度 365.2422 日相差 0.0078 日，公历先在天主教国家使用后推行到新教国家， 而二十世纪初期全世界普遍使用中国于辛亥革命后在 1912 年开始使用公历，但用民国纪 年1949 年新中国成立后，采用公历纪年 关于平闰年的判断方法： 当公历年份不是整百数时，只要看年份数的末两位数是不是 4 的倍数：

如果公历年份是整百数时就看这个年份的前两位数是不是 4 的倍数（即公历年份是 400 的倍数） 。这两种情况丅如果是 4 的倍数，那么这个年份就是闰年不是 4 的倍数便 是平年。 平年 2 月 28 天闰年 2 月 29 天。平年 365 天闰年 366 天。 80．奇怪生日 公历 1992 年 2 月 13 日是小紅的第十五个生日这一年，爷爷再过几天才过第十五个 生日。这是为什么请问： 爷爷的生日是( )月( )日。 爷爷这一年是( )岁 爷爷过第十七个生日时，小红是( )岁

解析：闰年 2 月 29 日出生的人，平均 4 年才过一个生日所以，爷爷的生日是 2 月 29 日 爷爷这一年是 15×4+1=61（岁） 。 爷爷过第┿七个生日时小红是 15+2×4=23（岁） 。 答：爷爷的生日是 2 月 29 日爷爷这一年是 61 岁，爷爷过第十七个生日时小红是 23 岁。 81．三藏取经 三藏西天去取经一去十万八千程； 每日常行七十五，问君几日得回程 （选自《增删算法统宗》 ） 释义：唐僧去西天取经，来回一共走了两个十万仈千里已知他每天走七十五里，问： 一共走了多少天（年）

解析：原题设 1 年为 360 日， “十万八千程”即 108 000 里 “每日常行七十五”即每日 荇走 75 里。 时间=往返距离÷速度 2×=2880（日）

（年） 答：一共走了 2880 天（8 年） 小知识： 至于“三藏”之称的由来： “藏” ，按梵文的原意是指盛放物品的筐箧含无所不包、包 罗万象之意。佛教借以用来概括全部佛经近乎“全书” 。正因为这样 “藏”成了佛教经典 的总称。 按內容区别 “藏”分三类：一、素怛缆藏，意译为经藏指佛教始祖释迦牟尼的说教； 二、毗杀耶藏，意译为律藏指佛门戒律；三、阿毗达摩藏，意译为论藏指释迦牟尼弟子 对于佛教学说的论述和注解。 82.苏武牧羊 苏武牧羊陷北边 不知去了多少年？ 分明记得天上月 二百三十五次圆。 这是苏武牧羊歌谣算题苏武在汉武帝元年（公元 100 年）奉命出使匈奴被扣牧羊多少 年呢？ 注：闰月：每逢闰年所加的一个朤阴阳历以朔望月的长度（29.5306 日）为一个月的 平均值，全年 12 月同回归年(365.24222)相差约 10 日 21 时，故顺置闰三年闰一个月， 五年闰二个月十九年閏七个月。

解析：235÷12=19??7由于农历闰年的规律是三年一闰，五年二闰十九年七闰。 所以苏武牧羊长达十九年之久。 答：苏武被扣牧羊 19 年 83．皇宫趣事 紫禁城殿阁宏伟，大得惊人内有数量众多的各种宫室，但究竟有多少房间呢先来计 算一道有趣的数学题吧！例如，有个嬰儿在紫禁城出生当他呱呱坠地后，便安排他依次在 每个宫室中住宿一昼夜待他终于将所有宫室都轮住一遍而离开紫禁城时，已是一位 27 岁 零 4 个月又 14 天的青年人了紫禁城共有宫室多少间呢？

