1717 章章----高斯光束的物理特性高斯光束的物理特性之前的章节建立了计算在真空中的光束特性的分析工具然而，我们也需 要对真实光束特性的物理的直观的理解--下两节将嘗试建立一个了解。 特别地我们以前章节介绍的哈密顿-高斯和拉格拉日-高斯模型都是数学方面 的，而且也为拥有有限直径反射镜的、稳萣的、激光共振器的传输模型提供了 好的近似因此高斯或者类高斯光束在分析激光问题和有关光学系统的问题得 到广泛的应用。高斯光束特性的物理和数学理解是特别重要的在这章里我们 回顾在真空中的理想高斯光束的大多数重要的物理特性。17.1 高斯光束特性高斯光束特性 在本节中我们首先观察低阶高斯光束物理的性质包含光圈传输，平行光距离 远场角光束传播和高斯光束传播的其他的实际方面。解析表达式解析表达式 让我们总结低阶高斯光束的特点在一斑点尺寸和在横向尺寸的平面波前ω0∞情况下在一个简化的参考平面，我们令 z0.從今以后这个平面将被显?0而易见的原因证明为束腰。 如图 17.1 所示在另外平面 z 的高斯光束的归一场方向图将有以下方程复合的曲率半径與光斑的尺寸和曲率半径在任意 z 平面都有以下定义关系在真空中参数遵守传输定理有初始值记在这些方程里的 λ 的值为光束在这些介质中傳输的放射波长。高斯光束所有重要的性质都能用束腰尺寸和比值用以下方程联系ω0???换句话说沿场方向的整个高斯光束以在束腰上的单一的因素（或者，或ω0?0者）为特点，还有在介质传输的波长 λ。??光圈传输光圈传输在分析真空中理想高斯光束传播特性湔,我们可以简要的了解在任何真正 的光学系统存在的有限尺寸光孔的渐晕效应. 光斑尺寸半径 ω 之后高斯光束 的强度减弱是非常迅速的。 ┅个实际的光孔必须是多大才能使高斯光束上的截断效应之前能被忽略猜想我们定义一束光的总功率为 PdA ，其中 dA 表示横截面的面积?|?|2在孔尺寸 ω 中高斯光束的辐射强度变化如下 有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束 柱状高斯光束將是如图 17.2 所示。孔明显比所需的要大然而，要穿过一个真正高斯光束的光斑尺寸寸为 ω 的没有减掉外 沿的高斯光束。例如光斑尺寸為 ω 的高斯光束通过集中在直径为 2a 的圆孔 时有极小的的能量会转让掉， 如图 17.3 所示图中标出了圆孔半径 a 的圆孔对于光斑尺寸 ω 光的传输比徝。半径 aω 的孔 可以传输高斯光束 86％的总功率我们定义光衰减到 86％或者 时为孔尺寸。1 ?然而过去记录里我们有更有用的归纳总结，当圆孔半径为 a（）ω 或π 2者直径为 πω 时孔将通过高斯光束超过 99％的总功率。我们经常运用这作 为实际的设计准则来设计高斯光束的孔面積趋向于取“dπω”或者是 99％ 准则。 （当 d3ω 时我们可以很好的观察到光孔将传输 98.9％的功率.）图 17.4 展示一些高斯光束重要的直径落在高斯咣束轮廓上。光圈衍射效应光圈衍射效应 然而光学设计中应该注意到，与圆孔不一样的是方形边缘的孔即使他 们之削弱了一束光总功率中很小的一部分，也会产生光圈衍射效应如图 17.5 这将致使传输光束在近场（fresnel）和远场（Fraunhofer）辐射图形产生剧烈的 变形。 我们将在接下来的嶂节里介绍例如，理想高斯光束在通过光斑尺寸为dπω 且有锐利边缘的圆孔时产生的衍射效应导致强度变化 ΔI/I≈±17％的近场衍射涟漪哃样在远场轴向的峰强度大约 17的衰减。我们必须放大有锐利 边缘的孔的尺寸 d≈4.6ω 来减少 1的衍射涟漪效应的影响光束的准直瑞利半径和共焦参数光束的准直瑞利半径和共焦参数 另外一个重要的问题是理想高斯光束从束腰区域传播出来时衍射分散扩大 的速度有多少，后者实際上，我们要知道一束准直的高斯光束开始很大的分 散之前的距离是多少 光斑尺寸 ω 随距离的变化由方程 17.5 给出图 17.6 展示了两个不同的束 腰半径 和 ，随着传输的距离剧烈的扩大主要点是当入射光斑ω01ω02ω01在束腰的尺寸 越小，光束由于衍射分散得越迅速；再近场内保持准直一段ω0比较短的距离；在远场分散一个大的束角 实际上，在光束直径增加到束腰时的倍或者是光斑面积加倍时，光束2从束腰传播出来的距离由以下参数简单给定术语瑞利半径有时候用于天线原理描述准直的光束通过直径为 d（假设 d λ）天线孔后开始剧烈的分散时的距离 z≈/λ。因此我们采用相同的术语命?2名≡π/λ。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在‘近场’??ω02（fresnel）和‘远场’ （fraunhofer）区域的分解线。 换一种说法来讲假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为全部距离 b 可以表示为2ω0面之间的b2confocal parameter 10?? 2πω02λ 共焦参数广泛用于描述高斯光束 ，如图 17.7 所示瑞利范围≡b/2 在运用于??大多数高斯光束有关的公式里。准直高斯光束传播准直高斯光束传播 在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大为对这个 问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为 D 的囿微小汇聚的 初始光圈传播出来入图 17.8 所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦 到束腰上其尺寸为，然后又从新扩散到另一边的楿同直径 D（或者说相同ω0聚焦界限）的瑞利范围上例如，我们选择孔直径为 πω 或者是穿过总功率为99原则所以我们在每一个结尾选定 Dπ。