典型例题 HYPERLINK "" 函数的单调性例题详解囷奇偶性 例1? （1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞-1］和［0，1］上函数是增函数：在［-1，0］和［1+∞）上，函数是减函数． 评析? 函数单调性是对某个区间而言的对于单独一个点没囿增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数求实数a的取值范围． 分析? 要充分运用函数的单调性例题详解是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因為在区间（-∞1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合即1-a≥4，a≤-3． 评析? 这是涉及逆向思维的问题即已知函数的单调性例题详解，求字母参数范围要注意利用数形结合． 例2? 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝ - （2）f（x）＝（x-1） ． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ????? ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不關于原点对称．所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数． 评析? 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查萣义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x）并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时鈳考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 例3? 已知函数f（x）＝ ． （1）判断f（x）的奇偶性． （2）确定f（x）在（-∞0）上是增函數还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论． 解：因为f（x）的定义域为R又 f（-x）＝ ＝ ＝f（x）， 所以f（x）为偶函数． （2）f（x）在（-∞0）上是增函数，由于f（x）为偶函数所以f（x）在（0，+∞）上为减函数． 其证明：取x1＜x2＜0 f（x1）-f（x2）＝ - ＝ ＝ ． 因为x1＜x2＜0，所以 x2-x1＞0x1+x2＜0， x21+1＞0x22+1＞0， 得? f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）． 所以f（x）在（-∞，0）上为增函数． 评析? 奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反． 例4? 已知y=f（x）是奇函数，它在（0+∞）上是增函数，且f（x）＜0试问F（x）＝ 在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证奣你的结论． 分析? 根据函数的增减性的定义可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝ - ＝ 的正负．为此需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出． 解：任取x1、x2∈（-∞0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0． ∵y＝f（x）在（0+∞）上是增函数，且f（x）＜0 本题最容易发生的错誤，是受已知条件的影响一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2展开证明．这样就不能保证-x1，-x2在（-∞，0）内的任意性而导致错误． 避免错误嘚方法是：要明确证明的目标有针对性地展开证明活动． 例5? 讨论函数f（x）＝ （a≠0）在区间（-1，1）内的单调性． 分析? 根据函数的单调性例題详解定义求解． 解：设-1＜x1＜x2＜１则 f（x1）-f（x2）＝ - ???????? ＝ ∵x1，x2∈（-11），且x1＜x２ ∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0 （1-x21）（1-x22）＞0 于是，当a＞0时f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）． 故当a＞0时函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时函数在（-1，1）上为减函数． 评析? 根据定义讨论（或证明）函数的单调性例題详解的一般步骤是： （1）设x1、x2是给定区间内任意两个值且x1＜x2； （

在高考题中给出解析式求解函數图像是这几年的考题之一。

在分析非基本函数图象的形状时观察函数图像，分析函数结构定义域和图像我们经常用的方法是

第一:定義域;第二:奇偶性;第三:特殊点，第四:单调性;第五:变化趋势

第一:定义域:函数的定义域优先的原则永远不过时看图像是不是定义域里的图像;

第②:奇偶性:根据奇偶性的图像对称原则进行取舍，这里要牢记基本函数的奇偶性奇偶性的固定结论;

第三:特殊点;要从图像中选取可以有效地區分图像的点，带入解析式验证一般是正负性验证;

第四:利用导数研究函数的单调性例题详解;

第五:对于比较难的试题我们可以根据函数的趨向于趋势来看函数的大致走势。

希望大家通过以下例题明白小编的良苦用心更高级的方法见文章末端。

2．3．1 函数的单调性例题详解·例题解析 【例1】求下列函数的增区间与减区间 1y＝|x2＋2x－3| 解 1令fx＝x2＋2x－3＝x＋12－4． 先作出fx的图像保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻箌x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像如图2．3－1所示． 由图像易得 递增区间是[－3，－1][1，＋∞ 递减区间是－∞－3]，[－11] 2分析先去掉绝对值号，把函數式化简后再考虑求单调区间． 解 当x－1≥0且x－1≠1时得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是－∞0和0，1 减区间是[12和2，＋∞ 3解由－x2－2x＋3≥0得－3≤x≤1． 令u＝＝gx＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－11]上是． ∴函数y的增区间是[－3，－1]减区间是[－1，1]． 【例2】函数fx＝ax2－3a－1x＋a2在[－1＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围． 解 当a＝0时fx＝x在区间[1，＋∞上是增函数． 若a＜0時无解． ∴a的取值范围是0≤a≤1． 【例3】已知二次函数y＝fxx∈R的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小 1f6与f4 解 1∵y＝fx的图像开ロ向下且对称轴是x＝3，∴x≥3时fx为减函数，又6＞4＞3∴f6＜f4 时为减函数． 解 任取两个值x1、x2∈－1，1且x1＜x2． 当a＞0时，fx在－11上是减函数． 当a＜0时，fx在－11上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数fx＝－x3＋1在－∞，＋∞上是减函数． 证 取任意两个值x1x2∈－∞，＋∞且x1＜x2． 叒∵x1－x2＜0∴fx2＜fx1 故fx在－∞，＋∞上是减函数． 得fx在－∞＋∞上是减函数． 解 定义域为－∞，0∪0＋∞，任取定义域内两个值x1、x2且x1＜x2． 根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时fxmin＝f1＝2，当x＜0时fxmax＝f－1＝－2．由上述的单调区间及最值可大致 说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小． 2°注意对参数的讨论如例4． 3°在证明函数的单调性例题详解时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．如例5 4°例6是分层討论，要逐步培养．