1) 首先我们仅考虑实信号。
自相关的直观含义就是:把一个信号平移一段距离跟原來有多相似。
于是就有了自相关的定义:
它代表了“移、乘、积”这三步操作
如果只谈自相关,其实到此就可以结束了
只不过,在信號处理领域中还有一个叫“卷积”的东西在别的地方(已知线性时不变系统的冲激响应和输入,求响应)有用
它跟自相关的定义很相姒,包含了“卷、移、乘、积”四步操作:
左边有时也写作表示这个函数是由x(t)和y(t)卷积而得的,但它的自变量是
我们发现卷积比自相关哆了一步“卷”的操作,为了去掉这个多余的操作我们先把原信号自己卷一下,就可以抵消掉卷积中的“卷”操作了这就是自相关与卷积的关系:
2) 现在扩展到复数域。
自相关是要刻画一个信号平移后与原始信号的相似性显然,不平移时应该是最相似的
我们希望x(t)与x(t)本身相乘后积分时,各时间点的值能够因叠加而增强
在实数域上x(t)直接自乘没有问题。
在复数域上x(t)自乘后辐角还是乱的。
如果对其中一个x(t)取一下共轭相乘后辐角就统一变成0了,积分时就能够取得叠加增强的效果
所以在复数域上,自相关是这样的: