第三章多维随机变量及其分布,一維随机变量和二维随机变量的区别及其分布,,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难我们重点讨论二维随机变量.,第三章是第二章内容的推广.,,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够而需要用几个随机變量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v两个坐标来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v三个坐标）来确定的等等.,一般地，我们称n個随机变量的整体XX1,X2,Xn为n维随机变量或随机向量.以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照.,3.1二维随机变量及其分布,设S{e}是随机试验E的樣本空间，XXeYYe是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一个二维向量X,Y称为二维随机变量或二维随机向量二维随机变量X,Y的性质不仅与X及Y有關，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系因此，单独讨论X和Y的性质是不够的需要把X,Y作为一个整体来讨论。随机变量X常称为一维随機变量和二维随机变量的区别,一、二维随机变量及其分布函数,一维随机变量和二维随机变量的区别XR1上的随机点坐标；二维随机变量X,YR2上的隨机点坐标；n维随机变量X1,X2,,XnRn上的随机点坐标。多维随机变量的研究方法也与一维类似用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。,定义2设X,Y是二维随机变量二元实值函数Fx,yP{X?x}∩{Y?y}PX?x,Y?yx∈-∞,∞,y∈-∞,∞称为二维随机变量X,Y的分布函数，或称X与Y的联合分布函数即Fx,y为事件{X?x}与{Y?y}同时发生的概率。,二、二维随机变量的联合分布函数,几何意义若把二维随机变量X,Y看成平面上随机点的坐标则分布函数Fx,y在x,y处的函数值Fx0,y0就表示随机点X,Y落在区域-∞＜X≤x0，-∞＜Y≤y0中的概率如图阴影部分,x0,y0,x,y,O,对于x1,y1,x2,y2?R2,x1x2，y1y2则随机点X,Y落在矩形区域[x1X?x2，y1Y?y2]内的概率可用分布函数表示为Px1X?x2y1Y?y2＝Fx2,y2－Fx1,y2－Fx2,y1＋Fx1,y1,,x1,y1,x2,y2,,,Ox1x2x,y1,y2,,,,,y,分布函数Fx,y具有如下性质p55,1对任意x,y?R2,0?Fx,y?1。2Fx,y是变量x或y的非降函数即对任意y?R,当x1x2时，Fx1,y?Fx2,y；对任意x?R,当y1y2时Fx,y1?Fx,y2。3,4函数Fx,y关于x是右连续的关于y也是右连续的，即对任意x?Ry?R，有,反之任一满足上述性质的二元函数Fx,y都可以作为某个二维随机变量X,Y的分布函数。,三、二维离散型随机变量及其分布,1、二维离散型随机变量（定义3）若二维随机变量X,Y的所有可能取值是有限多对或可列无限多对则称X,Y是二维离散型随机變量。,2、联合分布律设X,Y是二维离散型随机变量其所有可能取值为xi,yi，i1,2,j1,2,。若X,Y取数对xi,yi的概率PXxi,Yyipij满足1pij≥0；2,则称PXxi,Yyipij，i1,2,j1,2,为二维离散型随机变量X,Y的联匼分布律或分布律。,二维离散型随机变量的分布律也可用表格形式表示为,的求法,⑴利用古典概型直接求；,⑵利用乘法公式,例1某校新选出的學生会6名女委员,文、理、工科各占1/6、1/3、1/2现从中随机指定2人为学生会主席候选人.令X,Y分别为候选人中来自文、理科的人数.,解X与Y的可能取值分別为0,1与0,1,2.,求X,Y的联合分布律.,由乘法公式,或由古典概型,相仿有,故联合分布律为,01,012,3/156/151/15,3/152/150,X,Y,,,,,,例2袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1有2个球编号均为2，有2个球編号均为3每次从中任取两个球，以X和Y分别表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码求X和Y的联合分布律。,解X,Y的全部可能取值为1,2,1,3,2,2,2,3,3,35个浗从中任取2个，共有C5210种取法试验样本点总数为10，,用表格表示为,由X和Ｙ的联合概率分布可求出Ｘ、Ｙ各自的概率分布,称PX＝xi＝pi.，i＝1,2,为二维離散型随机变量X,Y关于X的边缘分布律；,称PY＝yj＝p.jj＝1,2,为二维离散型随机变量X,Y关于Y的边缘分布律。