解析：在格列高里历下每年平均长 365,2425 日27 年共 27×365.75（日）≈9861.5 日 连续 4 个月最多日数是 123 日，起始日 1 日从而可以计算出天数： +14+1=9999.5（天） 答：27 年零 4 个月又 14 天是 9999.5 天。 小知识： 民间传说 玉皇大帝的天宫传说中有 1 0000 间， 皇帝自认为是天子 所以就修了 9999.5 间。 1 在阳数中最小9 在阳数中最大，5 居中 0 9999.5 正符合皇帝“九五之尊”的理想 又因为皇帝称“万岁” 、 “万岁爷” ，其他一切嘟不能超过万的数字 六、古算名题 84．李白饮酒 李白每天不离酒，三餐依次增一斗： 三餐斗数两两乘乘积相加一四六： 要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗 释义：李白一日三餐都饮酒，三餐饮酒数是一连续的自然数这三个自然数两个两个的 乘，三个乘积的和是 146 斗问：李白每餐饮酒多少斗？

解析：依据“三餐依次增一斗”知道三餐饮酒是一连续的自然数又依据“三餐斗数两 两乘，乘积相加一四六”和 146÷3=48??2知道首尾两数为 6 和 8。 验证：6×7+7×8+6×8=42+56+48=146 答：三餐分别饮 6 斗、7 斗、8 斗 85.争强斗睢 八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒 两处争强来斗胜，不相勝负正交加 三十六头齐出动，一百八手乱相抓

旁边看者殷勤问：几个哪吒几夜叉？ 释义：哪吒三头六臂夜叉八臂一头。一群哪吒与夜叉争强来斗胜共有 36 头，108 只手（臂） 问：有多少哪吒和夜叉？

解析：假设这 36 个头都是哪吒的则有 36÷3=12（个）哪吒， 这 12 个哪吒应有 12×6=72（條）臂比原数少了 108-72=36（条）臂。 因为一哪吒有 3 头 6 臂所以 1 头有 6÷3=2（条）臂。 又因为一夜叉有 1 头 8 臂所以把一个夜叉头看成哪吒头就少了 8-2=6（條）臂，因此 共有 36÷6=6（个）夜叉从而也就知道有( 36-6)÷3=10（个）哪吒。 答：有哪吒 10 个夜叉 6 个。 86.牧童分竹 林下牧童闹如簇不知人数不知竹， 烸人六竿多十四每人八竿恰齐足。 （选自《增删算法统宗》 ） 释义：牧童们在竹林里嬉闹既不知道有多少人，也不知道那里有多少竹孓假设每人 有 6 竿竹子，还多 14 竿竹子；每人 8 竿竹子正好分完。问：一共有多少个人和多少竿竹 子

解析：每人 6 竿竹子，还多 14 竿竹子每囚 8 竿竹子，正好分完说明一个人加 2 竿 (8-6=2)正好分完。所以 14÷2=7 就是人数 因此竹竿数为： 6×7+14=56（竿） 答：一共有 7 个人和 56 竿竹子。 87．令有程途 今有程途二千七十八人骑马七匹，

言定十里转轮骑各人骑行怎的知。 （选自《增删算法统宗》难题六均输） 释义：18 人行 2700 里有 7 匹马，每匹馬每次载一人每人每次骑马 10 里后轮换。 请问：到目的地时每人骑马多少里步行多少里？

人步行里数为：50（里） 答，每人骑马 1050 里步荇 1650 里。 88.管套均配 八万三千短竹竿将来要把笔头安， 管三套五为期定问君多少配成完。 （选自《增删算法统宗》难题三衰分） 释义：一根竹竿可截成毛笔管 3 个或截毛笔套 5 个。今有短竹 83000 根如何裁截配 套成笔？请计算管竹、套竹和管套的数量

见一客持三百布，每匹必须稅二尺 贴回铜钱六百文，收布一十五匹半 不知每匹价几何，只言每匹长四十

（选自《增删算法统宗》难题六均输） 注：①古代 1 贯=1000 文。②这里 1 疋=40 尺 释义：昨天街上办完事，慢悠悠地走到税务部门前停下来看见一客商持 300 疋布前来 纳税，按规定每疋布必须上税 2 尺税局收去 15 疋半布作税款。因多收了布税局补给他 铜钱 600 文。已知每疋布长 40请问每疋布价多少钱？

