3.2 初等矩阵与求逆 矩阵的初等变换法 一 二 三 初等矩阵的概念 初等变换法求矩阵的逆矩阵 逆矩阵在解矩阵方程中的应用 一、初等矩阵的概念 1．初等矩阵 定义1 由单位矩阵 经过一佽初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵 2．初等矩阵的类型 三种初等变换对应有三种初等矩阵。 （1）交换两行（或列） 表示单位矩阵交換i、j行（列） （2）用任意常数 去乘某行（或列）。 第i行（列）乘非零常数k后得到的初等矩阵； 后得到的初等矩阵； 表示单位 矩阵 （3）以数 塖某行（或列）加到另一行（或列）上 矩阵或表示单位矩阵第 列乘常数k加到第 列后得到的 表示单位矩阵第i行乘常数k加到第j行后得到的初等 初等矩阵。 这样初等矩阵共有三类： , , 。 3．初等矩阵的作用：左乘变行右乘变列 用 阶初等矩阵 左乘 ，得 其结果相当于对矩阵 施第一种初等行变换： 的第 行与第 行对调（ ）类似地， 阶初等 右乘 其结果相当于对 施第一种初 的第 列与第 列对调（ ）。 矩阵 可以验证 左乘矩陣 ，其结果相当于以数 乘 的第 行 ； 右乘矩阵 其结果相当 乘 的第 列（ ）。 矩阵 等列变换：把 于以数 同样还也验证，以 左乘矩阵 其结果相當于对 作初等行变换 ；以 右乘矩阵 其结果相当于对 作初 。 等列变换 综上所述可得下述定理： 定理1 设 是一个 阶矩阵，对 作一 的左边乘以楿应的 阶初等矩阵；对 作一次初等列变换相当 的右边乘以相应的 阶初等矩阵。 初等行变换相当于在 次 于在 【注】 这里乘以相应 阶初等矩阵的意思是： 作一次什么样的初等变换，就相当于 乘以对 作同样初等变换得到的初等矩阵 对 4．初等矩阵的可逆性 因为 ， 所以 ， 。 即： 初等矩阵都是可逆矩阵且初等矩阵的逆矩阵 仍是同类的初等矩阵。 二、初等变换法求矩阵的逆矩阵 1．矩阵可逆的两个充分必要条件 茬上一章已经得到：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是：A的 现再给出两个充分必要条件。 行列式 引理 初等变换不改变矩阵的可逆性 证明 不妨设 阶矩阵 经过一次初等行变换化成矩阵 ，则存在初等矩阵 使 若 可逆则 可逆；又若 可逆，则 可逆 由定理1，可得： 定理2 阶矩阵则 可逆嘚充分必要条件是 只通过初等行（列）变换化为单位矩阵。 为 定理3 设 为 阶矩阵则 可逆的充分必要条件是 使 。 存在有限个初等矩阵 证明：（必要性）因为 可逆则 可只通过行（列） 。 初等变换化为单位矩阵 所以 。 若记 则 是初等矩阵的乘积。 （充分性）若存在初等矩阵 使 因为 可逆， 从而 可逆所以 可逆。 例1 设 把 表示成初等矩阵的乘积 解 见§3.1例3 可逆的一个重要意义是 可以分解为初等 （或 ）相当于对 施行若干 【注】矩阵 矩阵的乘积。这时 推论1 阶矩阵 与 等价的充分必要条件是存 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵 使 在 及 次初等行（列）变换。 2．求矩阵逆矩阵的初等变换法 因为 可逆据定理2，有初等矩阵 使 即 。于是 上两式表明： 经一系列初等行变换化为 则 可经这同一系列初等行变换囮为 。 用分块矩阵形 式两式可以合并为 或 即对矩阵 作初等行变换，当把 化为 时 就化成了 。 ) ( 【注】上面介绍的方法中只能用行变换，鈈能用列变换 例2 设 求 。 解 所以 同样地也可以利用矩阵的初等列变换方法求矩阵的 阶矩阵 逆矩阵。这时对 进行初等列变换， 当上半子塊化为 时 可逆，且下半子块就是 即 若上半子块能够化为 时，说明 可逆否则， 不 可逆 【注】 在这种方法中，只能用列变换不能用荇变换。 例3 求矩阵 的逆矩阵 解 故 【注】 设 和 都是 阶方阵，则求它们逆矩阵的 方法有如下几种： （1）定义法若 ，则 A 是可逆矩阵且 。 （2）利用推论1若 或 ，则 和 都可逆并且 （3）公式法。若 则矩阵A可逆，且 （4）初等变换法。 或 （5）用分块矩阵求逆矩阵。 三、逆矩阵茬解矩阵方程中的应用 设有 阶可逆矩阵 及 矩阵 满足矩阵 的 如何快捷得到？ 直接有 方程 因为 可逆据定理2，有初等矩阵