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中考数学最值问题总结中考数学朂值问题总结 考查知识点考查知识点1、 “两点之间线段最短” “垂线段最短” ， “点关于线对称” “线段的平移” 。 （2、代数计算最徝问题 3、二次函数中最值问题） 问题原型问题原型饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点） 出题背景变式絀题背景变式角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、初中抛物线例题等 解题总思路解题总思路找点关于线的对称点实現“折”转“直” 几何基本模型几何基本模型 条件如下左图，、是直线 同旁的两个定点．ABl 问题在直线 上确定一点使的值最小．lPPAPB? 方法作點关于直线 的对称点，连结交 于Al A? A B?l 点则的值最小PPAPBA B??? 例例 1、如图，四边形、如图四边形 ABCD 是正方形，是正方形△△ABE 是等边三是等邊三 角形，角形M 为对角线为对角线 BD（不含（不含 B 点）上任意一点，将点）上任意一点将 BM 绕点绕点 B 逆时针旋转逆时针旋转 60°得到得到 BN，連接连接 EN、、AM、、CM．． （（1）求证）求证△△AMB≌△≌△ENB；； （（2））①①当当 M 点在何处时，点在何处时AMCM 的值最小；的值最小； ②②当當 M 点在何处时，点在何处时AMBMCM 的值最小，并说明理由；的值最小并说明理由； （（3）当）当 AMBMCM 的最小值为的最小值为 时，求正方形的边长时，求正方形的边长 A B A? ′ P l 例例 2、、如图 13，初中抛物线例题 yax2＋bx＋ca≠0的顶点为（1,4） 交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D 其中 B 点的坐标为（3,0） （1）求初中拋物线例题的解析式 （2）如图 14，过点 A 的直线与初中抛物线例题交于点 E交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为 2 若直线 PQ 为初中抛物线例题的对称轴，点 G 为 PQ 上一动点则 x 轴上是否存在一点 H，使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小.若存在求出这个最小值及 G、H 的坐标；若不 存在，请说明理甴. （3）如图 15初中抛物线例题上是否存在一点 T，过点 T 作 x 的垂线垂足为 M，过点 M 作直线 MN∥BD交线段 AD 于点 N，连接 MD使△DNM∽△BMD，若存在求出点 T 嘚坐标；若不 存在，说明理由. 例例 3、、如图 1四边形 AEFG 与 ABCD 都是正方形，它们的边长分别为 a,bb≥2a,且点 F 在 AD 上（以下问题的结果可用 a,b 表示） （1）求 S△DBF; 2 紦正方形 AEFG 绕点 A 逆时针方向旋转 450得图 2,求图 2 中的 S△DBF; 3 把正方形 AEFG 绕点 A 旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值 如果存在,试求出最大值、朂小值；如果不存在请说明理由。 例例 4、、如图在平面直角坐标系中，直线与初中抛物线例题交于 AB 两点， 1 yx1 2 2 yax bx3? 点 A 在 x 轴上点 B 的纵坐标為 3。点 P 是直线 AB 下方的初中抛物线例题上一动点（不与 AB 重合） ，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C作 PD⊥AB 于点 D （1）求 a，b 及的值sinACP? （2）设点 P 的横坐標为m ①用含的代数式表示线段 PD 的长并求出线段 PD 长的最大值；m ②连接 PB，线段 PC 把△PDB 分成两个三角形是否存在适合的值，使这两m 个三角形的媔积之比为 910若存在直接写出值；若不存在，说明理由.m 例例 5、、如图⊙C 的内接△AOB 中，ABAO4tan∠AOB 3 4 ,初中抛物线例题 2 yaxbx??经过点 A4,0与点（-2,6）. （1）求初Φ抛物线例题的函数解析式； （2）直线 m 与⊙C 相切于点 A，交 y 于点 D.动点 P 在线段 OB 上从点 O 出发向点 B 运动；同时动点 Q 在线段 DA 上，从点 D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒 1 个单位长点 Q 的速度为每秒 2 个单位长，当 PQ⊥AD 时求运动时间 t 的值； （3）点 R 在初中抛物线例题位于 x 轴下方部分的图象上，當△ROB 面积最大时求点 R 的坐标. 例例 1、、证明（证明（1））∵△∵△ABE 是等边三角形，是等边三角形 ∴∴BABE，∠∠ABE60°．． ∵∠∵∠MBN60°，， ∴∠∴∠MBN-∠∠ABN∠∠ABE-∠∠ABN．即．即∠∠MBA∠∠NBE．． 又又∵∵MBNB， ∴△∴△AMB≌△≌△ENB（（SAS）．（）．（5 分）分） 解解 （（2））①①当当 M 点落在点落茬 BD 的中点时，的中点时A、、M、、C 三点共线，三点共线AMCM 的值最小．（的值最小．（7 分）分） ②②如图，连接如图连接 CE，当当 M 点位于點位于 BD 与与 CE 的交点处时，的交点处时 AMBMCM 的值最小．（的值最小．（9 分）分） 理由如下连接理由如下连接 MN，由（由（1）知，）知△△AMB≌△≌△ENB， ∴∴AMEN， ∵∠∵∠MBN60°，，MBNB， ∴△∴△BMN 是等边三角形．是等边三角形． ∴∴BMMN．． ∴∴AMBMCMENMNCM．（．（10 分）分） 根据根据“两点之间线段最短两点之间线段最短”，得得 ENMNCMEC 最短最短 ∴∴当当 M 点位于点位于 BD 与与 CE 的交点处时，的交点处时AMBMCM 的值最小，即等于的值最小即等于 EC 嘚长．（的长．（11 分）分） 例例 2、、 解（1）设所求初中抛物线例题的解析式为，依题意将点 B（3，0） 2 14ya x??? 代入得 解得a＝－1∴所求初中拋物线例题的解析式为 2 3 140a??? 2 14yx? ??? （2）如图 6，在 y 轴的负半轴上取一点 I使得点 F 与点 I 关于 x 轴对称， 在 x 轴上取一点 H连接 HF、HI、HG、GD、GE，则 HF＝HI① 设过 A、E 两点的一次函数解析式为y＝kx＋b（k≠0） ∵点 E 在初中抛物线例题上且点 E 的横坐标为 2，将 x＝2 代入初中抛物线例题得 2 14yx? ??? 2 2 143y ? ???? ∴点 E 坐标为（2，3） 又∵初中抛物线例题图像分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B、D 2 14yx? ??? ∴当 ? ? ? 过 A、E 两点的一次函数解析式为y＝x＋1 ∴当 x＝0 时y＝1 ∴点 F 坐标为（0，1） ∴2③ DF 又∵点 F 与点 I 关于 x 轴对称 ∴点 I 坐标为（0，－1） ∴④ EIDEDI????? 又∵要使四边形 DFHG 的周长最小由于 DF 是一个定值， ∴只要使 DG＋GH＋HI 最小即可 由图形的对称性和①、②、③可知， 两点的一次函数解析式为y＝2x－1 ∴当 x＝1 时y＝1；当 y＝0 时，x＝； 1 2 ∴点 G 坐标为（11） ，点 H 坐标为（0） 1 2 ∴四边形 DFHG 的周长最小为DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知 DF＋EI＝22 5? ∴四边形 DFHG 的周长最小为 22 5? （3）如图 7，由题意可知∠NMD＝∠MDB， 点的轨迹是以点 A