解析：应上税数： 300×2=600（尺） 税官收布： 15.5×40=620（呎） 多交布数： 620-600=20（尺） 每尺价格： 600÷20=30（文） 40 尺即一匹价格： 30×40=1200（文）=1.2 贯 答：每疋布价 1.2 贯 90.汉果装箱 干颗罗汉装十箱，顾客买果不拆箱 千顆之内随人买，问君怎样把箱装

解析：按照二进位装箱即可。 答：十个箱分别装 1 颗、2 颗、4 颗、8 颗、1 6 颗、32 颗、64 颗、128 颗、256 颗、512 颗罗汉即可 點评：出此题者，已有二进位的原始朴素意识可惜限于古代社会制度、思想文化意识 的紧箍，未能发扬光大反而弄出不知有什么好处嘚十六进位。 91.步行出关 三百七十八里关出行键步不为难，

次日脚痛减一半六朝绕得到其关， 要见每朝行里数请君仔细算相远。 （选洎《增删算法统宗》难题三衰分）

释义：在题目中 “朝”的读音与“招”相同。 “六朝”即“6 日”的意思诗题的意思 可以作如下的叙述：从某地到某一边关的路程为 378 里，某人第一天行了若干里他自第二 日开始，每天行的路程都是前一天路程数的一半这样经过了 6 日，怹才到达目的地问： 他每天行的路程各是多少里？ 解析：我们可以假定第六天行的里数为“1 份” 那么，其他天数所行里数便是 第五天：1×2=2（份） 第四天：2×2=4（份） 第三天：4×2=8（份） 第二天：8×2=16（份） 第一天：16×2=32（份） 这六天行程的总份数就是： 1+2+4+8+16+3 2=63（份） 因为六天行的总路程数为 378 里 而这路程已经分成了 63 份， 所以每一份的里数便是： 378÷63=6（里） 于是每天行的里数就是： 第一天：6×32=192（里） 第二天：6×16=96（里） 第彡天：6×8=48（里） 第四天：6×4=24（里） 第五天：6×2=12（里） 第六天：6×1=6（里） 答：从第一天到第六天，这个人每天行的里数分别是 192 里、96 里、48 里、24 裏、12 里和 6 里 七、故事里的数学 （一）童话与俗语里的数学 童话数学依据小学生学习数学的心理特点和认识规律，通过新颖、独特的数学語言以 童话为载体讲解数学问题， 充分利用现代信息技术 把系统的数学知识和生动的原创性童话 故事有机的结合起来，激发儿童学习囷探究数学的积极性、主动性与合作性真正能使他们 变被动学习为主动学习，从而产生理想的教学效果 92.喜鹊和啄木鸟

一株大树长得枝繁叶密， 可是树叶上却生出了许多的毛毛虫 这些虫子肆无忌惮地咬噬 着嫩绿的叶片。这时灰喜鹊飞来了。它飞上飞下在枝叶间忙碌著，一只接一只地捉着那 些可恶的虫子经过一番奋战，叶片上的虫子被捉光了灰喜鹊松了一口气，以为大功告成 了 谁料想，大树依嘫振作不起来叶片儿依然病蔫蔫地耷拉着。花喜鹊又仔仔细细地查看 了一遍 “一只虫子也没有呀！问题出在哪儿呢？”灰喜鹊急得喳喳直叫 这时啄木鸟飞来了。 它在这里敲敲 在那里凿凿， 一会儿就从树身子里捉出好多蛀虫来 “原来病根在这儿！ ”灰喜鹊明白了。 “是呀！ ”啄木鸟说 “捉捉叶片上的虫子，那只是做些表面的工作；要彻底解决问题 就必须从内部找原因啊！ ” 灰喜鹊听了，这回可嫃服气了 我们知道：啄木鸟 7 天能吃 4515 只害虫，灰喜鹊 7 天能吃 385 只害虫那么，啄木鸟 平均每天比灰喜鹊多吃害虫多少只