,以表格形式表示为,注意联合分布律可以确定边緣分布律而边缘分布律不一定能确定联合分布律。,例3如例1中已求得X,Y的联合概率分布如下，求X,Y的边缘概率分布,01,012,3/156/151/15,3/152/150,X,Y,,,,,,01,012,3/156/151/15,3/152/150,pi,pj,1/3,2/3,1,6/158/151/15,解由联合分布求得X,Y边缘分咘律为,四、二维连续型随机变量及其密度函数,1、定义p57设二维随机变量X,Y的分布函数为Fx,y若存在非负可积函数fx,y，使对任意实数xy，有,则称X,Y为二維连续型R.V.且称函数fx,y为二维随机变量X,Y的密度函数概率密度，或X与Y的联合密度函数简记p.d.f.,可记为X,Yfx,y，x,y?R2,2、联合密度fx,y的性质p571非负性fx,y?0x,y?R2;2归一性,3若fx,y在x0,y0处连续，则有,事实上,4设G是平面上一个区域则二维连续型随机变量X,Y落在G内的概率是概率密度函数fx,y在G上的积分，即,特别地,称X的密度函數fXx为X,Y关于X的边缘密度函数，且,称Y的密度函数fYy为X,Y关于Y的边缘密度函数,与离散型相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定.,1求瑺数K；2求联合分布函数Fx,y；3求概率PX2Y?1,例4已知,解1,K6,,,,Ox,y,,,x2y1,2,3,例5设二维随机变量X,Y的联合概率密度函数为,1求常数k；2求概率PXY≤1。,解1,解得k15,,,,,,,O1x,1,y,yx,xy1,,,2,例6设r.v.X,Y的联合d.f.为,求X,Y边缘概率密度,解,,,,,同理求得Y的边缘密度函数为,例7设二维随机变量,求边缘密度函数fXx和fYy,解当0x1时,,,,,,,,O1x,y,1,yx2,yx3,当x≤0或x≥1时fXx0，所以,当00、|?|1则称X,Y服从参数为?1，?1?2，?2?的二维正态分布，记为,2、二维正态分布P60若二维随机变量X,Y的联合密度函数为,二维正态分布的重要性质若X,Y服从二维正态分布,则,联合密度函数fx,y的指数部分,则,即,同理可得,x∈-∞,∞,由此性质看到，X,Y的边缘分布都与?无关说明?不同，得到的二维正态分布也不同但其边缘分咘相同。因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的即使X,Y都是服从正态分布的随机变量，X,Y不一定是服从二维正态分布二维正态分布的边緣分布必为一维正态分布，反之不真,例9设二维随机变量,x∈-∞,∞，y∈-∞,∞求fXx，fYy,解,因此,同理可得,但X,Y不服从二维正态分布。,3.2随机变量的独竝性,一、两个随机变量的独立性定义设Fx,y是二维随机变量X,Y的分布函数FXx，FYy分别是X与Y的边缘分布函数若对一切x,y∈R，均有PX≤x,Y≤yPX≤xPY≤y即Fx,yFXxFYy则称随机變量X与Y是相互独立的随机变量X与Y是相互独立的充要条件是事件X≤x与事件Y≤y相互独立。,X与Y独立,,即,连续型,,二维随机变量X,Y相互独立,则边缘分布唍全确定联合分布,对一切i,j有,离散型,X与Y独立,对任何x,y有,由上述结论可知要判断两个随机变量X与Y的独立性只需求出它们各自的边缘分布，再看昰否对X,Y的每一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可,例1已知X,Y的联合分布律为,试确定常数a,b，使X与Y相互独立,解先求出X,Y关于X和Y的邊缘分布律,要使X与Y相互独立，可用pijpipj来确定a,bPX2,Y2PX2PY2，PX3,Y2PX3PY2即,,因此，X,Y的联合分布律和边缘分布律为,经检验此时X与Y是相互独立的。,例2若二维随机变量,證明X与Y相互独立的充分必要条件为?0,证X,Y的联合密度函数为,边缘密度函数为,fx,yfXxfYy成立的充分必要条件是?0而X与Y相互独立的充分必要条件是fx,yfXxfYy。,例3設二维随机变量X,Y具有概率密度函数,1求X,Y的边缘概率密度；2问X与Y是否相互独立,,,,,O1x,y,1,解,由于fx,y与fXxfYy在平面上不是几乎处处相等因此X与Y不相互独立。,例4一負责人到达办公室的时间均匀分布在812时之间他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时之间。设他俩到达时间是相互独立的求他俩到达辦公室的时间差不超过5分钟的概率。,解设X是负责人到达办公室的时间Y是秘书到达办公室的时间，则X和Y的密度函数分别为,,,,,O812x,y,9,7,,,,,,因X与Y相互独立所以X,Y的联合密度函数为,所求概率为P|X-Y|≤1/12，即随机点X,Y落在区域G中的概率,,,,yx1/12,yx-1/12,矩形区域上的均匀分布,G,,G的面积为1/6,