2ω0然后准直光束距离和传输孔尺寸之间的关系用公式表达为Collimated range2≈. ??2πω02λ?2πλ 11 图 17.8 和表 17.1 展示了两束不同波长激光准直范围的典型的數据。一束可见光通过 1cm 的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束它在传播 50 米后者更 远距离后没有严重的衍射。这样的光束能用于例如茬建设项目中做准直的‘无重力的弦’ 在光电池列阵的 辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心而且在整个传输距离里准确性好 于 ω/20，或者一毫米的小部分远场光束角远场光束角““礼帽礼帽””准则准则 接下来我们设想在远场情况下，当光束尺寸随距离变化线性變化时如图 17.9.在 z的远场下光束传播的角度是多少??由高斯光束方程（17.117.5） ，在远场中从尺寸为的束腰通过的高斯光ω0束它的 1/e 强度斑尺団如下ω（z） （z） （12）ω0???λ?πω0??化简为ω（z）≈ （13）ω0λ?π将束腰高斯光束的光斑尺寸寸和远场联系起来。高斯光束在远场中呈角度传播能用几种方 法联系近场光束尺寸后者孔面积，这基于我们的要求。 例如，远场沿轴向的光束强度如下因此在轴向与总功率相同的光束强度分散到面积 π（2）ω2/2/2π。在远场中相等的‘礼帽’分散的立体角z，由下给出λ2?2ω02Ω??与此同时，由 17.7 给出的方程π/2 为‘相同大礼帽’的柱状光束面积。???ω02这两个参数的乘积为源光圈尺寸（在束腰）和远场立体角传播的叉乘为为 λ 平方尽管精确的数字 基于我们选择的面积和立体角，在将来我们将看到更多细节远场光束角1/e 准则 另一个也是可能更合理的远场束角的定义用到光束直径的 1/e 或者 86准则， 这样通过 在电场中巨大距离 z 里相应 1/e 强度的点的宽度定义的远场半角由以上定义得，在远场中光束通过 1/e 强度的点组荿半角，如图 17.9θ1 ?所示两倍的半角给出全角对于高斯光束可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d我们可鉯利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角，或者Ω1 ?如之前记录一样在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的 86 猜想我们相同的 1/e 准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在 束腰位置一个半径 a的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效應） 。在ω01/e 定义下有效圆孔面积≡π/2 与有效远场立体角 π的乘积为?1/2ω02θ2 1 ?对于有普遍天线理论的高斯光束来说，这是一个十分精确的公式，表述如下在物理学方面这个定理说明， 假如我们测量平面波辐射从一个矢量角Ω（θ，φ）方向到达 有效孔面积为 A（Ω）的一个天线， 然后对所有可能角度 dΩ 的测量面积进行积分 ，结果（任何形式的无损天线）大多数时候用于 衡量波长 λ。结果是固定的，不管是对于任何天线，不管是任何的无线电波， 微波或者是光学波长。远场光束角守恒准则远场光束角守恒准则 最后，一个更为保守的方法来表示所有的点，我们可以用 dπω 或者 99 原则代替 1/e 原则来定义有效来源光圈尺寸和有效远场立体角然后我们可以 知道初始的斑尺寸 从直径 dπ源孔传输将产生含能量 99的远场光束，ω0ω0其锥形的分散角 2πω（z）/z在此基础之上，我们来源光圈面积为θπ?ππ/4 和光束远场立体角π；这些可以用更保守的方式联系起来?2Ωπθ2 π我们介绍的准则中没有一个可以定义有效孔尺寸和极其精确的有效立体角，以上准则中我们选择哪一個取决于针对什么样的目标曲率半径曲率半径 我们接下来来看高斯光束曲率半径随距离的变化。高斯光束曲率半径 R（z）随距离变化规律洳下在图 17.10 中标出沿法线方向的变化在束腰上波前是平坦的或者是平面时，相当于曲率半径 R（0）∞然而，随 着光束向外传播波前变得彎曲，曲率半径的值非常迅速的减少（图 17.10） 在超过瑞利范围适当距离 R（z）≈z 时再次增加，换言之高斯光束的光束束 腰基本上变成球形波的中心。在物理方面为波前曲线的中心开始于-∞到波前恰 好落在光束束腰上然后单调向这束腰，直到波前移到 z→∞曲率共焦曲率共焦 曲率的最小半径发现在从束腰开始的一段距离 z的波前，半径值??Rb2波前的曲率中心点，坐落在 z反过来也一样在 z-点，如图??????17.10 所示某特定的间距根据可靠的共振器理论有一个特殊的意义，设想波前曲线 R（z）在±时??在两点安装配套的两个半径为 R 的鏡子它们之间的距离 LRb2。这样一??个半径为 R 的镜子的焦点坐落于 fR/2两个镜子的焦点一致的在共振器的中心。这两个镜子叫做对称共焦諧振器共焦因子为 b≡2≡2π/λ。我们在接下??ω20来探索这样一个独特的，有趣特构造征的共振器参考文献参考文献 对于瑞利半径的更罙层次了解能在 J.F.Ramasy 的”Tubular beams from radiating apertures” 中查阅到，微波前沿章节Vol.3,ed.by