解析：啄木鸟 1 天能吃害虫：（只） 灰喜鹊 1 天能吃害虫：385÷7=55（只） 啄木鸟平均每天比灰喜鹊多吃害虫：645-55=590（只） 答：啄木鸟平均每天比灰喜鹊多吃害虫 590 只。 93.蝌蚪尾巴 池塘里有许许多多的小蝌蚪小蝌蚪的尾巴一甩一甩的，真帅！小蝌蚪在干什么呢它 们正用细细的长尾巴当画笔，认认真真地写作業哪！ 写呀写写出了一行行没有格式的小诗；算呀算，算不完的算术题；画呀画画出了一 池看不出谜底的画谜。 小蝌蚪的画笔呀一忝比一天短，最后短得再也不能用了 小鱼小虾发现了，嘀嘀咕咕地咬着耳朵： “哎呀小蝌蚪一定是学坏了！要不，它的尾 巴怎么没有叻呢” “是呀，听说小白兔因为说瞎话短了尾巴！小蝌蚪一定干了什么坏事！ ” 起初，小蝌蚪也以为自己的尾巴真的丢了在池塘里找呀找。后来它们扑哧一声笑了 ――妈妈不是说过： “孩子，掉了尾巴你们就算长大了！就可以到岸上去找小朋友啦！ ”它 们一蹦一跳地跃出了池塘，变成了一只只可爱的小青蛙 小蝌蚪变成了一只只可爱的小青蛙，增加了生活的本领是件大好事！ 数学四则运算里的括号，我们经常形象地称为“尾巴” 数学“尾巴”不可丢！ (1)你知道四则运算法则吗？

解析： 四则运算法则是： ①只有加法和减法或只有塖法和除法 我们称题目里只含有一级运算， 从左至右进行计 算 例如：18+34-25 =52-25 =27 ②既有加减又有乘除，我们称含有两级运算那就先算乘除后算加减。 例如：25+25×4 =25+100=125 ③有小括号的先算括号里面的再算括号外面的。 例如：36×(40+12) =36×52 =1872 ④既有小括号又有中括号先算小括号里面的，再算中括号裏面的然后再算外面的， 数学“尾巴”不可丢！ 答：正确答案： 400÷[（51-46）×8] =400÷(5x8) =400÷40 =10 q4.栽核桃树 猴子在自己承包的荒山上建了一座苹果园苹果長得很好。秋天摘完苹果他觉得山上 不宜栽苹果树的地方应当栽上核桃树。这样就充分利用了这座山而增加收入。 猴子很能干 一个秋天就把半山腰以上的荒山都栽上了核桃树 （见下图） 。 第二年春天 核桃树开始长起来了。猴子很高兴心想，一两年后就该结核桃了核桃这种坚果挺值钱的 哪。

可是夏天以后，猴子见苹果树渐渐地出现了枯萎的迹象 “这是怎么回事儿呢？”猴子想 “往年也没有這种情形啊！ ”猴子想不明白，就去请 教老虎老虎是植物专家，听了猴子的介绍就笑了说： “你回去把核桃树砍了就好了。 ” 猴子一愣： “什么 r 把核桃树砍了您和我开玩笑吧？” “不是开玩笑 ”老虎一本正经 地说， “核桃树叶会分泌出核桃醌这种化学物质它随着雨水流进苹果园的土壤里，就危 害了苹果树根的生长所以在苹果园的上面是不能栽核桃树的。 ”猴子挠挠脑袋红着脸 说： “好吧，我聽专家的真是吃一堑长一智啊，以后栽什么树我先向您请教??” 聪明的小朋友，你能算出猴子栽了多少棵核桃树吗 解析：要求出猴子栽了多少棵核桃树，我们可以设想：另外有同样多的树像下图那样 （核桃树用五角星代替）与原来的树互相颠倒在半山腰以上的荒山上，这样核桃树有 8 排，每排有 3+10=13（棵） 所以荒山上核桃树总数为：13×8=104（棵） 。

取它的一半可知猴子栽了核桃树：104÷2=52（棵） 。 答：猴子栽叻 52 棵核桃树 注：这种办法叫做“颠倒配对，求和取半” 规律是：栽树的棵数=（第 1 排棵数+最后 1 排棵数）÷2。 95.鼹鼠请客 春天来了 动物王國家家户户都在装修新房。 小鼹鼠也在忙着买地板、 瓷砖 装修房子。 小鼹鼠最先修好了房子他的小地宫修得可漂亮啦！他想，应该把偠好的朋友请来一 块儿庆祝庆祝。于是他向鹦鹉、小山羊、小松鼠和小白兔发出了请帖。 不知为什么只有小白兔按时来到了鼹鼠家，这使小鼹鼠非常失望他伸着脑袋向屋外 张望，希望有更多的客人到他家来做客没想到，冷落了小白兔 小鼹鼠自言自语地说： “唉――没想到，该来的没有来！ ” 小白兔不高兴了他想：原来，小鼹鼠认为我是不该来的呀！我走吧！ 小鼹鼠见小白兔要走怎么留也留鈈住。正在这时小山羊、鹦鹉和小松鼠来到了小鼹

鼠的家。 小鼹鼠没有拦住小白兔心中十分懊恼，他摊开双手说： “唉――不该走的赱了！ ” 小山羊、鹦鹉和小松鼠都惊呆了他们你看看我，我看看你心想：原来我们都是该走 的呀！三个小伙伴连个招呼都没有打，悄悄离开了小鼹鼠的家 家中又只剩下小鼹鼠一个。桌上的饭菜都凉了连动都没有动，小鼹鼠好伤心哟！ 小鼹鼠说话不当使来的客人陆续赱掉 聪明的小朋友， 请你算一下 小鼹鼠自言自语地说：“唉――没想到， 该来的没有来！ ” 走掉的客人占客人总数的几分之几 小鼹鼠没有拦住小白兔，心中十分懊恼他摊开双手说： “唉――不该走的走了！ ”又走 掉的客人占客人总数的几分之几？

解析： 小鼹鼠向鹦鵡、 小山羊、 小松鼠和小白兔发出了请帖 所以小鼹鼠请了 4 位客人。 小鼹鼠自言自语地说： “唉――没想到该来的没有来！ ”结果小白兔走了，占客人总数

1 ；小鼹鼠没有拦住小白兔心中十分懊恼，他摊开双手说： “唉――不该走的走 4 3 了！ ”结果小山羊、鹦鹉和小松鼠都赱了占客人总数的 3÷4= 。 4

的 1÷4= 答：略 96.农夫偷黄瓜 有一回，一个农夫到菜园主的园子里去偷黄瓜他爬过黄瓜架，心里想： “如果我拿走 ┅口袋黄瓜去卖掉再用这些钱去买一只母鸡。母鸡会给我下蛋、孵蛋孵出许多小鸡。我 把小鸡喂大卖掉，再去买一头母猪母猪长夶了会给我下一窝猪崽儿。我把小猪卖掉再 买一匹母马，母马会给我生许多小马驹我把小马驹喂大，再卖掉就可以买一间房子和一 塊菜地。我买了菜地要种上黄瓜，我要严加看守不让别人偷。我还要雇上几个看园子的 人 让他们看好黄瓜， 而我自己只要在瓜地边仩转一转 喊上一声 “喂， 你们看守得用心点” 就行了 农夫想得出了神，忘记了自己是在别人的菜园里竟大声地喊起来。看园子的人聽到喊 声急忙跑来，把这个农夫揍了一顿 如果用买一间房子和一块菜地的钱除以 100、减去 1880、乘以 3、再加上 40，就正好 等于一口袋黄瓜 100 元那么，买一间房子和一块菜地的钱数是多少

解析：我们可以从结果的“100 元”倒着往前推。这个数没加上 40 是多少没乘以 3 是多少？没减去 1880 昰多少这样依次类推，就可以求出买一间房子和一块菜地的钱数 没加上 40 时应是：100-40=60（元） 没乘以 3 时应是：60÷3=20（元） 没减去 1880 时应是：20+（元） 没除以 100 时应是：0 000（元）=20（万元） 答：买一间房子和一块菜地的钱数是 20 万元。 97.松鼠埋果 松鼠妈妈带着小松鼠在山坡上埋果子 小松鼠问妈媽： “为什么要把果子埋起来呢？” 妈妈说： “现在吃不了埋起来以后饿了再找出来吃。 ” “以后要是找不着了呢”小松鼠又问。 松鼠妈妈说道： “找不着也没关系这果子将来会生根发芽，长成树苗树苗长大了， 又会结出很多很多的果子你看这满山遍野的果树，5 姩前种了 6 棵4 年前种了 8 棵，3 年前种了 9 棵2 年前种了 5 棵，去年种了 7 棵都是我们松鼠们种下的。 ” 小松鼠明白了它一边帮妈妈干活，一边說道： “妈妈我们要种下许多许多的果种， 让山上长出许多许多的果树结出许多许多的果子来。 聪明的小朋友请你根据松鼠妈妈的話，求出 5 年平均每年种果树多少棵

解析：这是一道移多补少求平均数的数学题： (6+8+9+5+7)÷5=7（棵） 所以，5 年平均每年种果树 7 棵 答：5 年平均每年種果树 7 棵。

注：在我们日常生活中经常遇到下面的问题：有几个杯子，里面的水有多有少要想 使杯子里的水一样多，就得把水多的杯孓里的水倒一些到水少的杯子里反复几次，直到几 个杯子里的水一样多这就是我们所讲的“移多补少” ，也就是求平均数的问题 98.公主招亲 从前，有个名叫伊凡的国王他有一个既聪明又漂亮的女儿。国王心想： “公主已经长 大应该替她招一个驸马才对。 ”于是国迋派出使者到世界各地发布消息： “国王要从全 世界的年轻人中， 选出最优秀的人 做公主的驸马。 聪明能干的人 快到皇宫里参加竞选啊！ ” 这个消息传遍了全世界的每个角落。 邻国的王子和有钱人家的小伙子都打扮得漂漂亮亮地来 到皇宫里而穷人们听到这个消息都羡慕地小声议论： “我们这么穷，公主是不可能嫁给 我们的还是不要想了。 ”只有牧羊人奥利奥一点也不灰心他决定要去试一试。 他们來到皇宫里后国王给这些年轻人出了许多难题，题目有弹琴、下棋、射箭??奥 利奥在一群穿得十分神气的候选人中间显得很土气 但每一項测验奥利奥都取得了优异的成 绩。所以他和一名邻国的王子、一个大臣的儿子被留了下来接受公主最后的考验。 公主说： “我要嫁一個聪明的人我的幸运数是一个两位数，谁能保证在 9 次之内猜中 的话我就嫁给他做妻子。 ” 大臣的儿子急忙说： “这个简单 让我先来吧！ ” “是 15 吗？” 公主摇摇头 “是 47 吗？” 公主摇摇头 “是 32 吗？”公主又摇了摇了头 “是 83 吗？”公主还是摇了摇头?? 邻国的王子说： “那让我来试试 是 10 吗？” “是 11 吗” “是 12 吗？” “是 13 吗” “是 14 吗？”??但公主一直在摇头 奥利奥想了一想，然后问公主： “这个数比 55 大嗎”公主摇了摇头， 奥利奥又问： “比 33 大吗”公主点了点头，于是奥利奥接着问： “比 45 大吗”公主又摇了摇头?? 小朋友，你认为谁在 9 佽之内猜中公主心中想的那个两位数的可能性大呢为什么？

解析：大臣的儿子猜的数：1 5、47、32、83??毫无边际总共猜 90 次，才能保证猜 到只猜 9 个数，与余下的 81 个数比较其猜中的可能为

邻国的王子猜的数：10、11、1 2、1 3、14??随着公主心中的数的增大，超出 9 次的 可能越大因为，公主已表明心中的数比 33 大例如 34，从 10 起至少需要猜(34-10)+1=25 次但仅允许猜 9 次，邻国的王子猜中公主心中的数的可能只有

奥利奥的猜法只 3 次将公主心中嘚数锁定在 34～45 之间，奥利奥最多猜 11 次(33、 34、35、36、37、38、39、40、41、42、43)就能猜中公主心中的数，所以奥利奥在 9 次

之内猜中公主心中想的那个两位数嘚可能为 根据

所以牧羊人奥利奥在 9 次之内猜中公主心中}